迭代算法求解矩阵方程埃尔米特双对称解*

2017-03-27胡志增杨春花

重庆工商大学学报（自然科学版） 2017年2期

关键词：湘潭证明定义

胡志增, 杨春花

(湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411105)

迭代算法求解矩阵方程埃尔米特双对称解*

胡志增, 杨春花

(湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411105)

复矩阵方程；迭代算法；埃尔米特双对称解

1 问题论述

本文主要考虑以下问题.

问题Ⅰ 已知矩阵A1,A2,C1,C2∈Cp×n,B1,B2,D1,D2∈Cn×q,M1,M2∈Cp×q，求矩阵X∈HBSCn×n使得

(1)

2 问题Ⅰ的规范方程

以下主要给出式(1)的最小F范数剩余问题规范方程.

首先，给出推导过程中所用到的一些定义和引理.

定义1 设S⊆Cn×n,对于任意矩阵x1,x2∈S，以及任意数α∈(0,1)，若都有αx1+(1-α)x2∈S，则称矩阵集S是凸的，用Qc表示Cn×n上的凸子集.

定义2 若对于任意x1,x2∈Qc以及α∈(0,1)，矩阵函数f均满足f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),则称f:Qc→C是凸的.

定义3 若f:Qc→C连续且可微，则f的梯度定义为

引理1 若f:Qc→C是连续且可微的，则f在Qc是凸的当且仅当f(y)≥f(x)+〈▽f(x),y-x〉，对于所有x,y∈Qc.

因为HBSCn×n是一个无界的、开的凸集，由式(1)，定义HBSCn×n上的矩阵函数：

(2)

则函数F(X)是连续的、可微的，在HBSCn×n上也是凸的，所以由引理1、引理2，可得出以下引理.

引理3 设F(X)的定义式为式(2)，则存在X*∈HBSCn×n满足

当且仅当▽F(X*)=0

引理4 矩阵X∈HBSCn×n当且仅当X=XH=SnXSn.

引理5 假设矩阵X∈HBSCn×n,则X+SnXSn∈HBSCn×n.

引理6 设矩阵A∈Cn×n,X∈HBSCn×n,则有

由F范数的基本性质以及矩阵内积，可知：

(3)

(4)

(5)

又对任意

所以

(6)

同理

(7)

由式(4)，式(6)以及引理6知

(8)

同理

(9)

由泰勒级数展开式，知道

F(X+δE)=F(X)+δ〈▽F(X)，E〉+∘(δ)∀X,

E∈HBSCn×n,δ∈R

(10)

代入式(8)、式(9)到式(3)，然后对比式(10)可得到▽F(X).

由引理3可得到以下定理.

(11)

式(11)称为问题I的规范方程.

3 问题I的迭代算法

算法1

第1步:输入矩阵A1,A2,C1,C2∈Cp×n,B1,B2,D1,D2∈Cn×q,M1,M2∈Cp×q,以及任意初始矩阵X0∈HBSCn×n.

第2步:计算

R0=V-U(X0)，P0=R0,k:=0

第3步: 如果Rk=0,则停止算法，否则令k:=k+1.

第4步:计算

第5步:回到第3步.

注1 因为X0以及U(X)属于HBSCn×n，所以可知由算法1得到的矩阵序列{Xk},{Rk}和{Pk}均是埃尔米特双对称矩阵，其中Rk是规范方程式(11)的剩余.

为了证明算法1的收敛性，先验证以下一些基本性质.

引理7 由算法1得到的矩阵序列{Ri}和{Pi},如果存在正整数k满足对所有的i=0,1,2,…,k有Ri≠0，则有：

(i) 〈Ri,Rj〉=0，〈Pi,U(Pj)〉=0,(i,j=0，1，2，…,k，i≠j);

(ii) 〈Ri,Pj〉=〈Rj,Pj〉,(0≤i≤j≤k).

证明 (i) 对任意矩阵X1,X2∈HBSCn×n,由引理6以及本文所用到的内积，容易验证〈X1,U(X2)〉=〈U(X1),X2〉,又因为〈A,B〉=〈B,A〉对所有A,B∈Cm×n均成立，所以对于(i)中的性质只需证明对所有的0≤i

当k=1时，〈R0,R1〉=〈R0,R0-t0U(P0)〉=

〈P0,U(P1)〉=〈U(P0),P1〉=

假定当0≤s

当s

〈Rs,Rj〉-〈Rs,tjU(Pj)〉=-tj〈Rs,U(Pj)〉=

-tj〈U(Rs),Pj〉=-tj〈U(Ps+Ls-1Ps-1),Pj〉=

-tj[〈U(Ps),Pj〉+Ls-1〈U(Ps-1),Pj〉]=0

〈Ps,U(Pj+1)〉=〈U(Ps),Pj+1〉=

〈U(Ps),Rj+1-LjPj〉=

当s=j时〈Rs,Rs+1〉=〈Rs,Rs-tsU(Ps)〉=

〈Rs,Rs〉-〈Rs,tsU(Ps)〉=

〈Rs,Rs〉-ts〈Rs,U(Ps)〉=

〈Ps,U(Ps+1)〉=〈U(Ps),Ps+1〉=

所以由归纳法证明了性质(i)的成立.

(ii) 证明由算法1以及引理7可知

Ri=Ri+1+tiU(Pi)=Ri+2+ti+1U(Pi+1)+tiU(Pi)=

…=Rj+tj-1U(Pj-1)+…+tiU(Pi)

所以〈Ri,Pj〉=〈Rj,Pj〉+tj-1〈U(Pj-1),Pj〉+…+

ti〈U(Pi),Pj〉=〈Rj,Pj〉 (0≤i≤j≤k)

注2 因为算法1中得到的矩阵序列{Ri}是彼此正交的，而在有限维矩阵空间HBSCn×n中基一定是有限的，所以总存在正整数r使得Rr=0,所以该迭代算法一定会在有限步内停止，从而得到迭代解.

4 数值试验

例对于问题I给定矩阵A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2,M1,M2如下:

取初始矩阵X0=0∈HBSC5×5,应用算法1经过14步迭代，得到方程组的迭代解.

5 结束语

[1] HUANG N,MA C.The Modified Conjugate Gradient Methods for Solving a Class of Generalized Coupled Sylvester-Transpose Matrix Equations[J].Computers and Mathematics with Applications,2014,67(8): 1545-1558

[2] LIU A,CHEN G,ZHANG X.A New Method for the Bisymmetric Minimum Norm Solution of the Consistent Matrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics,2013(3)

[3] DUAN X,LI C.A New Iterative Algorithm for Solving a Class of Matrix Nearness Problem[J].ISRN Computational Mathematics,2012

[4] LIN Y,WANG Q W.Generalized Reflexive and Generalized Antireflexive Solutions to a System of Matrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics,2014(3):1-9

[5] CHEN D Q,YIN F,HUANG G X.An Iterative Algorithm for the Generalized Reflexive Solution of the Matrix EquationsAXB=E,CXD=F[J].Journal of Applied Mathematics,2012(9):701-708

[6] Zhou Z,Huang G.An Iterative Algorithm for the Reflexive Solution of the General Coupled Matrix Equations[J].The Scientific World Journal,2013(1)

[7] XIE Y J,MA C F.The Matrix Iterative Methods for Solving a Class of Generalized Coupled Sylvester-Conjugate Linear Matrix Equations[J].Applied Mathematical Modelling,2015,39(16):4895-4908

[8] LIANG K,LIU J.Iterative Algorithms for the Minimum-Norm Solution and the Least-Squares Solution of the Linear Matrix Equations[J].Applied Mathematics and Computation,2011,218(7):3166-3175

[9] CAI J,CHEN G.An Iterative Algorithm for the Least Squares Bisymmetric Solutions of the Matrix EquationsA1XB1=C1,A2XB2=C2[J].Mathematical and Computer Modelling,2009,50(7):1237-1244

[10] 周金华,刘建州.矩阵方程ATXB-BTXTA=D的最小二乘解[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2003(2):19-21

ZHOU J H,LIU J Z.The Least-square Solution of Matrix EquationATXB-BTXTA=D[J].Journal of Chongqing Technology and Business University (Natural Science Edition),2003(2):19-21

责任编辑：罗姗姗

An Iterative Algorithm for the Hermite Bisymmetric Solution to A Class of Complex Matrix Equations

HU Zhi-zeng, YANG Chun-hua

(School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University, Hunan Xiangtan 411105, China)