浅谈不等式恒成立问题的解法策略

郑春红

不等式恒成立问题是高考热点题型之一，此类考题往往涉及面广，题目难度大，综合性强，解决此类问题所需的数学方法、思想较多，是考查学生综合能力的重要问题，现将其常用解题策略归纳、解析如下：

一、转化法

很多的恒成立问题都能从“比最大值还大，比最小值还小”的角度来理转化，故往往在求相应部分的最大值或者最小值之后，问题也就迎刃而解了。举例如下：

例1、设函数f（x）=，对于任意实数x，f ?（x）≥m恒成立，求m的最大值。

解法：f ?（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2）

因為x∈（-∞，+∞），f ?（x）≥m恒成立，所以x∈（-∞，+∞），m≤3x2-9x+6恒成立

设g（x）=3x2-9x+6=

因为x∈（-∞，+∞），所以g（x）的最小值为

，即m的最大值为

分析：这题将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，从“比最小值还小”的角度得出参数的范围。但有些函数是不存在最值，我们可以类似求最值的方法利用函数的确界解决问题，若无最大值，而有上确界，要求参数a>f（x），则参数a大于等于上界，若无最小值，而有下确界，要求参数a

例2：已知函数在区间（1，4）内为减函数， 在区间（6，+∞）内为增函数，求实数a的取值范围。

分析：可应用导数将本题转化成不等式恒成立问题。

解法：f ?（x）=x2-ax+a-1=（x-1）（x-a+1）

∵f（x）在区间（1，4）内为减函数

∴x∈（1，4）时（x-1）（x-a+1）<0恒成立，

∵x-1>0 ∴x-a+1<0恒成立，即a>X+1恒成立[

∵2

又∵f（x） 在区间（6，+∞）内为增函数，

∴x∈（6，+∞）时（x-1）（x-a+1）>0恒成立，

∵x-1>0

∴x-a+1>0恒成立，

即a

∵x+1>7， ∴a≤7[]

综上述a的取值范围是5≤a≤7

分析：本题属于单调性背景下隐含的不等式恒成立问题，利用导数将函数问题转化为不等式恒成立问题，本题虽不存在最值，我们可以类似求最值的方法利用函数的确界解决问题。

二、变换法

适当的变换主元，即把习惯上的主元变量与参数的地位交换一下，确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数，这样往往将问题简化。

例：设函数f（x）=mx2-mx-6+m，若对m∈[-2，2]，f（x）<0恒成立，求实数x的取值范围。

解法：设f（x）=mx2-mx-6+m=g（m）

则g（m）是关于m的一次函数，且一次项的系数为x2-x+1=，∴g（m）在[-2，2]上递增

∴g（m）<0?g（2）=2（x2-x+1）-6<0

?-1

故所求的实数x的取值范围为-1

评注：由已知m的范围，求x的取值范围，因此需要把f（x）看成m的函数，即以m为主元，而把x规为参数。

三、结合法

例5、已知x>0，函数 f（x）=（a2-8）x的值恒大于1，求实数a的取值范围。

分析：该函数由二次函数和指数函数构造而成。函数t=a2-8是二次函数，图象是抛物线。函数y=tx是指数函数，图象为指数函数的图像，通过图象求解如下：

解：因为x>0，函数 f（x）=（a2-8）x的值恒大于1

即x>0，y=tx>1恒成立，

根据指数函数的图像的t>1恒成立，即a2-8>1恒成立，解得a>3或a<-3

即a的取值范围为：

a>3或a<-3

评注：数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系。

四、判别式法

上述例2也可以用判别式法，解法如下：

解：f ?（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2）

因为x∈（-∞，+∞），f ?（x）≥m恒成立，

即3x2-9x+（6-m）≥0恒成立，

设g（x）=3x2-9x+（6-m）

所以，得，即m的最大值为

综上述，处理不等式恒成立问题的常见方法有：最值法、变换主元法、数形结合法等。但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。