可消理想的刻画

徐 静 雯

(南京理工大学 理学院，南京 210094)

可消理想的刻画

徐 静 雯

(南京理工大学 理学院，南京 210094)

针对交换环R中的理想I是可消理想的定义，提出在(冯诺依曼)正则算术环中建立可消理想的一个等价刻画；通过映射φ:Lat(R)→Lat(I)：对于任意的A∈Lat(R),φ(A)=I∩A，寻找环R和理想I的进一步关系，得出对于任意的0≠e∈Idem(R)，存在0≠f∈Idem(I)使得Re=Rf;从而给出完全算术环中可消理想的等价条件：R是一个完全算术环且J(R)=0，那么I是一个可消理想当且仅当对于任意e∈Idem(R)，存在f∈Idem(I)使得Re=Rf.

正则环；可消理想；完全不可约理想；完全算术环

交换环理论中一个基本的定理就是理想的可消性：如果对于任意的理想A,B，由AI=BI有A=B.很显然，主理想a是可消理想当且仅当a是一个非零因子.可逆理想也是可消理想，所以戴德金环中每个理想都是可消理想.

Kaplansky在文献[1]中告诉我们在拟局部环中有限生成的可消理想是主理想.用Kaplansky的方法，Anderson和Roitman在文献[2]中建立了交换环中可消理想的刻画.特别地，一个理想I是可消理想当且仅当I是局部正则的主理想环.然而，从这一描述不能直接判断给定的理想是否是可消理想.Huneke进一步在文献[3]中研究了正则局部环中的可消理想并且建立了对于某些特殊的理想的一些刻画.如果R是一个局部正则环，P是R的素理想并且dim(R/P)=1，J是P的最小约减，则由PI=PJ得到I=J对于R中任意的理想都成立.

本文的主要目的就是在(冯诺依曼)正则算术环中建立可消理想的一个刻画.主要的结论就是定理1，定理1介绍了对于一个正则算术环R，以下的结论是等价的：(1)I是可消理想；(2) 映射φ:Lat(R)→Lat(I)：对于任意的A∈Lat(R),φ(A)=I∩A是一个同构映射；(3) 对于任意的0≠x∈R，存在0≠y∈I，使得ValR(x)=ValR(y)；(4) 对于任意的0≠e∈Idem(R)，存在0≠f∈Idem(I)使得Re=Rf.

在这篇文章中，R是含单位元1的交换环,用J(R)表示Jacobson根，Idem(R)表示所有幂等元的集合，Lat(R)表示所有理想的格.

注意到以下条件是等价的：

(1)M是完全不可约的.

(2)M*=∩{J∈Lat(R)|J⊂M}是严格包含M的最小理想.

(3) 对于任意的x∈M*-M，M是不包含x的极大理想.

文献[4]给出了环R中非零元x值的定义：如果一个理想M是不含x的极大理想，则M被称为x的值.由Zorn引理，R中每个非零元都至少有一个值，用Val(x)表示x所有值的集合.因此，可以推出：M∈ValR(x)⟺x∈M*M⟺M是完全不可约的.

引理1 令I是环R的一个理想，定义φ：Lat(R)→Lat(I)如下：对于任意的A∈Lat(R),φ(A)=I∩A，则φ是保序的满射.

证明 显然φ是保序的映射.对于I中任意的理想α，令A是R中由α生成的理想.注意到A=∩{M∈Lat(R)|M⊇α,M是完全不可约的}，并且α⊆A∩I.如果x∉α，那么由Zorn引理，存在M∈ValR(x)使得α⊆M.故x∉A∩I，所以α=A∩I.这表明φ是保序的满射.

显然，如果φ是单的，则φ就是一个格同构.在这种情况下，A∈Lat(R)是主理想当且仅当I∩A是主理想.

为了后面表述便利,回顾一下已有知识：

(1) 一个环R被称为(冯诺依曼)正则是指对于任意的x∈R，存在某个y∈R使得x=xyx.

(2) 环R的一个理想M被称为不可约是指对于环R的理想I和J，如果I∩J=M，则有I=M或者J=M.

(3) 环R的一个理想M被称为强不可约是指对于环R的理想I和J，如果I∩J⊆M，则有I⊆M或者J⊆M[5].

(4) 环R被称为算术环是指对于环R的任意理想I,J,K,有I+(J∩K)=(I+J)∩(I+K).

在文献[5]中给出了算术环的等价条件：一个环R是算术环当且仅当R的每个不可约理想是强不可约的.

引理2 一个环R是(冯诺依曼)正则算术环当且仅当R的每个不可约理想是素的.

证明 “⟸”首先证明R是(冯诺依曼)正则的.只需证明对于环R的任意理想I,J，有I∩J⊆IJ即可.假设I∩J，那么可以选择0≠x∈(I∩J)IJ.由Zorn引理，存在某个M∈ValR(x)使得IJ⊆M.M完全不可约，所以M是素的.由IJ⊆M，有I⊆M或者J⊆M.注意到x∈I∩J但是x∉M，显然矛盾.所以I∩J=IJ,所以R是(冯诺依曼)正则的.由于R的素理想一定是强不可约的，所以R的每个不可约理想都是强不可约的，所以R是一个算术环.

“⟹”令M是R的一个不可约理想，I,J是R的理想并且有IJ⊆M.由于R是(冯诺依曼)正则的，有IJ=I∩J.又由于R是算术环，M强不可约，由I∩J=IJ⊆M可以得到I⊆M或者J⊆M，即M是素的.

定理1 令R是(冯诺依曼)正则算术环，以下条件是等价的：

(1)I是可消理想.

(2) 映射φ:Lat(R)→Lat(I)：对于任意的A∈Lat(R),φ(A)=I∩A是一个同构映射.

(3)对于任意的0≠x∈R，存在0≠y∈I，使得ValR(x)=ValR(y).

(4)对于任意的0≠e∈Idem(R)，存在0≠f∈Idem(I)使得Re=Rf.

证明

(1)⟹(2)：因为R是正则环，所以是显然的.

(2)⟹(3)：如果映射φ是同构，那么对于任意的0≠x∈R，存在0≠y∈I使得(y)=I∩(x).断言ValR(x)=ValR(y).如果M∈ValR(x)，那么x∈M*M,显然，y∈M*.假设y∈M,那么I∩(x)=(y)⊆M.由于R是(冯诺依曼)正则算术环，M完全不可约意味着M强不可约且M是素的.由(x)⊄M，根据引理2，可以得到I⊆M，所以由φ是同构，可以得到M=M*,矛盾，所以得到M∈ValR(y).反过来，如果M∈ValR(y)，那么由y∉M可以得到x∉M.注意到，由y∉M得到I⊄M,可以选择k∈IM.由于R是一个(冯诺依曼)正则算数环，(y)=I∩(x)=I(x)，对某个r∈R，有y=krx成立.由y∈M*M，x∈M*M，从而M∈ValR(x)，所以ValR(x)=ValR(y).

(3)⟹(4)：由于R是一个(冯诺依曼)正则环，只需要证明对于任意的0≠x∈R，存在0≠y∈I使得Rx=Ry即可.假设Rx⊄Ry，那么x∉Ry.由Zorn引理，存在M∈ValR(x)，使得Ry⊆M,所以M∉ValR(y)这与ValR(x)=ValR(y)矛盾.从而Rx⊆Ry，同理得到Ry⊆Rx，所以Rx=Ry.

(4)⟹(2)：对于R中任意幂等元e,f，Re=Rf成立当且仅当ValR(e)=ValR(f)成立.令I∩A=I∩B，其中A,B∈Lat(R).假设A⊄B，那么由R是(冯诺依曼)正则，可以选择0≠e∈AB，由Zorn引理，存在幂等元0≠f∈I使得ValR(e)=ValR(f).所以，ef∈I∩A=I∩B⊆B⊆M，由引理2可知，M素，能得到e∈M或者f∈M,矛盾.因此，能得到A⊆B，同理可得B⊆A.故A=B且φ是单射，所以φ是同构.

在文章的最后，将把定理1应用到研究完全算术环的可消理想上.

由文献[4]中定理3.3,知道环R是完全算术环并且J(R)=0当且仅当R是一个半局部(冯诺依曼)正则环.

根据定理1和文献[4]中的定理3.3可以直接得到：

推论1 令R是一个完全算术环且J(R)=0，那么I是一个可消理想当且仅当对于任意e∈Idem(R)，存在f∈Idem(I)使得Re=Rf.

[1] KAPLANSKY I.Topics in Commutative Ring Theory[M].University of Chicago,2013

[2] ANDERSON D D, ROITMAN M.A Characterization of Cancellation Ideals[J].Proceeding of A M S ，1997,125(10): 2853-2854

[3] HENEKE C.A Cancellation Theorem for Ideals[J].J of Pure and Appl Alg，2000(152):123-132

[4] LU X.Completely Arithmetical Rings[J].Communications in Algebra,2014,42(9):4047-4054

[5] HEINZER W J,RATLIFF JR L J,RUSH D E.Strongly Irreducible Ideals of a Commutative Ring[J].J of Pure and Appl Algebra， 2002(166):267-275

[6] BLAIR R L.Ideal Lattices and the Structure of Rings[J].Trans Amer Math Soc,1953,75(1):136-153

[7] FUCHS L,HEINZER W J ,OLBERDING B.Commutative Ideals Theory without Finiteness Conditions: Completely Irreducible Ideals[J].Tran Amer Math Soc,2006,358(7):3113-3131

[8] JENSEN C U.On Characterizations of Prufer Rings[J].Math Scand,1963(13):90-98

[9] JENSEN C U.Arithematical Rings[J].Acta Math Sci Hungar,1966(17):115-123

责任编辑：李翠薇

A Characterization for Cancellation Ideals

XU Jing-wen

(School of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

As for the definition of an ideal I of a commutative ring R which is called a cancellation ideal, this paper establishes an equivalent characterization for cancellation ideals in a (von Neumann) regular arithmetical ring, uses the mapφ:Lat(R)→Lat(I):for anyA∈Lat(R),φ(A)=I∩Ato study the relationship betweenRandI, then successfully gets the conclusion that 0≠e∈Idem(R), there exists 0≠f∈Idem(I), such thatRe=Rf, therefore gives the equivalent condition for cancellation ideal in completely arithmetical ring:Ris a completely arithmetical ring andJ(R)=0, then I is a cancellation ideal if and only if for anye∈Idem(R), there existsf∈Idem(I), so thatRe=Rf.

regular ring; cancellation ideal; completely irreducible ideal; completely arithmetical ring

2016-06-30；

2016-10-25.

徐静雯(1992-)，女，江苏常州人，硕士，从事代数学研究.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0002.008

O152.2

A

1672-058X(2017)02-0034-03