活跃于竞赛与高考中的取整函数*

甘肃临泽一中(734200) 魏正清

活跃于竞赛与高考中的取整函数*

甘肃临泽一中(734200) 魏正清

取整函数在各类竞赛及近几年的高考中频频出现,本文拟通过一些实例来解析处理相关问题的方法.

1.换元法

例1 计算___.(这里[x]表示不超过实数x的最大整数).

2.以退为进

例2 [log21]+[log22]+···+[log22012]=___([x]表示不超过实数x的最大整数).

3.配凑法

例3的个位数字是____([x]表示不超过实数x的最大整数).

4.周期性

例4 某校课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1.当k≥2时,

其中[x]表示不超过实数x的最大整数.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为____.

5.构造函数

例5证明方程[x3]+x2=x3+[x2]有非整数解([x]表示不超过实数x的最大整数).

6.估算法

例6计算的值(其中2008共出现了2008次,[x]表示不超过实数x的最大整数).

7.用定义

例7 方程在区间[0,2π]内的所有实根之和为___([x]表示不超过实数x的最大整数).

8.构不等式

例8=____([x]表示不超过实数x的最大整数).

分析注意到取整函数中含有三角函数,可构建不等式脱去三角函数,从而找到解题思路.

9.构等式

例9被63除的余数为____([x]表示不超过实数x的最大整数).

10.分类讨论

例10 计算___([x]表示不超过实数x的最大整数).

分析注意到取整函数的结构特征,可对整数n进行分类讨论处理.

11.利用性质

例11 记[x]表示不超过实数 x的最大整数,且[x1],[x2],···,[xn]为1,2,···,n的一个排列,其中n≥2为给定整数.求的最大值和最小值.

分析利用取整函数的性质xn-1＜[xn]≤xn,是解决此类问题的重要途径.

*本文是甘肃省十二五规划课题“新课程背景下数学课堂教学情景中师生关系重建研究”成果.