一类β型近于凸函数的推广及其Fekete-Szegö问题

鲍春梅

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

一类β型近于凸函数的推广及其Fekete-Szegö问题

鲍春梅

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

引进了一类新的β型近于凸函数N(β)，讨论了该函数类的Fekete-Szegö问题，并得到了对应的极值函数.

解析函数；N(β)函数；从属于；Fekete-Szegö不等式

设S表示在单位圆E={z:|z|＜1}内单叶解析函数f(z)=z+构成的函数类.V表示满足条件＞0(g(z)∈S)的函数类，S*和C分别表示通常的星像函数类和近于凸函数类，它们都是S的子类.

设f(z)与g(z)在E内解析，若存在E内满足|w(z)|≤|z|的解析函数w(z)（不必单叶），使得f(z)=g(w(z))，则称f(z)从属于g (z)，记为f(z)≺g(z).

在文[1]中讨论了某近于凸函数子类的Fekete-Szegö问题.

定义1设0＜β≤1，若存在g(z)∈S*，使得f(z)∈S，且满足条件

则称f(z)∈K(β)，其中的幂函数取主值.

本文引进新的解析函数：

定义2设0＜β≤1，f(z)∈S，若存在g(z)∈V，使得

则称f(z)∈N(β)，其中的幂函数取主值.

由文[2]中定理3.1可知：若g(z)∈V，则在|z|＜r内g(z)∈S*，其中r为方程1-2r-r2=0的最小正根.所以当|z|＜r时，N(β)⊂K(β)，因此函数类N(β)为K(β)的一个推广.

下面将在函数类N(β)中建立Fekete-Szegö不等式，为此需要如下3个引理：

引理1设w(z)=c1z+c2z2+…在E内解析且满足|w(z)|≤|z|，则

引理2设p(z)=1+p1z+p2z2+…在E内解析且对任意z∈E，满足Rep(z)＞0,则

引理3设0＜β≤1，则f(z)∈N(β)当且仅当存在g(z)∈V，使得

下面给出本文的主要结果及其证明.

定理设0＜β≤1，f(z)=anzn∈N(β)，则对任意实数μ，有准确的估计

证明因为f(z)∈N(β)，由引理3存在g(z)=z+b2z2+b3z3+…∈V和E内满足条件|φ(z)|≤|z|的解析函数w(z)=c1z+c2z2+…,使得

因为e-iθf(eiθz)=z+a2eiθz2+a3e2iθz3+…仍属于N(β)，所以不失一般性，可以假定a3-μa22≥0.下面估计Re(a3-μa22).

由于g(z)∈V，所以E内存在具有正实部的解析函数p(z)=1+p1z+p2z2+…，使得g(z)=zp(z)，比较系数可得b2=p1,b3=p2.

综上所述，本定理得证.

〔1〕高纯一.近于凸函数族的Fekete-Szegö问题[J].数学年刊, 1994,15A（6）:650-656.

〔2〕李书海,木林.有关近于凸函数的一类解析函数[J].数学杂志，2005，25（4）：428-434.

〔3〕夏道明,张开明.从属函数的一些不等式[J].数学学报，1958，8（3）：408-412.

〔4〕泊茂仁克CH.杨维奇,译.单叶函数[M].北京：科学出版社，1987.

〔5〕鲍春梅，李书海.一类β级扩展的Bazilevic函数及其Fekete-Szegö问题 [J].华南师范大学学报 （自然科学版），2010（3）：7-10.

〔6〕张洪光，李书海.关于Bazilevic函数族的一个扩展及其Fekete-Szegö问题[J].粹数学与应用数学学报，2008，24 (1)：167-173.

O174.51

A

1673-260X（2017）02-0006-02

2016-09-10