利用思维导图优化数学复习教学的尝试

徐前锋

摘 要：如何提高初中数学复习课的教学效率是一个亟待解决的问题。将思维导图这一创新性的学习工具引入初中数学复习课上，以期达到优化复习效果的目的。通过相关的教学实践来具体阐述利用思维导图优化初中数学复习课的实施过程，然后提出了对优化初中数学复习课的几点建议，并着重强调了利用思维导图在教学实践中应该注意的问题。对于思维导图在初中数学复习课的应用有一定的理论贡献，对于教师掌握思维导图这一教学工具，提高数学复习课的效率有一定的实践价值。

关键词：思维导图；初中数学复习；意义

一、初中数学复习教学存在的主要问题

复习是初中数学教学的重要环节。笔者对所在学校数学复习课的现状进行调查分析，发现复习课常常以教师讲授为主，忽略学生参与，缺乏深层次师生互动，教学效果不容乐观，存在着以下问题：（1）对已学的知识，只“温故”而不“纳新”，学生缺少学习知识的新鲜感，难以激发兴趣；（2）復习课与习题课混淆不清，教师对复习教学的理解及学生对复习的认识都存在偏差，教与学的目标不明确，很大程度上只是为了熟悉题型、学会解题技巧，较少关心学生是否学会了数学思考，是否具备解决问题的能力；（3）复习时间因面面俱到而紧张，多数情况下都是以教师的“流水线”操作为主，忽视学生的主体参与，不同的学生需要复习的是不同的薄弱内容，教师难以完全预计也难以充分展开，造成复习效率低下。为此，笔者在初中数学复习教学中尝试引入了思维导图，有效地提高了数学复习教学的效益。

二、在初中数学复习课教学中应用思维导图的意义

思维导图也称为心智图，是20世纪60年代英国教育家东尼·伯赞提出的，最早只是一种记笔记的方法。思维导图是一种思维工具，也是一种图示工具。它按照人的自然思维习惯进行编排，通过放射性的思考记录人的整个思维过程。它最强大的功能在于其能够调用大脑皮层的所有智能。

初中数学复习课教学中，通过思维导图运用图示方法可以更好地揭示数学概念、思想、理论之间的关系，促进学生学习效率的提升。让教师能够更准确地了解学生的学习水平，快速判断学生对某一知识点的掌握程度，实现对学生的发展性评价。对于学生来说，其作用有：（1）知识表达。思维导图可以将学生的数学知识外化、可视化，这是师生教学互动的基础。（2）知识整合。思维导图的绘制和精细化，可以表现思维过程与知识间的关系，促使学生建立系统完整的知识结构，这有助于学生与“自我”的互动。（3）知识建构。思维导图使学生的思维过程可视化，小组讨论更有针对性，增强学生互动水平，建立初中数学知识学习网络，取得更好的复习效果。

三、思维导图在初中数学复习教学中的尝试

基于数学学科与思维导图都有结构性、关系性强的特点，数学学习与思维导图理论表现出极大的相容性。这些特点恰恰为笔者营造了研究、探索思维导图在数学复习教学中有效运用的空间。

1.构建知识体系，引导有意义学习，变“浅学”为“博学”

认知心理学认为，数学教学的中心任务是塑造学生良好的认知结构，使之具有不断吸收新的数学知识的能力和知识自我生长的能力。在引入思维导图进行数学复习教学时，我们要“反复地回顾这些基本观念”，并“以这些基本观念为基础”，根据数学核心知识的内部联系，引导学生通过“多元联系表示”，加强与相关知识的融会贯通，形成结构化的知识组块，增加知识的生长活力以及知识检索和提取线索，促进学习的迁移、知识的理解和问题的解决。在教学过程中，教师可通过学生的思维导图作品发现其对所教课程的理解和认识程度，从而可以对学生所存在的具有共性的问题做出具体的指导并制定相应的教学方案。在教学过程中，可以做到关注整体、关怀个体，从而实现真正意义上的因材施教，从被动“接受”到主动“生成”，学生经历学习方式的巨大转变。

例如，在二次函数的复习教学中，学生第一次整理的思维导图是不够清晰的，也一定会“缺胳膊少腿”，学生往往会缺少二次函数与不等式、一元二次方程的联系，对解析式三种形式也会出现遗漏，这就需要老师的引导，生与生之间的合作与探究，进一步深化与完整，集众人的智慧，从而对二次函数的知识体系梳理出如下的思维导图。

思维导图含二次函数的定义，图象与性质、图象的平移，二次函数的应用，还涵盖了二次函数与一元二次方程与不等式之间的联系。我们用思维导图将这些新的知识点总结下来，以后大家只要看到这个图，就很容易想到它们之间的联系，自然就能更方便地解决相应的习题了。

2.培养学习兴趣，增强学习能力，变“厌学”为“乐学”

数学复习教学就是要点燃学生对数学学习的热情，学生有了兴趣，才能产生学习的动力，从而表现出高度的学习积极性。思维导图逻辑严密，结构清晰，线条明快，赏心悦目，符含大脑的思维规律，易引起学生的学习兴趣，促进学生对知识的理解。因此，在进行复习教学前，笔者往往会提前给学生布置思维导图作业，要求学生有意识地自己动手整理知识体系。实际操作时，教师要指导学生抓住核心知识，抓住主要内容、主要问题，构建思维导图。这样既避免了单纯知识点、概念、法则的罗列，另一方面也给学生参与知识的整理留出了空间。

例如，在实数一章复习时，教师引导学生先把这一章中的各节知识利用思维导图整合并联系起来，把本章的核心知识作为中心词，重要内容、主要问题作为副主题绘制思维导图，逐渐细化知识点作为章末思维导图第三，第四级的分支延伸，进一步扩充数学知识网络，加深学生对数学知识的理解。这种知识体系能够将知识间的横向、纵向和隐性联系较为科学准确地挖掘出来。另外，学生在绘制思维导图的过程中，收集并阅读大量资料，概括出主题关键词，然后还需展开丰富联想，学习者不再是被动地接受知识，而是积极主动地建构所学知识，学习兴趣被激发出来，学习的自主性也很大程度地被调动起来。经过学生的自主探究，生生之间相互交流，教师的适时指导，学生会得到形状各异，具有鲜明特色的思维导图，这大大地激发了学生的创造力与学习兴趣。

3.引导交流合作，促进自主学习，变“要学”为“愿学”

《义务教育数学课程标准》明确指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”倡导学生自主参与、乐于探究、培养学生自主获取知识的能力。教师在进行章末复习前可先让个别学生展示自己独立完成的思维导图作业，在组内协作探究环节，每名学生都可以提出自己的观点，并参照复习提纲，协作完成思维导图的建构。教师可以深入到学生中，及时发现问题，及时给予适当的指导。在协作探究中，每个小组都形成了具有鲜明个性的思维导图。在各小组完成思维导图后，由各小组组长代表小组汇报成果图，陈述探究的思路和结论，并对其他组的提问和质疑作出解释和回答。在这一环节中，学生集思广益，实现知识的交流与共享，教师可以给予适当的启发和补充，作出适当的点评。在教师的引导下，通过组间的交流和探讨，学生进一步优化小组思维导图，从而使学生的知识体系趋于严谨、完善。在此基础上，教师将各个小组的思维导图进行加工整合，形成全班成果。这一教学策略的核心是在课堂上给学生个体、小组更多的时间和空间，进行主动的知識建构、表征和交流，以学生个体、小组生成的思维导图为交互“中介”，提高复习课的有效性。

例如，在复习“一元二次方程”时可分三个步骤进行构图。第一次构图：个体构图。将学生分成小组，让学生先独立形成个人的思维导图。为了降低难度，在这一环节，教师可以提供“可视化支架”，给学生一些样例或者留白式的思维导图，供学生模仿或填充，样例与当前知识点的相似程度、留白程度应根据学生的水平调整。通过观察，学生只是粗线条地写出一元二次方程的概念、解法、应用，建立了一个大概的框架，没有深入进行分析。第二次构图：组内交流，个体修改。教师在巡视学生绘图的过程中，应关注学生所画思维导图的质量，并挑选部分学生给同伴讲解，分享建构过程的心得，调动学生学习的积极性和主动性。二次构图更加细化，学生将一元二次方程的解法分为直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，而且还引申出一元二次方程根与系数的关系。第三次构图：组间交流，小组修改。教师组织小组之间的交流后，每个小组完善本组的思维导图。活动结束后，学生绘制的思维导图更加细化，从中可以发现学生所建立的知识间的联系，例如，发现配方法的最终目的是转化为直接开平方法进行求解，而且发现因式分解法和公式法之间也有联系，还给出一道题来举例说明。最后请一个组展示最终修改后的作品，让全班学生可以更直观地了解本章的知识结构。

4.揭示解题过程，锻炼数学思维，变“苦学”为“巧学”

数学复习中，如果只是一味地沉浸在题海战术当中，纯粹地只为做题而做题，效果是可想而知的。遇到典型题不会用灵活多样的解法；遇到信息稍为繁杂的题目不会分析和解答；遇到稍有变化的题目又找不出共性和通性来解答；或者是同样的错误更正了多次，再做还是会再错……究其根源是学生缺乏解题技巧和对该问题中所涉及的知识、方法、思路和策略缺少系统合理的分析。笔者在数学复习教学中充分发挥思维导图可视化的优势，采取以图形化的方式把知识点的信息结构化，使其更好地分析、理解、联想、综合找出问题中所涉及的知识点之间的联系并产生新的想法。借助思维导图分析问题局部，以及通过将局部信息分支串联成网，联接相关信息把握问题的全局。通过对问题的局部及全局的把握能使我们更容易解决数学问题，促进我们的数学理解。例如，在坐标与函数的复习教学中，笔者就出示了以下例题：

已知点P（1-2m，m-1），则不论m取什么值，该P点必不在

（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

在教学时，笔者着重引导学生在探究解题思路的过程中建构解题思想方法的思维导图，从而让学生体验到解题的全过程，达到真正的理解。首先，准确审题，提炼关键词，此过程使学生更加重视分析、理解各种信息，并加强信息的全面性与关联性，使信息更加系统化，更具条理性。注意关键词可以是题设中的关键条件，也可以是结论中的关键因子。其次，对关键词展开不同角度、不同层次的研判和逐级联想获取所需知识点、解题思想方法和技巧，值得一提的是联想相关的知识点和解题方法应尽可能全面。最后，经过提炼、删除、综合等过程筛选出最优的解题方案并进行解题后反思。学生反思解题过程后出现如下的思维导图：

解法思维导图：对各种不同的解题方法进行剖析得到如下的思维导图。

方法1：根据横纵坐标符号特征，分类讨论求解。根据每个象限所在点坐标的符号规律进行求解。只要知道横纵坐标的正负情况，就能确定P点所在象限。因为m不确定，所以可先求出零点，然后根据m的不同取值范围，利用分类讨论进行求解。也可由各象限点横纵坐标的符号规律，列出不等式组，然后根据不等式组有无解进行判断。

方法2：根据横纵坐标的可变性，利用平移求解。根据选择题的特殊性，用适当的m代入判断求解，利用排除法求解。也可将m代入得出一个特殊值，然后利用增减性与坐标的平移，得出点的变化趋势，由此求解。

方法3：根据横纵坐标的关系，利用函数求解。由题意可知，点的横纵坐标均随着m的变化而变化，考虑根据坐标的特征得出横纵坐标的函数关系式，然后利用函数的图象与性质求解。

解后反思导图：从考查内容、解题思路、解题策略得到如下的思维导图。

解后拓展导图：从题型变化，题目拓深，题目本质得到如下的思维导图。

由以上典型的思维可观察出学生的“图式”思路，学生的反思基本是围绕基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本的数学活动经验等方面进行的，这也正体现了学为中心这一基本理念。

5.提供互评契机，增强反思意识，变“学会”为“会学”

传统的评价方法常常只能考查学生的离散知识，而思维导图却可以检测出学生的知识结构及对知识间相互关系的理解和产出新知的能力，有效地评价学生创造性思维水平。通过让学生画思维导图，教师还可及时了解学生学习的进展与诊断学生的问题，从而改进教学，是形成性评价的好方式。思维导图也是学生自我评价的有用工具，学生利用思维导图的反馈信息，能看清自己有没有关键的概念或概念之间的关系被遗漏，以此来检查自己对学习材料的理解状况，这样就会激励他去努力弥补不足。另外，学生在绘制思维导图时，会自然地流露出对认知的情感，会以各种各样的图形或色彩表达出来，尤其现在出现了专门绘制思维导图的软件，借助于计算机的多媒体功能，学生可以创设生动、美丽的画面。因此，思维导图不仅可用以评价学习者对知识理性认识的清晰性，同时也可了解其情意品质。通过对学生比较集中出现的问题及时进行教学反思，不断地改进教学方法，不断地完善自己，提高自己的教学能力，共性问题集中指导，个性问题个别指导。思维导图作为一种教学和学习策略，能使课堂更加有效，能促进学生合作学习和创造性学习，达到思维的发展，最终使学生学会学习。

四、思维导图在初中数学复习教学中应注意的问题

1.准确理解数学复习的实质

数学复习就是要把平时相对独立的知识，以再现、整理、归纳等方法串连起来，进而加深学生对知识的理解和贯通，促进知识系统化，提高学生运用所学知识解决问题的能力。其立足点是深化认识，从本质上发现数学知识之间的关联，从而加以分类、整理、综合、构造，形成一个知识结构系统，反映在大脑中，就是在记忆系统中存储一个“数学认知结构图”。而思维导图正是加速学习、知识管理的有效工具。

2.绘制思维导图不能包办代替

在学生制图时，教师要充分尊重其自主性，尽量给学生留充足的时间绘图，在这个过程中，教师应引导、辅助而不是代替。学生只有通过分析和理解知识内容，确定知识要点，自主绘图，积极内化，才能准确地理清各个知识点之间的联系，才能促进学生对数学知识的理解。

3.思维导图的训练不能急功近利

思维导图因其具有发散结构，对初学者较难操作。在应用过程中，起初一些学生不愿意主动运用思维导图，嫌麻烦。这不是“思维导图”本身有问题，而是一个新事物的产生本身需要一个接受的过程。教师可以根据教学内容对思维导图的应用提出不同的要求，将思维导图与学科特色和学生个人情况相结合。而且思维导图由于其末端具有开放性，使课堂中的“生成”教师难以预料，教师要随时准备解决学生中出现的各种“突发事件”，这对教师的专业素质是一个极大挑战。

4.思维导图运用不能束之高阁

绘制思维导图不是数学学习的终极目的，我们要善于从所完成的思维导图中發现自己学习的不足，及时纠正，予以补充，并可将各章复习思维导图按照一定的方式分类整合，生成期末复习思维导图乃至学段总复习思维导图，将之作为期末复习或学段总复习的第一手资料，同时也作为促进学生发散思维培养的途径：从一点出发，沿着多个方向到达思维的目标，通过多种思路，多个方案，多种途径来解决问题。

在利用思维导图进行复习的过程中，学生不再只做“听众”“观众”，而是做自己复习的掌控者。通过思维导图激发学生的复习兴趣，让学生自己去回忆、讨论、整理、沟通、归纳、应用，使学生真正成为学习的主人。经过一段时间的练习操作，学生从最初的好奇，到深入时觉得繁琐，再到初见端倪，最后到得心应手，乐在其中。

应该看到，思维导图能帮助我们建立系统的知识体系，理清知识间的关联，能用数学的思维与数学的方法解决复习中的数学问题，方便学生进行比较自我的学习过程，使学生的综合素质得到不同程度的锻炼，复习效率也有所提高。但任何一种教学模式都不是万能的，它需要从学生的实际出发。思维导图促进学生思维的发展，也受到学生本身思维习惯的影响。因此，要让孩子明白，思维导图的绘制不是为了别人，而是为了自己，思维导图真正的作用不在于做出来让别人看，而是做出来给自己看，成为自己的思维习惯和处事管理工具，把思维导图更多的变成一种思维习惯，而并非是画在纸上让别人看的图。

参考文献：

托尼·巴赞.思维导图[M].李新，译.北京：作家出版社，1999.