高中数学函数求值域的常用方法

李海旭 刘君

【摘要】值域是研究函数的一个重要环节，根据函数“三要素”可知，值域是由定义域和对应运算法则共同决定，所以定义域和运算法则的多变性导致计算值域的方法存在多样性和灵活性，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此对于如何准确、快速求值域需要“具体问题，具体分析”，采取恰当的计算方法，做到“有效对应”，避繁就简达到事半功倍的效果.本文介绍了通过简单函数运算、值域性质、数形结合以及函数的导数运算等最常用的几种方法，同时结合相应例题讲解，使学生快速掌握求值域的基本方法.

【关键词】函数；值域；常用方法

求函数值域的常用方法有：配方法、分离常数法、判别式法、反解法、换元法、不等式法、单调性法、函数有界性法、数形结合法、导数法.

一、观察法

有些函数结构简单，我们可以通过基本函数的值域以及不等式直接观察出函数的值，这种通过观察函数特点做为解题突破口的一类函数值域的求法，简洁明了，不失为一种巧法.

二、配方法

配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.F（x）=af 2（x）+bf 2（x）+c的函数的值域问题，都可使用配方法，解题过程中要特别注意自变量的取值范围.

三、判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用二次方程根的判别式法求函数的值域.

四、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.也叫反解x法，将y视为变量，利用数式的性质或已知函数的值域求y，体现了逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一.

五、分离常数法

形如y=cx+dax+b（a≠0）的函数.思路是用分母表示分子，分离出常数，使得分子不含变量，最后借助基本函数的值域求解.

六、换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域.

形如y=ax+b±cx+d（a，b，c，d均为常数，且a≠0）的函数常用换元法.令u=cx+d，x=u2-dc且u≥0，使之变形为二次函数，再用配方法；如果函数中含有a2+x2形式，用三角代换，令x=asinα，α∈-π2，π2或者x=acosα，α∈[0，π]，这种方法用到的是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识.

七、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab.用此法求值域时，要注意条件“一正二定三相等”.即① a>0，b>0；② a+b（或ab）为定值；③ 取等号条件a=b.其题型特征：解析式是和时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧.考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域.不等式法是重要的解题工具，它的應用非常广泛，是数学解题的重要方法之一.

八、单调性法

先确定函数在定义域（或定义域某个子集上）的单调性，再求出函数的值域的方法为单调性法.

九、数形结合法

若可以画出函数图像时，通过图像可以求出值域和最值；或者利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域.利用函数的图像求函数的值域，体现数形结合的思想，是解决数学问题的重要方法.

十、求导法

若一个函数在定义域上可导时，可以根据导数求其最值.

总而言之，在具体题中求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察这个题型特征，然后再选择恰当的方法，一般做题时优先考虑直接法，函数的单调性法和基本不等式法，最后才考虑用其他各种特殊求值域的方法.