周期等差(比)函数再探究

华南师范大学附属中学(510630) 郝保国

周期等差(比)函数再探究

华南师范大学附属中学(510630) 郝保国

近读文[1],对我启发很大.若从不同角度再思考,对周期函数还会做出更多有意义的推广.为了便于继续探究,先抄录文[1]相关的定义：

定义1设f(x)是定义在某一数集D上的函数,若存在非零常数T及函数h(T),且对∀x∈D,有x±T∈D,使得f(x+T)=f(x)+h(T),则称f(x)为数集D上的周期等差函数,T称为f(x)的一个周期,h(T)称为T所对应的f(x)的公差.

若h(T)=b(常数),称f(x)为数集D上的特殊周期等差函数;若h(T)≡0,f(x)就是通常意义上的周期函数.

定义2 设f(x)是定义在某一数集D上的函数,若存在非零常数T及函数α(T),且对∀x∈D,有x±T∈D,使得f(x+T)=α(T)f(x),则称f(x)为数集D上的周期等比函数,T称为f(x)的一个周期,α(T)称为T所对应的f(x)的公比.

若α(T)=a(常数),称f(x)为数集D上的特殊周期等比函数;若α(T)≡1,f(x)就是通常意义上的周期函数.

探究1 若f(x)是以T为周期,h(T)为公差的周期等差函数,则nT(n∈N+)也是f(x)的周期,对应公差为nh(T).

证明依条件有f(x+T)=f(x)+h(T),从而

结论成立.

注若f(x)是以T为周期,α(T)为公比的周期等比函数,则nT(n∈N+)也是f(x)的周期,对应公比为[α(T)]n.

探究2 若f(x)是以T为周期,α(T)为公比的周期等比函数,且f′(x)存在,则f′(x)仍为周期等比函数.

证明

所以,f′(x)仍是以T为周期,α(T)为公比的周期等比函数.

注若f(x)是以T为周期,h(T)为公差的周期等差函数,且f′(x)存在,则f′(x)为周期等差函数.

探究3 若f(x)的图像有两个对称点M(a,b),N(c,d),则f(x)为特殊周期等差数列,周期T=2(a-c),公差D=2(b-d).

证明因f(x)的图像关于点M(a,b)对称,则知f(x)的图像上任一点P(x,y)关于M(a,b)的对称点Q(2a-x,2b-y)也在f(x)的图像上,有

在③中以2c-x代x,有f[2(a-c)+x]=f(x)+2(b-d).结论成立.

探究4若f(x)=x+g(x),则f(x)为周期等差函数的充要条件是g(x)为周期等差数列.

证明充分性.若g(x)为周期等差函数,不妨设g(x+T)=g(x)+h(T),则

所以,f(x)为周期等差数列,周期为T,对应公差是T+h(T).必要性.g(x)=f(x)-x,若f(x)为周期等差函数,不妨设f(x+T′)=f(x)+h′(T′),则

所以,g(x)为周期等差函数,周期为T′,对应公差是h′(T′)-T′.

探究5f(x)(x∈R)是周期等比函数的充要条件是存在周期函数φ(x)及a＞0,使得f(x)=axφ(x).

证明充分性.若存在周期函数φ(x)及a＞0,使得f(x)=axφ(x).不妨设φ(x)的周期为T,则f(x+T)=ax+Tφ(x+T)=aT[axφ(x)]=aTf(x).所以,f(x)是周期等比函数,周期为T,对应公比为aT.

探究6 若f(x)是周期为T,公差为kT(k∈N+)的周期等差函数,则f(x)的n次迭代函数f(n)(x)为周期等差函数.

证明依条件有,f(x+T)=f(x)+kT,

所以,f(n)(x)是周期为T,对应公差为knT的周期等差函数.

探究7 设f(x)是R上的不减函数,并且是周期与公差均为T的特殊周期等差函数,求证：对任意正整数m和n,有

证明依条件有f(x+T)=f(x)+T,由探究6知f(n)(x+T)=f(n)(x)+T,得f(n)(T)=f(n)(0)+T.任取0≤x≤T,由f(x)是R上的不减函数,易知f(n)(x)也是R上的不减函数,则有

证明依条件有f(x+T)=f(x)+mT,令f(x)=mφ(x),则φ(x+T)=φ(x)+T,构造函数φ′(x)=φ(x)-x,因φ′(x+T)=φ(x+T)-(x+T)=φ(x)+T-(x+T)=φ(x)-x=φ′(x),则知φ′(x)=φ(x)-x是周期为T的函数.

设0≤x≤T,由f(x)是R上的增函数,知φ(x)亦是R上的增函数,所以φ(0)≤φ(x)≤φ(T)=φ(0)+T,因x-T≤0≤x,所以φ(0)+x-T≤φ(x)≤φ(0)+x+T,

由φ′(x)=φ(x)-x的周期性知,①式对R上的任一x成立.两端乘以m得,

同样,②式对R上的任一x成立.由②式有

[1]郝乐,马乾凯,郝一凡.周期等差函数与周期等比函数[J].沈阳大学学报：自然科学版,2013.25(3)：253-254