立足核心素养 多维剖析试题 探究创新解法——以全国Ⅰ卷的理科压轴题为例

安徽省太和县太和中学(236600) 岳峻

立足核心素养 多维剖析试题 探究创新解法
——以全国Ⅰ卷的理科压轴题为例

安徽省太和县太和中学(236600) 岳峻

2016年安徽高考第一次回归全国Ⅰ卷,引起了全体考生和中学数学教师的关注,特别对高考理科压轴题,更是议论的重点.全国Ⅰ卷的第21题是一道导数应用问题,呈现的形式非常简洁,考查了函数的双零点的问题,与往年的形式有较大的变化,充分体现了高考试题的灵活性,其题意的理解不难,是考生实力与潜力的综合演练场,但许多考生面对高考的参考答案大都感到“想不到”或“不自然”,费尽思考[1].

作为一线的教研工作者,笔者思考的问题很多,本文欲从考题和解答出发,理性的对这个考题进行多维剖析、探究和思考,旨为今后的高考命题和高考复习教学提供一点参考.

1 试题呈现

已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围;

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明x1+x2＜2.

2 多维解析

2.1官方解析

2.2第(1)问的多维剖析

剖析1 本题含有参数的函数f(x)有两个零点,自然想到研究其单调性,结合零点存在性定理求a的取值范围.

剖析2含有参数的函数f(x)的零点个数问题,可否转化为两个函数图象的交点个数问题,应用数形结合思想来处理呢?

2.2第(2)问的多维剖析

剖析1 本问待证是两个变量的不等式,官方解析的变形是x1＜2-x2,借助于函数的特性及其单调性,构造以x2为主元的函数.由于两个变量的地位相同,当然也可变形为x2＜2-x1,借助于函数的特性及其单调性,构造以x1为主元的函数来处理.此法与官方解析正是极值点偏移问题的处理的通法[2].

解法1调整主元,殊途同归

不妨设x1＜x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞), 2-x1∈ (1,+∞),f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以x1+x2＜2等价于f(x2)＜f(2-x1),即f(x1)＜f(2-x1).令u(x)=f(x)-f(2-x)=xe2-x-(2-x)ex(x＜1),则u′(x)=(x-1)(ex-e2-x)＞0,所以u(x)＜u(1)=0,即f(x)＜f(2-x)(x＜1),所以f(x1)=f(x2)＜f(2-x1);所以x2＜2-x1,即x1+x2＜2.

剖析2极值点偏移问题的解题策略：若f(x)的极值点为x0,则构造一元差函数F(x)=f(x0-x)-f(x0+x),巧借F(0)=0,借助于F(x)单调性比较x2与2x0-x1的大小,即比较x0与的大小,这也是极值点问题解决的通法[3].

解法2极值点对折,回归本质

不妨设x1＜x2,由题意知f(x1)=f(x2)=0.要证不等式成立,只需证当x1＜1＜x2时,原不等式成立即可.

令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F′(x)=x(e1-xe1+x),当x＞ 0时,F′(x)＜0.所以F(x)＜F(0)=0.即f(1-x)＜f(1+x).令x=1-x1,则f(x2)= f(x1)=f(1-(1-x1))＜f(1+(1-x1))=f(2-x1),即f(x2)＜f(2-x1).而x2,2-x1∈(1,+∞),且f(x)在(1,+∞)上递增,故x2＜2-x1,即x1+x2＜2.

剖析3极值点偏移问题的本质就是对数平均,因此,利用对数平均求解是极值点偏移问题的又一解题策略[4].本题是否可以转化为对数平均问题进行求解呢?

剖析4含有参数的函数f(x)的零点个数问题,可以转化为两个函数图象的交点个数问题,再探讨极值点偏移问题来解决.

解法4变量分离,变形构造

由(1)解法3的结果,不妨设x1＜1＜x2,则只需证1＜x2＜2-x1,由于g(x)在(1,+∞)单调递增,只需证g(x2)＜g(2-x1),由于g(x2)=g(x1)=-a,亦即g(x1)＜g(2-x1),下面证明∀x＜1,g(x)-g(2-x)＜0,即∀x＜1,(x-2)ex+xe2-x＜0.令h(x)=(x-2)ex+xe2-x,则h′(x)=(x-1)(ex-e2-x),因为x＜1,所以ex-e2-x＜0,所以h′(x)＞0,所以h(x)在(-∞,1)单调递增,h(x)＜h(1)=0,问题得证.

剖析5 若f(x)的极值点为x0,则构造一元差函数F(x)=f(x0-x)-f(x0+x).能否通过换元转化为极值点为0的t(x),通过研究t(x)的极值点偏移问题解决问题呢?

解法6换元转化,化繁为简

不妨设x1＜1＜x2,要证(x1-1)+(x2-1)＜0,只需证x1-1＜-(x2-1)＜0,令t=x-1,则只需证 t1＜-t2＜0,令 m(t)=(t-1)et+1+at2,则m′(t)=tet+1+2at=t(et+1+2a),则m(t)在(-∞,0)单调递减,只需证m(t1)＞m(-t2),由于m(t2)=0=m(t1),只需证m(-t2)＜0,即(-t2-1)e-t2+1+at22＜0,由于(t2-1)et2+1+at22=0,只需证(t2-1)et2+(t2+1)e-t2＞0,令h(t2)=(t2-1)et2+(t2+1)e-t2(t2＞0),则h′(t2)= t2(et2-e-t2)＞ 0,所以h(t2)在(0,+∞)单调递增,故h(t2)＞h(0)=0,从而得证.

解法7变量分离,换元转化

剖析5极值点对称构造是极值点偏移问题的解题策略之一,其实质就是对称思想的灵活应用,因此也可以妙用对称思想,结合数形结合思想加以求解.

解法8妙用对称,数形结合

由(1)解法3的结果,g(x)在 (-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,如图所示,作函数y=g(x)(x＜1)的图象关于直线x=1的对称图象,其函数解析式为y=g(2-x)(x＞1),作直线y=-a与y=g(x)交于两点(x1,-a),(x2,-a),与y=g(2-x)交于点(2-x1,-a),为了证明x1+x2＜2,只需证明x2＜2-x1,只需证明g(x)＞g(2-x)(x＞1)恒成立即可,而g(x)＞g(2-x)(x＞1)等价于x+x·e2-2x＞2(x＞1),令v(x)=x+x·e2-2x-2(x＞1),则v′(x)= (1-2x)·e2-2x+1＞0,所以v(x)=x+x·e2-2x-2(x＞1)单调递增,v(x)＞v(1)=0,故得证.

图2

3 思考

函数与导数既是高中数学最重要的基础知识,又是高中数学的主干知识,还是高中数学的重要工具,在高考中占有举足轻重的地位,其考查的内容和形式也是丰富多彩的.全国Ⅰ卷的理科21题呈现的形式简洁,是一道符合课程标准和教材要求的,符合导向性的原则：导向性是指有利于学生进入高校继续学习和有利于中学数学的素质教育,但是,其第(1)问送分不到位,第(2)问是虽然是见诸于许多期刊的极值点的偏移问题,对于学生而言,还是难度非常大的.

在学生基础好的学校或班级或少数学生,在学生能够接受的前提下,高三的复习可以适度的延伸,也符合“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念[5].延伸的关键是适度,一定要按照学生的接受能力作介绍和补充.

[1]岳峻.以数学审题探核心素养如何落地[J].数学通报,2016(11)：44-48.

[2]岳峻.主元法破解极值点偏移问题[J].中学数学,2016(12)：54-56.

[3]岳峻童永奇.对数平均数不等式链的几何证明与变式探究[J].数学通讯(教师),2016(11)：41-43.

[4]岳峻.对数平均数不等式链的几何解释与应用[J].中学数学研究(华南师大),2016(11)：32-34.

[5]岳峻.提升数学思维素养的教学实践与思考[J].中学数学(上旬), 2015(12)：96-98.