圆锥曲线易错题案例剖析

王馨舸

【摘 要】高中数学学习中，圆锥曲线作为高考的重要考点之一，很多学生掌握起来相对困难。基于此，笔者在文中列出了三种具有代表性的易错题，并对其例题进行分析，最后总结了几类常用解题方法。

【关键词】圆锥曲线；易错题型；剖析

1不能充分利用概念定义（定义法、“设而不求”法）

例1.定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求M到x轴的最短距离。

解析：此题有多种解法：①可直接利用抛物线设点，如设，设AB中点M（x0，y0），通过使用弦长公式以及中点公式可求出y0关于x0的函数表达式，再利用函数思想即可求出此题最短距离。②M到x轴的距离属于“点线距离”，可以先行考虑M到准线的距离，使用定义法。通过两种方法解题，可将其进行比较。

解法一：设，AB中点M（x0，y0）

由①可得

即

由②、③得

代入④可得

解法二：

总结：解法一通过列方程组，通过消元消除x1与x2，最终组成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的解题方法。解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化成其到准线之间的距离，利用梯形中位线性质，转化为A、B到准线的距离之和，结合定义与“三角形中两边之和大于第三边”的属性，简捷地求解出了结果，两种方法可形成明显的对比。

笔者在此将解圆锥曲线问题的定义法与“设而不求”的解题方法总结如下：

定义法：

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1，r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1-r2=2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a；第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线的距离”相互转化。

2忽视隐含条件（韦达定理法）

例2.已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交与A、B、C、D，设，（1）求；（2）求的最值。

解析：点A、D与B、C来自于“不同系统”，A、D交与准线，B、C处于椭圆之上。直接求解将过于复杂，可以将这些点连成的线段投影到x轴上，可得：

再使用韦达定理即可得到答案。

（韦达定理：一元二次方程中，两根之和，两根之积）

解：（1）椭圆中，

，左焦点

将，代入椭圆方程得：

设，

则

（2），

3多動点问题的解题思路不清（判别式法）

例3.已知椭圆和点，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程。

解析：此题为轨迹问题，学生解题过程中遇到的主要难点是受多动点的困扰。解此类问题通常可使用通过参数法，第一步要做的是选参，想办法将Q的横、纵坐标利用参数来表达，达到消参的目的。由于点Q（x，y）的变化是由直线AB的变化引起的，自然可以选择直线AB的斜率k作为参数，那么怎样联系起来呢？①利用点Q在直线AB之上；②利用题目中的条件：进行转化。由A、B、P、Q四点共线，可得到：，建立x和k的关系，需要将AB的方程式代入椭圆方程，再使用韦达定理解题。

解：设，则由得：，解得：

设直线AB的方程为：，代入椭圆方程，消除y得到下列关于x的一元二次方程：

代入①，化简可得

③式与联立可消除k得到：，

在②式中，由，解得，结合③式可求得。则点Q的轨迹方程为：

3总结

由方程组进行消元，将产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到。其中，难点在于引参，活点在于用参，重点在于消参，此为几何综合问题求解的关键步骤。

参考文献：

[1]杜志建，中学教材学习讲义—数学[M]，北京出版社，2012.

[2]现代认知观下的数学概念学习与教学[M].江苏教育出版社，李善良著，2005

[3]高中数学课程中圆锥曲线的教学研究[D].徐忠才.西北师范大学2004

[4]四步搞定圆锥曲线[N].李刚.中国电脑教育报.2002