寻找生活知识背景，走向数学思想方法

胡智

[摘 要] 当下的高中数学教学对思想方法的强调是充分的，而数学思想方法的形成是依赖于数学知识的构建过程的. 高中数学知识之所以看起来抽象，实际上是与生活距离太远的缘故. 建立以生活知识为背景的教学思路，可以将数学教学立足于学生的形象思维与生活经验的基础之上，可以有效地形成对数学思想方法的认识，从而提高学生的核心素养.

[关键词] 高中数学；生活知识；思想方法

高中数学教学中，对于知识的构建有两个基本思路：一是遵循数学知识之间的逻辑结构，从已经学过的知识去推导新的知识. 这是传统数学教学中常用的方法，其也能够有效地帮学生认识到新旧知识之间的联系，从而让学生体会到数学知识之间的逻辑关系. 其不足之处在于，如果学生对此前的知识掌握不够扎实，那么新知识的生成就如同无源之水、无本之木. 当然，这个不足可以通过新知构建之前的旧知复习来完成，尤其是有经验的教师总能够根据新知识构建所需要的旧知分析，去有意识地引导学生复习、掌握旧知识. 二是在遵循数学知识逻辑体系的基础上，更多地通过学生熟悉的生活知识来为新知学习提供基础. 相比较而言，这一思路更具生活性，学生理解、接受起来更为容易. 其不足之处在于，生活素材的寻找比较麻烦，与传统教学思路也有不一致的地方，因此通常不是教师的第一选择. 但笔者通过研究发现，这一思路能够很好地弥补第一种思路的不足，也能够让学生更好地认识到数学与生活的联系. 笔者以为，在高中数学教学中坚持这一思路，对于学生的数学理解以及数学学科的核心素养提升来说是很有好处的，对于面对当前高考趋势也是有帮助的. 基于这样的思路，笔者建立了“寻找知识生活背景，走向数学思想方法”的教学思路，并进行了积极地实践. 现以“直线的倾斜角与斜率”的教学为例，谈谈笔者的一些思考.

■生活知识如何成为数学学习的背景

数学知识本来源于生活，最初对数与形的研究，基本上都是从生活对象开始的. 随着数学知识的高速发展，尤其是随着数学研究中抽象思维运用得越来越充分，数学知识便超越了现实层面，成為真正的思维的学科. 但同时数学又一直没有脱离生活，即使是当前最为前沿的数学知识，也为经济社会发展中的各种模型的建立提供了理论基础. 在高中数学教学中，进一步强调数学与生活的联系，是可以在学生的思维中建立数学来源于生活且服务于生活的认识的，这从面向全体学生进行数学教学的角度来看，显然可以让更多的学生认识到数学学习的价值与魅力. 教学中的挑战在于，如何让生活知识真正有效地服务于数学学习，而不只是成为数学课堂上的点缀. 对此，笔者的探究心得有二：

第一，寻找数学知识的生活原型. 很多高中数学知识都可以在生活中寻找到生活原型，“直线的倾斜角与斜率”是高中解析几何的基础知识，作为入门阶段的学习，将之建立在学生的生活经验的基础之上，有其必然性与合理性. 从数学意义的角度来看，倾斜角就是直角坐标系中直线与x轴相交之后，x轴的正方向与直线向上方向所形成的夹角. 从纯粹的数学意义的角度来理解倒也不是很难，只是这种抽象的理解缺少形象性，对于入门阶段的学习而言，不具有面向全体学生的意义. 而如果到生活中寻找原型，则可以化解这一不足. 笔者的做法是让学生去比较生活中的一些物体的倾斜程度，并让学生去寻找描述这种倾斜程度的方法. 显然，学生在数学课堂上遇到这个问题的时候，自然会想到用数学知识去描述，于是学生所思考到的生活素材与数学知识之间就形成了联系. 学生普遍地可以举出生活中的斜坡、引桥等例子，并且可以不约而同地以坡面、桥面与水平面的夹角来作为描述倾斜程度的量. 在此基础上，笔者将坡面、桥面以及水平面抽象成线，并将线移植到坐标系中，于是形象的生活对象就成为抽象的“形”，学习对象也就清晰、简洁起来，倾斜角的建立也就顺利很多了.

第二，从数学知识之间的联系点切入，寻找生活为数学学习提供支撑的着力点. 笔者注意到，学生在数学学习中很少有意识地去主动寻求不同知识之间的联系，甚至对于一些基本的数学观念（比如数形结合），都缺乏必要的认识. 这可能与学生过多的习题训练有关，也可能与教师教学中的渗透不足有关. 比如说在“直线的倾斜角与斜率”这一课的教学中，有一个基本的思想，就是代数与几何的联系的建立，其实是依靠坐标系来完成的，但很少有学生能认识到这一点. 而代数与几何的联系，实际上又是“数”与“形”的联系，某种程度上可以理解为用“数”去描述“形”，用“形”去体现“数”. 于是笔者在上面所举的例子的基础上，特别强调生活中对坡面或桥面的研究，实际上是将具体的事物抽象为简洁的图形. 而要描述这个图形，就必须借助于“数”这个语言，于是“数”与“形”之间就天然存在着密不可分的联系. 这种联系在高中数学学习中必须深刻体会，而一旦有所体会之后，就会认识到这其中有一个数学对象发挥着重要的作用，那就是坐标系. 有了这样的引导，学生对数形结合这样的重要思想往往就会有一个直观的认识，而这样的认识对于数学学习来说，积极意义是不言而喻的.

■生活知识走向数学思想方法的途径

教学经验还告诉我们，不等于将生活知识介入数学，学生就能够顺利地理解到数学思想，这其中还是存在着一个由此及彼的抵达途径的. 对于这个问题，笔者也进行了研究.

第一，要认识到生活知识的最大作用在于直观性及经验性. 为什么数学教学中要强调与生活的联系，就是因为文章开头所说的数学知识自身的逻辑性与抽象性的存在，其会影响相当一部分抽象思维能力不强的学生的数学知识的构建. 而生活知识的介入，可以帮学生化解这个困难，可以让学生的数学知识建立在形象的生活经验的基础之上. 尽管我们认为生活知识中的数学因子是有着丰富的数学思想方法的，但这种数学思想方法是不会直接体现出来的，其需要教师的引导. 这是生活知识与数学知识之间存在距离的理论分析.

第二，从生活知识走向数学思想方法，关键在于学生的“悟”，突破在于教师的“领”. 在“直线的倾斜角与斜率”一课的教学中，笔者后来还注意到有同行进行了一个细节的处理，那就是在倾斜角概念建立的时候，先将学生所举出的坡度的例子进行一个形象化的分析，将坡的高度先定义为上升量，将对应的水平面的距离定义为前进量. 笔者觉得这对于学生的理解来说并不是一件难事，甚至实际教学中可以让学生去对这两个量取名字. 起初笔者在接触到这个例子的时候，还感觉这个环节有些多余，后来越想越觉得有道理，因为我们强调尊重学生的生活体验并在学生生活体验的基础上引用学生的生活知识，要的就是这种前置于数学概念之前的生活认识，而给两个关键长度用生活语言进行定义的过程，就是教师的重要的引导方式. 有了这样的引导，学生一般就可以有一些感悟：原来描述坡面的倾斜程度的时候，仅仅凭着视觉感觉是不够的，还需要对其进行定义，还需要引入新的概念. 而当上升量与前进量引入之后不长的时间，就有学生认识到了这样的生活定义还可以变得更简洁一点，那就是用数学上已经学过的直角三角形的边来描述，还有数学基础更好的学生立马意识到了应当用正切函数来进行描述. 这样的一个过程，可以说在几乎所有的学生的心中都奠定了直角三角形的基础，余下的工作就只有一步了，那就是教师将学生的思维从直角三角形引向平面直角坐标系，而这一步由于有了前面的铺垫，可以说是水到渠成的事情.

在这个过程中，可以肯定学生已经形成了这样的一些默会的知识：其一，学生认识到描述生活对象是可以用数学语言的，而这就是数学思想的一种体现；其二，数学语言是可以由生活知识形成的，关键需要的就是自己的思考，尤其是将新问题与旧知识结合起来；其三，生活中感受到的常常是“形”，而“形”是需要用“数”来描述的，如果教师引导到位，学生其实可以在多个知识中认识到这一点.

■建立基于生活的数学教学实践思路

数学思想方法无疑是数学教学的核心，但数学思想方法又不是一个空中楼阁，其是依靠数学知识而存在的. 学生的数学学习过程，显然首先是数学知识学习的过程，数学思想方法的形成是伴随着数学知识的构建过程的. 在这个教学过程中，由于应试压力的存在，教师往往重知识而轻思想，但矛盾的是在学生解题困难的时候，往往又责怪学生的思维能力不够，不懂数学思想，事实上这与日常教学是有关的.

建立基于生活的数学教学的实践思路，是从教学观念的角度树立起生活是数学基础的认识，这种认识笔者以为是十分必要的. 尽管高中数学教学压力大，但从学生三年数学素养提升的角度来看，从一开始就强调数学与生活的联系，实际上可以让后面的数学教学越来越轻松. 可以夸张地讲，没有一个高中数学知识寻找不到生活的影子，当学生建构数学知识困难，或某个数学思想方法极为典型的时候，就需要引入生活元素，为学生的数学知识建构奠定一个坚实的基础. 即使从应试的角度来看，这也是一个“磨刀不误砍柴工”的奠基性工作，真正睿智的教师，是不会忽视从生活知识到数学思想这个有效途径的.