挖掘隐含条件 探求解题视角

陕西省商洛市洛南县西关中学(726100) 冀建军

挖掘隐含条件 探求解题视角

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挖掘隐含条件是破除解题障碍探求解题思路的关键,题目表述越简洁,隐含条件就越多,就会造成解题无法入手.因此要针对教材中典型例、习题,引导学生学会挖掘隐含条件.本文以北师大版高中教材《数学》(选修2-2)《推理证明》的一道证明题为例,进行多角度审视和深层次挖掘隐含条件,探求解题视角.

一、题目再现

题目[1]已知a＞0,b＞0,且a+b=1,求证3a+3b＜4.

二、题目隐含条件的挖掘

该题是在学生学习了《推理证明》的基础上安排在本章复习题B组的,其意图要求学生了解数学证明的几种基本方法(综合法、分析法、反证法).此题短小精悍,表述简洁,不易入手.

该题题设显示：a,b∈R+,且a+b=1,其等价条件：0＜a,b＜1,a,b相互制约,且b=1-a.难点在于3a、3b的取值相互制约,3a+3b-4不能直接分解因式,不能直接作差、作商比较,同时由于3a·3b=3,根据“定积和最小”可求3a+3b的最小值,但不能直接用基本不等式确定3a+3b的上确界.此题作为证明题,借助所求证结论寻找隐含条件,是寻找证明思路的一种常用方法.

从不等式证明角度分析结论：要比较3a+3b与4的大小,必须把4与3a、3b联系起来,如4=3a+b+1;从函数角度,要确定3a+3b的范围,可能要借助指数函数y=3x的图像和性质.

从数学思想定位：a、b两个变量相互制约要运用消元思想(变二元为一元)、化归思想等;从数学学科特点考虑可能用数形结合思想.

相关隐含条件如：b=1-a,3b=31-a,3a·3b=3,3a+b=3,4=3a+b+1,0＜a＜1,1＜3a＜3等.这些信息重新组合将会得到不同的解题思路.

三、探求几种证明视角

1.不等式常规证明视角

分析不等式证明首先考虑常规方法,如作差(商)比较、分析法、反证法,但必须借助隐含条件,若将结论中的“4”变成与a,b有关系的形式,或利用3a的范围,便于常规证明.

证法1由于a＞0,b＞0且a+b=1,则0＜a,b＜1,即3a＞1、3b＞1,则3a+3b-4=3a+3b-3a+b-1= (3a-1)(1-3b)＜0,亦即3a+3b＜4.

评注此法做差比较,运用隐含条件 3a+b=3, 4=3a+b+1,将所证结论转化成证明3a+3b＜3a+b+1.考虑到不等式两边为正值,可用作商比较法.

证法2 由于3a+3b＞ 0,,由0＜a＜1,即1＜3a＜3,则(3a-1)(3a-3)＜0,即32a-4×3a+3＜0,即32a+3＜4×3a.故即3a+3b＜4.

证法3 要证3a+3b＜4,由于3a+3b＞ 0,只需证 (3a+3b)2＜16,即证 (3a+31-a)2＜16,即证32a+9×3-2a-10＜0,也就是证34a-10×32a+9＜0,即证1＜32a＜9,即证1＜3a＜3,即证0＜a＜1,而由已知条件知0＜a＜1成立,从而3a+3b＜4.

评注证法2、证法3运用了3b=31-a以及1＜3a＜3这两个隐含条件.同时体现了消元思想.

证法4 假设存在满足条件(a,b∈R+且a+b=1)的a、b,使3a+3b≥4成立,即3a+31-a-4≥0,即32a-4×3a+3≥0,即3a≤1或3a≥3,即a≤0或a≥1,这与已知条件中0＜a＜1矛盾,故3a+3b＜4.

证法5(应用排序不等式)由于0＜a＜1,则有3＞3a, 1＞ 3-a,应用排序不等式[2]可得出：3×1+3a·3-a＞3·3-a+3a×1,即4＞31-a+3a=3b+3a,故原命题成立.

评注证法4反证法要注意题设是全称命题,假设否定形式必须是特称命题;证法5巧用排序不等式.

2.函数与方程视角

分析不等式问题通常与函数联系在一起,通过构造函数利用函数单调性等相关性质解决不等式问题.构造函数时,尽可能借助学生的基本的数学知识、技能、数学思想和活动经验构造学生熟知的函数.

评注证法6构造函数,利用求导确定函数单调性求证是证明不等式的常用方法,考虑到,构造“对勾”函数更为简单.

评注证法7和证法8分别利用了“对勾”函数和二次函数.

3.线性规划视角

分析由隐含条件3a·3b=3,令x= 3a,y=3b,则点(x,y)在曲线xy=3上,转化成求x+y的取值范围.

图1

证法9 由0＜a、b＜1,令x=3a, y=3b,则1＜x,y＜3且xy=3,作函数如图1.确定目标函数z=x+y,作直线l0:x+y=0,平移直线l0经过A点时(此时直线与相切),z=x+y有最小值,平移直线l0经过B(或C)时,z=4,但由于曲线(1＜x＜3)是不含端点B、C的一段曲线,即x+y＜4,故3a+3b＜4.

评注此法利用隐含条件xy=3(其中x=3a,y=3b)转化成求z=x+y的最大值,思路简洁,运算简单.

4.解析几何视角

证法10[3]如图2,作函数y=3x的图像,过点P(0,1)、点Q(1,3)作割线交y= 3x于P、Q,PQ方程为y=2x+1,显然当0＜x＜1时,线段PQ在曲线y=3x上方,即3x＜2x+1,故有当0＜a,b＜1时, 3a＜2a+1,3b＜2b+1,则3a+3b＜2(a+b)+2=4,即证.

图2

[1]严士健,王尚志.普通高中课程标准实验教科书：数学选修2-2[M].北京：北师大出版社,2006.

[2]严士健,王尚志.普通高中课程标准实验教科书：数学选修4-5[M].北京：北师大出版社,2006.

[3]李景印.一道教材习题的研究性学习[J].中学数学教学参考,上旬, 2015(3)：35.