数列问题的分析与研究

叶犇宇

摘要：数列问题，不仅对高中数学来说举足轻重，是高考数学压轴大题，更是进入大学后高等数学级数问题的基础。数列问题，可以同时蕴含了递归、放缩、因式分解、数学归纳等数学思想方法，多种思想掺杂在一起，导致数列问题难度很大，同时解法百花齐放。通过3个例题，从易到难分别介绍函数与数列问题的求解、数学归纳法在数列中的应用、欧拉级数在数列中的应用，并对数列问题的解法进行总结，提出针对数列问题的想法。

关键词：数列 欧拉级数 研究与应用

数列问题，可以和很多高中数学知识点交叉，如数列与函数、方程相结合问题，数列与不等式相结合问题、数列和极限相结合问题，等等。本文主要从三个方面入手：函数与数列问题、数学归纳法在数列中应用、欧拉级数在数列中的应用，分别给出一个例题，求解之后对这几个方面的数列问题总结归纳，提出针对数列问题的想法。

一、函数与数列问题

对于高中数学来说，数列是高考的难点和重点，同时，函数问题也是高考躲不过逃不过的难题，对于函数与数列知识点交叉的问题来说，如何寻找有效的突破口，是解这类问题的关键所在。

思路分析：函数与数列知识点交叉的问题，通常会给出函数的表达式，大部分此类题型都会已知函数与数列元素间关系，某些不给出具体关系，但通过简单的代入递推也可以求出关系，如上题。函数只是一个工具，它的作用就是求出数组元素间的关系（一般是an-1与an之间的关系），再通过求出的数列元素间的关系，求出题目问题所需要求的数列表达式。

三、数学归纳法在数列中的应用

数学归纳法，即通过对一些特例或简单情形进行观察与综合以发现一般规律的一种科学思维方法，数学归纳法体现了数学的创造与再创造过程。数学研究过程中，常常需要先对问题先进行假设，再根据假设进行合理的数学推导，把特殊情况推广至一般情况。所以，数学归纳法在数学研究过程中，占有极大的地位，是其最重要的基本方法之一。对于某些特定的数列问题，可以使用数学归纳法快速的得到答案。

三、欧拉级数在数列中的应用

四、总结

数列问题，千奇百变，但万变不离其宗，归根结底可以分为这么三类，一是求數列的表达式，二是数列的求和，三是数列与不等式的证明。对于这三类问题，可以有许多方法去求解，文中提到的函数代入、数学归纳法和欧拉常数法只是众多解法的冰山一角，平时养成良好的数学思维，多总结解题思路和方法才能做到百战不殆。

参考文献：

[1]孟祖国.高中数列的有效教学研究[D].华中师范大学，2011.

[2]黄其宣.无穷级数求和方法研究[J].企业技术开发，2009，（09）：140-144.