胡夫大金字塔外形设计图新探

董德刚

(海南师范大学 外国语学院 ，海南 海口 571158 )

胡夫大金字塔外形设计图新探

董德刚

(海南师范大学 外国语学院 ，海南 海口 571158 )

论文设想大金字塔设计图是最简单的正方形外接椭圆几何图。在研究了椭圆形在古埃及墓葬建筑等方面有丰富的文化遗存后，着重探讨了此蛋形设计图是怎么画、为何如此画和如何计算等问题。提出设计制图过程包含司绳法作图、尺规作图和格网设计三部分。司绳法作正方形外接椭圆也是尼罗河的礼物之一。巧合的是，此几何设计图可以用比司绳法更精确的尺规作图，并辅以既方便画图又方便测量的14格网，用于制作塔修造图和修造尺。大金字塔当前倾斜角值为51°50'34"，而非精确的正方形外接椭圆几何图计算值51°49'38"(黄金直角三角形)，误差的根本原因就是格网测量的局限性。这使我们重新认识到，本质上大金字塔毫无疑问是按黄金比设计的。

胡夫大金字塔；外形设计图；正方形外接椭圆蛋形几何图；黄金比；双正长方形；尺规作图；14格网；大金字塔船坑

一、蛋形正方形外接椭圆与大金字塔外形设计图

尼罗河谷平坦，每年七月至十月洪水泛滥，河两岸大片沙土地被水淹没，称为泛滥季(Akhet)。金字塔建造一般在此间进行。洪水退去后之十一月至二月，为耕种季(Peret)。被浸泡的田地，沉淀下来一层肥沃淤泥，特别有利于耕种农作物。三至六月为收成季(Shomu)。有些田地界限因被洪水冲毁，每年都要重新勘测定赋。皇室因而设有称为“司绳”(rope-stretcher)的专职测量员。司绳经常借助绳子和木棍进行土地测量，期间有可能偶然发现，把套绳套地上两木桩并绕一圈画图，可画出一椭圆。这种借助绳棍画椭圆的方法本文称作司绳法。以下为正方形外接椭圆司绳法作图步骤：

于平地画正方形ABCD，并在两对边中点F1、F2打两木桩(即两焦点)。两木桩与正方形一角如D角，构成直角三角形⊿DF1F2。绕木桩套以绳套，使绳套周长等于直角三角形⊿DF1F2之周长。而后，司绳以木棍为笔并插入绳套中拉紧，绕两木桩焦点并过正方形的四角画一圈，正方形外接椭圆图就在地上画好了。正方形纵轴和横轴线之延线，分别交椭圆弧于G,H, P,P’。GH为椭圆长轴，PP’为短轴。(图1(左))

如果设想把这个平面图直立起来并与原平面图垂直，立起的P点分别连接平面图上的ABCD四角，则P-ABCD即为四棱锥。而如果设想以椭圆长轴GH为中心轴，把正方形外接椭圆旋转180°，平面图就变为立体椭圆球了。看似一枚半掩于沙中的蛋(或许即秃鹫蛋)，四棱锥立于蛋中心椭圆长轴上，顶着蛋壳。假设此四棱锥就是大金字塔几何设计模型，则正方形ABCD代表塔基，OP为塔高，F1P为塔面三角形高，∠PF1O为塔倾斜角。(图1(右))

0.636009824≈ 159/250，∠PF1O正切函数=

0.636009824÷0.5=1.27201965，则∠PF1O=

图1 大金字塔外形设计图——正方形外接椭圆(左)司绳法画平面图，(右)蛋形三维图

大金字塔倾斜角的测量，主要依据于大金字塔北塔基现存的一段石灰石塔面覆石。派尔林勘测为51°50′。*Vyse, H., Appendix to Operations Carried on at the Pyramids of Gizeh in 1837, London:John Fraser,1840.皮特瑞给出介于51°44′11″到51°57′30″之间的九个测量值，而后确定为51°52′ ±2′。*Petrie, M.W. F., The Pyramids and Temples of Gizeh (with an update by Zahi Hawass), London: Histories & Mysteries of Man Ltd,1990, p.13, 93.另据Maragioglio & Rinaldli总结，Cole接受皮特瑞计算的51°50′40″± 1′5″ 作为塔倾斜角均值，Lauer认为塔理论值是51°50′35″，J.P.Mayer-Astruc取51°49′43″。另外，塔东的三座皇后塔与大金字塔应该是统一设计的，它们的倾斜角分别是：GI-a为51°50′，GI-b为51°50′和 GI-c为51°40′。*Maragioglio & Rinaldi, L'Architettura, IV,The Funerary Complex of Cheops, Roma:Opera Pubblicata Sotto gli Auspici del Centro per le Antichitàe la Storia dell'Arte del Vicino Oriente,1965, pp.18, 80, 86, 92.以上测量值各不相同，但综合评价值约在51°50′35″，也即基本处在黄金四棱锥倾斜角计算值51°49′38″可能误差范围内。或者可以说，在理论上，正方形外接椭圆蛋形图就是大金字塔外形设计图。

现有的等面积、开普勒三角形或黄金比等理论，实质上也是基于51°49′38″讨论大金字塔的外形设计，但皆是利用当时埃及人可能并不具备的现代数学知识进行的推测，更多的是牵强附会。下文分别论述文化遗存中的椭圆形，并对现有相关理论进行梳理，再着重探讨设计图构建与计算方法及船坑与设计图的关系。

二、太阳与金字塔及文化遗存中的椭圆形

金字塔与太阳有关，而椭圆形在古埃及文化中相当重要。有关大金字塔蛋形椭圆几何设计图的元素及椭圆形实物的考古证据，是碎片式散落在古埃及文化遗存中，但也很丰富。

首先，正方形外接椭圆画图具有象征意义。司绳构建椭圆时，画笔与两焦点形成的尖椎缓缓绕行正方形一周，就如同每天东升西落的太阳于金字塔投于地面的顺时针移动的阴影。可观察大金字塔之前已建成的弯曲金字塔、红色金字塔或美杜姆金字塔二期。太阳沿椭圆轨迹巡行天空所发的光芒，就如同两焦点与画笔的连线。太阳运行于正午时，光芒与金字塔融为一体。因此用椭圆于设计比圆更能象征金字塔与天空、太阳的结合。另一方面，各种蛋都是椭圆形，最有代表性的是秃鹫蛋(荷鲁斯鹰是太阳神的象征)。象征太阳与生命循环的圣甲虫，画像或雕塑的身体及四肢常弯成椭圆形。蛋是孕育新生命的载体，因此椭圆又有孕育新生命的象征意义。顶天巍然而立的四棱锥金字塔如同顶立于象征天空的蛋中。

I.E.S.爱德华兹认为金字塔外形代表石砌的太阳的光线。他说，“站在去撒卡拉(Saqqara)路上回眸西望……只见太阳光线投射下来……与大金字塔倾斜角完全相同。”并引《金字塔文》(Pyramid Texts，the 6thDynasty)第267号云：“升天的台阶已为他铺好，以便他可由此升上天堂。”又引第523号云：“天空的阳光已增强，以便你升天为拉之眼。”爱德华兹还认为，埃及文‘金字塔’用M(e)r，含义是‘上升之地’，“或说明金字塔被看作帮助升天的神圣场所。”*Edwards,I.E.S.the Pyramids of Egypt(revised edition), London:Penguin Books,1991, pp.277,281,283.

尺规作椭圆形图有以下三件考古实例，说明椭圆形顶对墓室的重要意义。Bochardt(1896)*Borchardt, Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde, Journal of the Egyptian Language and Archeology, Vol.34, 1896, pp. 75-6.发现卢克索神庙(Luxor Amon Temple，建于约公元前1400 年)一面墙壁上绘制有一副椭圆形草图。(见图2)法国考古学家Daressy(1907)发现“国王谷”9号拉姆西斯六世(Ramses VI，公元前1145—1137年，第二十王朝)其中一墓室的穹顶是椭圆形，设计图来自他发现的刻在室外岩石上的椭圆形圆弧。Daressy认为其作图方法是用绳子和木桩即司绳法画于地，然后再刻到岩石上的。水平线及椭圆弧上的对称点是用来测量高度变化，与左塞阶梯金字塔出土的石灰石残片图数所用的方法一样。*George Daressy, Un Tracé Egyptienne d’une Vote Elliptique, ASAE,Vol.8,1908, pp.234-41.瑞士巴塞尔大学(Universität Basel)于2013年3月公布由Susanne Bickel 领衔的考古团队发现的一块石灰石图板，并宣称它“是世界上最古老的古埃及日晷”。(见图3)考古队认为，出土区为公元前13世纪墓区建筑工人住房，距离KV64墓不远。*Universität Basel, “One of World's Oldest Sun Dial Dug up in Kings' Valley, Upper Egypt.” Science Daily, 14 Mar. 2013. www.sciencedaily.com/releases/2013/03/130314085052.htm.本文研究认为，石图板并非巴塞尔大学考古队所认为的日晷，因为若辐射线代表日影移动时辰，正午的日影最短，石图板上何以反而画线最长？此石图板所绘部分实为椭圆的二分之一。椭圆的画法，是以石板底线为边长的正方形对边中点为两焦点，椭圆弧上的任意点到两焦点的距离和等于正方形对角线。此石绘椭圆图板更有可能是椭圆形墓室建筑草图。中心圆洞和放射状的十一条线，是用作方便用绳尺测量和定位中心圆洞到椭圆弧的距离。但图上没有标示尺寸数字，应该是废弃的草图。此图板复原图是建筑设计者借助正方形画椭圆的又一例证。

图2 (上)Bochardt(1896)所发现卢克索神庙墙壁绘椭圆。(下)复原图① 图3 圆玉谷KV64墓附近出土公元前13世纪石灰石图版复厚椭圆(原图据瑞士巴塞尔大学发布照片)

①作图法:分别以纵中轴上正方形对边中点为圆心,边长为半径,画圆孤;再以横中轴上对边中点为圆心画圆孤,使与已画圆孤相切。四圆孤相接,构成一副椭圆形。

早期的椭圆形的墓葬。皮特瑞与其助手Quibell于1894年在上埃及尼罗河西岸Nagada及Bellas之间，发现三千多浅坑葬穴。葬者头南面西，身体卷曲如胎卵形。稍后Morgan在附近更进一步发掘，确认属于约公元前3，200年第一王朝创立者那尔迈时期金字塔建造者的墓穴。*Cottrel, L.,The Mountains of Pharaoh, London:Robert Hale Ltd,1956, p.216.此胎卵形葬，反映了早期人们死后复生信仰和愿望。

标准的马斯塔巴(Mastaba)的墓形，设计图是尺寸简单的几何图即长宽比为2∶1的双正长方形，理论高与墓长之比也为2∶1，即墓倾斜角正切函数为4即倾斜角75°57′50″。*Petrie,W.M.F., The Pyramids and Temples of Gizeh(1883),http://www.ronaldbirdsall.com/gizeh/petrie/index.htm, p.138, Sec.103，Mastaba17, Mastaba44; p.140, Sec.110.第三王朝左赛阶梯金字塔附近出土石灰石板绘线数草图，也是边长2∶1的双正长方形外接圆一部分圆弧之数字规律。而且，这种边长2∶1的双正长方形顶起大金字塔设计的半个椭圆弧，是塔内外几何设计之核心。*有关第三王朝左赛阶梯金字塔附近出土石灰石板绘线数草图研究及大金字塔内部结构之双正长方形设计，作者将另文讨论。

椭圆形王名框(cartouche)和金字塔建筑的完善，皆起自第四王朝斯尼夫鲁(Sneferu)法老。象形文字所书王及皇家名号，自此始被置于椭圆形王名框中，成为皇家标识，一直沿袭到王朝终结。椭圆框右端用绳子捆以木棍，有时会根据书写需要垂直王名框，棍就横于框底端。王名框之绳索、棍和椭圆形，很容易使人联想到司绳法椭圆画图，又恰好出现在斯尼夫鲁法老的金字塔设计实验同一时期。本人推测，早期阶段的斯尼夫鲁弯曲金字塔及红色金字塔设计，很自然的是基于正方形外接圆。但理想宏大且勇于实践的斯尼夫鲁，可能在其晚年发现了这幅更完美更有意义的正方形外接椭圆几何图，即蛋形图，并将其设计用于到美杜姆金字塔最后的第三阶段的外形设计，而胡夫大金字塔也沿用此蛋形几何设计图。

三、大金字塔外形设计假说——等面积、黄金比理论

古埃及数学上并无π的概念。《莱茵德纸草算书》(RMP)第48、50题，载有化圆为方的运算，即直径为9的圆面积等于边长为8的方的面积。如果按此圆方理论设计金字塔塔高，塔倾斜角计算值只有51°41′11″，偏离测量值51°50′较多。由此看来，大金字塔建造者似乎并非是按π关系的化圆为方的方法设计大金字塔的了。也就是说，泰勒、斯密斯(Smyth,1864, Our Inheritance in the Great Pyramid)等的大金字塔设计之π理论应该是不成立的。只能说，塔基周长与塔高比近似2π，是计算上的巧合，而非有意的设计。

现存有关大金字塔设计与修造的最早文献，唯有公元前5世纪古希腊伟大历史学家希罗多德(Herodotus，约484年BC -约424年BC)所著《历史》，其中至关重要也最具争议的第2册第124章记载的一句话是：“(大金字塔)塔基为正方形，每边(面)有八普勒特拉(plethra)，与高相同。”*Herodotus,“The pyramid itself was twenty years in the making. Its base is square, each side eight plethra, and its height is the same; the whole is of stone polished and most exactly fitted; there is no block of less than thirty feet in length.”这句话根据泰勒的解释被概括为 "Herodotus states that the Pyramid was built so that the area of each face would equal the area of a square whose side is equal to the Pyramid's height"(Gardener M, Fads and Fallacies in the Name of Science, New York:Dover Publications,1957, p.178)”.(希罗多德说大金字塔各塔面面积等于以塔高为边长的正方形面积。)

泰勒认为，希罗多德是用最简洁的一句话概括了大金字塔形状和尺寸特点，即四塔面各有八普勒特拉(plethra)，塔高也是八普勒特拉。此普勒特拉表示面积，等于100×100希腊单位平方尺，相当于埃及单位的阿娄拉(aroura)即10,000皇家平方腕尺。泰勒根据派尔林的测量计算，塔面三角形面积与以塔高为正方形的面积基本相等。*Fischler,R.,‘What did Herodotus Really Say? or How to Build (a theory of) the Great Pyramid’, Environment and Planning B, 1979, vol.6, pp.89-93. Fischler, “Using the data from the Vyse-Perring survey (Vyse, 1840, p.109), Taylor obtains 21931 m2 and 21943 m2 for the area of a face and the square on the height the modern survey (Cole, 1925) gives 21474 m2 and 21491 m2, which are very close to one another.”另外，派尔林所测塔倾斜角值51°50′，介于以现在π比值计算的倾斜角51°51′14″和以等面积比值计算的倾斜角51°49′46″之间。泰勒认为塔倾斜角的此数学特点，必然是有意设计的，不可能是偶然的巧合。他甚至

设想大金字塔创造者或许兼用π和等面积这两种数学理论进行几何设计。*Taylor, J. The Great Pyramid: Why Was It Built？And Who Built It?,London:Cambridge University Press,2014), pp.38-42, 295-296.Taylor,“we have to consider how the measure of eight plethra, if it be true of each face of the pyramid, can be predicated of its height. There is only one way in which the two measures can be reconciled; and that is, by supposing that the historian meant to say that the number of square feet in the measure of each face, and the number of square feet in the measure of the height, are equal, each containing eight plethra. But in this case we must understand him as speaking of the square of the height." (Section37, p.39)(“如果八普勒特拉(plethora)实指塔的一面，我们须考虑怎样的测量可昭示塔高。只有一种测量方法可使两者一致；也即，如确如历史学家希罗多德所谓每面的(平方)尺数与塔高的尺数相等，都是八普勒特拉，则塔高的尺数应理解为指塔高的平方。”)"But each face of the Pyramid contains, as Herodotus says, eight plethra. He is speaking of Egyptian measures. Now that square measure which he calls a plethron, and the Egyptians an aroura, is the square of 100 royal cubits.”(Section39, p.40) (“但希罗多德所说塔面八普勒特拉，普勒特拉实谓埃及度量的阿娄拉(aroura)，即100平方皇家腕尺。”)因此，两种理论在其书中都保留。但在几何设计上，非此即彼，不可能同时兼用两者。

如果没有希罗多德那句话，很难想象我们会想到去比较塔高的平方与塔面三角形等面积。等面积说合理原因之一，是当时并没有塔面倾斜角概念，故如此这般面积说，可以让我们知道具体的塔高与塔面之间的比例；其二，以直线距离的平方等于圆面积的独特方法，符合古埃及人的有关思维模式。《莱茵德算书(RMP)》第41、42、43、48、50题有关求圆面积的方法，皆用直径89的平方。*Gillings,R.J. Mathematics in the time of the Pharaohs, New York:Dover Publications,1972.He restated: “Subtract from the diameter its one-ninth part, and square the remainder. This is its area.”p.140.因此，塔高的平方，相当于以塔高的98为直径的圆面积。(见图4)

另有观点认为，大金字塔是按塔高塔基比为

7/512的塞克得方法设计。《莫斯科纸草算书》第14题和《莱茵德纸草算书》第56、57、58、59、60题涉及塞克得(Seked)的计算。*Gillings,R.J., Mathematics in the time of the Pharaohs, p.185.埃及学家籍此讨论金字塔的设计的塞克得值，即垂高1腕尺(7掌)时水平向距离的掌数。但考虑到不同的金字塔却有数值各异的塞克得，为何用此塞克得而非彼塞克得呢？也很难理解塞克得值有何象征意义。其次，目前所得金字塔塞克得值，皆是基于现存金字塔建筑观测数据，无法确定是修造意图还是建筑误差。因此，塞克得算术题或只具有金字塔计算意义，并非设计原则和设计方法。

大金字塔等面积与塞克得两种理论可集成绘于下图4中。

把图4双正长方形ABCD看作塔基正方形的一半，并画之以11×5.5格网(为了测塔面三角形高，格网高被延长为9格)。则塔高OP等于7格，△PBC为塔中轴三角形(即塔的立截面)，塞克得(Seked)为75.5，塔倾斜角为51°50′34″(51.843° )。连接长方形ABCD外接圆与中轴的交点即P’B、P’C，△P’BC即塔面三角形，三角形高OP’≈ 8910格，则其面积等于12×11×(8910)= 48.95 ≈ 49=OP2，即根据格网和塞克得方法计算塔面三角形面积与塔高的平方基本相等。这种以格网、塞克得和奇妙的双正长方形外接圆方法验证等面积理论，是一种简单的逆向作图法，并没有回答为何如此这般设计金字塔。

图4 大金字塔塞克得与等面积理论集成于双正长方形及其外接圆图

有些学者推之以黄金比理论。Thurnell(1866)是最先把面积相等理论与黄金分割率联系起来的英国学者，他曾尝试用黄金分割几何方法复原设计图。Ballard(1882)设想塔面三角形高与塔基正方形边长的一半之比为3421，即斐波那契数列数(Fibonacci sequence)。其他黄金比理论支持者， 如Röber认为黄金比是埃及金字塔设计过程的组成部分，而Zeising认为黄金数是自然本质，在金字塔上的应用是潜意识表现此比例之自然而优美。关于泰勒的等面积理论、黄金分割率的关系及相关讨论情况，费舍勒有个比较全面的总结。*Herz-Fischler,R., The Shape of the Great Pyramid, Ontario:Wilfrid Laurier University,2000, pp.93-110.但黄金比理论之谬是显而易见的，因为黄金比是无理数，与π理论一样，并不为当时埃及人掌握，也就是说，大金字塔尽管隐含黄金比，却显然不是按黄金比数学方法设计的。

图4中的塞克得与等面积，应该只不过是数学理论方法，是对设计或建筑研究的量化结果，并非原设计图作者所用的设计方法。几何设计之塔高值必然是无理数，塔面三角形高也如此。因此，等面积理论在作图上完全不具有可操作性，也无法由此还原几何作图方法。希罗多德的记述应该是早期流传下来的有关大金字塔设计原理的一种理论或解释，也或许是其之前的大金字塔研究者的数学计算结论。是简要的设计特点描述，但并非设计方案。

塔高平方与塔面三角形面积相等，则意味着塔面与塔基比或塔面三角形高与12塔基边长之比是黄金分割率。等面积理论和黄金分割率理论，两者是同一几何体的不同方面。然而问题是，大金字塔设计者不可能拥有黄金比及其作图法和开普勒黄金直角三角形的知识理念，更不可能知晓黄金分割率比值，即便本能觉得如此尺寸比例设计很自然很美。因此，黄金分割率在设计中的应用也只能是巧合，并非设计意图。

那么，设计者到底是出于什么原因和用什么方法画出这种几何关系的呢？我想，大金字塔设计初衷，应该并不像我们现在这样特别在意数学概念的发现及应用，而是意图用神圣几何与大自然的结合，以象征其建筑合乎天地，从而成为通向复活永生的门户、通道和阶梯。设计图必然是基于对大自然的观察而画图，不可能完全是根据数学计算而设计。大金字塔设计思想实质，是塔基正长方形和塔高皆外接椭圆，使塔像被置于蛋中。

然而，从建筑施工方面考虑，即使古埃及人确实掌握了以上椭圆司绳画图法，也会由于棍、绳等作图工具及场地的局限性，是很难把椭圆画精准，也因而难以保证把短半轴放大为准确的塔高尺寸。早期的几何学家皆以尺规作图为原则，大金字塔建造者如果确以几何设计金字塔，必然也是以尺规作图为神圣。司绳法画椭圆简单自然，而Bochardt于卢克索神庙墙壁发现的那幅椭圆形建筑草图显然是用尺规法即四圆弧拼接而画。令人惊奇的巧合，正方形外接椭圆恰好可以用画四个圆弧的方法拼接为近似椭圆(Oval)，即可借助正方形及其外接圆和格网等定位圆心方法，进行尺规作图画椭圆以定椭圆短轴。

因此，大金字塔设计图可能要经过理论和技术二步：(第一步图1所示)，理论上，以司绳法虚拟画正方形外接椭圆，象征蛋及太阳运行轨迹；第二步，技术细节上，用尺规几何作图和格网设计定修造尺寸。

四、尺规和格网法作大金字塔设计图与修造尺

司绳法是用棍子和绳子画正方形外接椭圆几何设计图。拉紧绳并绕两焦点转动作图的过程，既看似在模仿金字塔在地面投影的轨迹，又象征太阳的运行。正方形外接椭圆几何设计图上，塔高的平方与塔面三角形面积相等，则必然塔面三角形高与12塔边之比等于黄金比。塔面三角形及塔立截面三角形为黄金三角形。塔面面积与塔基正方形面积比等于黄金比。实际上，正方形外接椭圆是黄金椭圆，是宇宙中最美丽的几何图。

正方形外接椭圆几何设计图可用多种作图法构建。在几何图上，倾斜角计算值为51°49′38″(51.827°)，即锥高与底边之比为0.6360098，以分数表示约为159250。但是，由于数学知识的局限，塔建造者是不可能计算出此精确值，而只能用最简便的格网法得出近似值。设想大金字塔设计图是几何图，则意味着先画图，再定边长尺寸，然后再用格网量取塔高尺寸比例。格网是最为简单而自然的确定边长与塔高比例的方法，塞克得即可能就源自格网。其次，司绳法作图尺寸难以画准确，故无法据此定塔高或塔倾斜角。而要作为施工修造图，须要精准作图尺寸。经过长期研究，我发现了以下四种正方形外接椭圆几何设计图尺规作图法，其详细作图步骤如下：(见下图5)

图5 大金字塔设计图之四种尺规作图法

(一)14格网法：把正方形ABCD画以14×14格网，并分别于中心横线距中心点312格处，定圆心O1、O2，再分别以O1A、O2D为半径，画圆弧AGB和CHD，并分别交横轴于G、H；然后，分别于正方形纵轴距中心点5格处，定圆心O3、O4，并以O3B、O4A为半径，画圆弧APD和DP’C，并分别交纵轴于P、P’。四圆弧AGB，CHD，APD和DP’C构成一副椭圆形，GH为椭圆长轴，PP’为椭圆短轴。再把此格网沿塔高延伸两格，塔高顶点就在约8910格(实际计算8.892格，比按几何值计算塔高=14×0.6360098 = 8.904格少0.012格，是近似椭圆)，则倾斜角正切函数为8910格塔高与7格即边长的二分之一之比，即倾斜角为51°48′52″(51.814°)，比几何值略小。此作图法最令人惊奇的是，圆弧圆心O3、O4似乎恰好在距中心五格与六格的交接角上。

(二)小正方形定圆心法：在正方形ABCD中心作其四分之一的小正方形及其外接圆。O1,O2分别为正方形ABCD中线F1F2之14、34点，O3,O4分别为小正方形外接圆与纵轴的交点。分别以O1,O2为圆心AO1，DO2为半径画圆弧AGB，CHD；再分别以O3,O4为圆心BO3，AO4为半径画圆弧BP’C，APD。四圆弧在正方形ABCD四角交汇，构成封闭的椭圆形。实际计算8.899格，比按几何值计算塔高少0.005格，也是近似椭圆。

(三)双圆定椭圆长短轴法：以正方形横中线F1F2之12点O1为圆心，O1A为半径画圆，圆交OF1于a，再以F1为圆心，F1a为半径画圆，交正方形纵轴线于P、P’，交横中轴线于G、H。OP为椭圆短半轴，OG为椭圆长半轴。此法无需画椭圆，定塔高准确。

(四)双正长方形及其外接圆定塔面三角形法：作双正长方形(Double Square)ABCD之外接圆，圆与长方形纵轴交于P，连接PB、PC，△PBC即塔面黄金等腰三角形。把四个与此相等三角形，底边、顶点与腰两相拼一起，可以搭一座标准黄金金字塔设计图模型。此法无需定塔高。

以上四法中，14格网法最具有可操作性，因此最有可能为原设计用辅助方法。自中王国(the Middle Kingdom)以后，格网被广泛用于人体绘画和雕刻等的模板(cannon)。有些学者也用之于算术及大金字塔设计图研究。《莱茵德算书》(RMP)问题48、问题50有关求面积方法，Engels教授解之以18格网。*Hermann Engels, Quadrature of the Circle in Ancient Egypt, Historia Mathematica .no.4,1977, pp.137-140.John Romer 设想6格网作为金字塔设计框架。*Romer, J. The Great Pyramid Ancient Egypt Revisited,Cambridge University Press,2007, pp.64,65,217,454.Christopher Bartlett认为大金字塔是按人体比例格网模板设计的。*Christopher Bartlett, ‘The Design of The Great Pyramid of Khufu’, Nexus Network Journal，Volume 16, Issue 2, August 2014,pp. 299-311.尺规法画好的几何设计图是未知尺寸比例，如作画对象的物体或人体一样。埃及人当时还没有掌握几何计算方法，只有用格网对图进行按比例放大或缩小。格网是最简单自然的方法，而且14格网与设计图作图是相辅相成的。

选择不同的正方形边长格网数，在设计图上塔高顶点定位取值难易度会不同，依据是塔高顶点所在的一格，是否容易被再细分。根据计算，有些边长格网数使塔高比较容易被再细分。如正方形边长用8格网，计算塔高是5.088格即约5110格；边长11格网，塔高6.996格即约7格；边长14格网，塔高8.904格即约8910格；边长15格网，塔高9.54格即约912格。但是，用另外一些边长格网数，塔高顶点所在最后一格就不易再细化为简单整数或分数。如边长9格网塔高5.724格；边长10格网塔高6.36格；边长12格网高7.632格等等。用这种格网测塔高自然不方便不易准确。

用14格网辅助作图有显而易见的优势：其一，塔高顶点定位相对简单而准确。其二，格网数14×14=7×28，与皇家腕尺度量体系一致(1腕尺=28指=7掌，1掌=4指)。其三，便于计算。按新腕尺测量塔基边长为444腕尺，则14格网每格为888指或222掌。*大金字塔皇家腕尺=0.5188米。有关此腕尺值的研究将另文讨论。其四，最重要的是便于制作修造尺。如图5(一)正方形D角与P点到椭圆两焦点的直线构成的直角三角形⊿F2DD’，其两直角边格数之比是7512，斜边又恰好等于塔高OP。此三角形很容易使人联想到皮特瑞教授所谓大金字塔的升伸(rise-run)比7512。*Petrie,W.M.F. & Hawass,1990,p.93.特别重要的是，它可以方便的用来制作修造尺，极有利于建筑施工。如果按两直角边升伸比7512计算，塔倾斜角值为51°50′34″(51.843°)，比较接近测量值。下图6是根据图5(一)格网升伸比7512，并参照埃及石匠常用建筑尺而设计的大金字塔修造尺模型。

图6 (左)出土A形建筑尺(图据John F. Lamb Jr.，p.166)⑤(右)多用A形修造尺(7512掌)设计图——直尺、直角尺、水平尺、大金字塔倾斜角测量尺

图6(左)是出土于第19王朝第3位法老伟大的拉姆西斯二世(Rames II，1279-1213BC)的建造工程师Sen-nedjem墓中的修造尺。*John F. Lamb Jr., ‘Two Egyptian Construction Tools’,The Mathematics Teacher, Vol. 86, No. 2 (February 1993), pp. 166-167.拉姆西斯二世被认为是所有法老中最伟大的建造者，他在阿布辛贝(Abu Simbel)建有两座巨大的岩石神庙。另外，开罗博物馆(Cairo Museum)也收藏有A形水平尺(编号4214,4215)、垂直尺(编号4217)和直角尺(编号4216)。*Lehner, M., The Complete Pyramids,London:Thames&Hudson,1997, p.210.A形尺工具主要用作帮助建筑立正和找平，但无法测量金字塔倾斜角，我们是否可据此A形尺推断出金字塔倾斜角修造尺呢？

图6(右)是根据大金字塔设计图所示升伸比(图5(一))，把均长的A形水平尺尺腿，按升伸比7∶512调整为一长一短尺腿，就制成一把多用尺，即可用作直尺、直角尺、水平尺、最重要的是大金字塔倾斜角校正尺。测量时，把两尺脚(长腿向下)放置于覆石斜面，吊坠线压过横杆上设定的点，则覆石面即为设计倾斜面。测量水平面时，吊坠线穿过横杆设定的水平线点。

五、大金字塔船坑位置与蛋形设计图

大金字塔塔南掩于围墙下的两船坑，于1954年由埃及建筑及考古家马拉克(Kamal el-Mallakh)发现，并由尤瑟夫·马斯塔法(Ahmed Youssef Mustafa)负责，把被分解的1，224船部件成功组装出复原船。东西两船坑间隔3.35米，其中心线在塔南北中轴线的延线上。中轴线西为#1船坑，线东为#2船坑。

在格网设计图上，把塔基14×14设计格网再向外延伸两格覆盖塔高部分，则两南船坑北沿到塔南基脚的距离为1格+1腕尺，即916指或16.4532 +0.5188=16.972米。此距离与塔北入口距地面垂直高度一样，也与国王墓室宽+室对角线的距离一致，也与大金字塔外形设计画椭圆时，绳子在正方形两角形成的直角三角形一致。

据本文发现的正方形外接椭圆外形设计图对船坑设计意图判断，与以上学者的推测不同。在下图7中，塔东殡殿南北的两船坑(#3，#4)都在椭圆框内，也在南北向的椭圆圆弧上。两船形船坑船向南北，与塔内部通道走向一致，应该是运载法老木乃伊过尼罗河及葬仪用船停泊坑。皇后室、国王室中所谓空气通道也是南北走向，因此两船坑或也为法老卡巴乘用船停泊坑。

塔基南边的#1、#2两船坑(国王室与地下室在塔内位置也是中轴偏南)之功能是使船复活的船的墓室，船是复活的法老与太阳神巡游天空的太阳船。理由有三：一是船墓室是用精细的尺寸和巧妙的几何设计；二是船室位置，在塔南并且在司绳作图画设计图椭圆的两条顶点到两焦点的线上，看似置于塔面及所象征的太阳光线上；三是复原木船的尺寸设计是根据塔几何设计图，而且船被拆解和密封，是组合而复活的象征。限于篇幅，关于此船坑的尺寸和巧妙的几何设计将另文讨论。

最东边的#5船形船坑的西台阶交于椭圆框，似乎是船随太阳东升西落沿椭圆框巡游并在夜间从地下沿下椭圆弧回到地面。是太阳船白天的起点和夜晚巡游的终点，如同码头。

因此，东西船向的三船坑(#1、#2 )，应该是法老复活转化为太阳神后，乘之随太阳神拉(Ra)沿椭圆框往来巡游天空及地下的太阳船。希罗多德记述“(金字塔)所在为尼罗河引水的运河环绕，像是一座岛”。*Herodotus，“… and the underground chambers, which Cheops intended as vaults for his own use; these last were on a sort of island, surrounded by water introduced from the Nile by a canal.”The Histories,Translated by George Rawlinson, http:∥classics.mit.edu /Herodotus/history.1.i.html这些船环绕大金字塔巡游的设计理念或是此传说的最好注解。另外，Reisner在清理#5船坑时候，在坑内发现绳索和镀金的木头碎片。Maragioglio & Rinaldi发现，#5船坑壁有放置橫木的凹槽，说明坑中似乎曾泊有豪华的木船。*Petrie,W.M.F. & Hawass, 1990, p.114.

图7 大金字塔五船坑在设计图上的位置关系 (图底版据 Maragioglio & Rinaldi, pl.1,fig.1, 1965)

六、结论

本文探讨了最简单的蛋形正方形外接椭圆大金字塔几何设计图是怎么画、为何如此画和如何计算问题。

大金字塔蛋形设计图有五种作图方法：一种司绳法，四尺规法。修造图是司绳法结合尺规法和格网设计而成。

设计图所反映的大金字塔设计思想，是设想塔立蛋中，上顶蛋形圆弧天空，下半掩于吉萨高地。构建蛋的方法系画正方形外接椭圆。可能由斯尼夫鲁在美杜姆金字塔三期确定设计图，也极有可能胡夫负责设计和建造。设计理念基于观察太阳每天在金字塔(当时已建弯曲金字塔、红色金字塔及美杜姆金字塔二期)投下的沿椭圆形移动的塔影，再观察太阳的光芒及太阳在太空的运行轨迹，也观察代表生命孕育与新生的蛋。如同伏羲创八卦时之仰观俯察远求近取。设计图使人想象塔整体被包在一枚半掩地平线的优美巨蛋中，椭圆弧把塔基四脚和塔尖皆联通一起，浑然一体。塔像是顶天立地于中心，太阳沿象征天空的蛋形椭圆框运行。或因此，大金字塔俗称“胡夫的地平线(Khufu's Horizon)”。正方形外接椭圆几何设计图，揭示了金字塔的象征意义及建筑思想精髓。

π、塞克得、等面积说和φ理论，皆非原固有塔设计思想。《莱茵德算书》等古算书有关金字塔计算的塞克得，是金字塔设计上的技术性方法，或用作制不可或缺的修造尺。泰勒谓希罗多德有关大金字塔记载为等面积理论。理念上与埃及古算书载求圆面积法(非π方法，而是化圆为方即直径89的平方)有相通之处。但二者所得的都是近似值。如设塔高为7，底边的一半为512，则塔面高约8910，计算塔面面积 = 512×8910=97920= 48.95≈ 72。如果直角三角形之长直角边或升的平方即b2=ac，则此三角形即开普勒三角形(Kepler’s Triangle)，也即黄金三角形。无论是用升伸比或塞克得512，还是等面积说和φ理论，从几何设计图来说都只是近似值。相互矛盾之处是，既然已经用了简单的塞克得方法，还有必要用等面积说和φ理论吗？

如果完全按正方形外接椭圆几何图设计修造大金字塔，并设塔基边长为1，则塔面三角形面积等于塔高的平方，等于18+1)。塔面三角形高与12正方形边长之比、塔面面积与塔底面积之比、椭圆长轴或椭圆短轴的平方与正方形边长之比等等皆是黄金比即φ=12+1)=1.61803399。

理论上，蛋形设计图是用正方形外接椭圆司绳法作图；技术上，蛋形设计图变为修造图的关键，是发现了尺规法作正方形外接椭圆图和发现了几何图设计用14格网两大巧合。尺规法可确保作图的方便和精确，14格网设计可确保测量的相对准确及制作修造尺的方便。即一方面在延伸的14格网上取8910格测量塔高，另一方面通过14格网所定升伸比7512制作大金字塔修造尺。由于当时数学水平的局限，修造者只好用格网测量和比例法得出塔高值。精确度取决于作图技术和方法。由此所得是技术性的格网设计倾斜角值51°50′34″，而不可能得出正方形外接椭圆设计图之倾斜角理论值51°49′38″。但我们仍然认为，塔设计者有意无意间最先发现了宇宙间最美最自然的黄金几何图，因而也可以说大金字塔是黄金比金字塔。

设计图上塔尖到正方形边部分与正方形边长之比为17125。但也可能根据在格网上的塔面高约8910，计算得出此部分高宽比为19140。此比值用于#2坑出土复原船的长宽比，#3船坑的长深比等。

大金字塔五船坑的功能。根据它们在蛋形设计图上的位置推测，胡夫殡庙左右两南北向船形坑与塔内部通道走向一致，也皆在蛋内，应该是葬仪、木乃伊及胡夫卡巴巡游用船。东南#3船坑是白天用，东北#4船坑是夜巡。东西向三船坑及#2船坑出土复原船，是法老复活永生后与太阳神一起巡游用太阳船。#2船坑船用于昼巡于天，还未公开的#1船坑船用于夜航与地。#1、#2船坑是使船复活的墓室，#5船坑如同船的码头。

(责任编辑：胡素萍)

A New Approach to the Exterior Design of the Great Pyramid of Khufu

DONG De-gang

(SchoolofForeignLanguages,HainanNormalUniversity,Haikou571158,China)

The design of the Great Pyramid is assumed to be the geometry of a square and its circumscribed ellipse, like an egg when it revolved on the major axis. Such questions as how and why the geometry was constructed and calculated are discussed in this paper. The design could be composed of the rope-stretcher’s construction (a gift of the Nile’s annual inundation), constructed with the ruler and the compass, and the square grid. Without geometrical calculations, 14×14 square grids have turned out to be natural, convenient and appropriate in the geometric construction, measurement and production of the construction tool for the Great Pyramid. The reason for the measured slope angle being 51°50′34″ as opposed to the geometry angle of 51°49′38″ is the unavoidable inaccuracy of the must-use square grids. It is concluded that the intended geometric design was an unconscious golden-sectional pyramid.

the Great Pyramid of Khufu; the exterior design; a square and its circumscribed ellipse; golden ratio; double squares, 14×14 square grids; boat pits

2016-11-2

董德刚(1965- )，男，河南桐柏人，海南师范大学外国语学院讲师，硕士，主要研究方向：英语，埃及学，易学。

K878.8

A

1674-5310(2017)01-0076-11