二次函数在高考压轴题中的应用

刘代平

【摘要】在高考数学中，对于二次函数相关知识的考查越来越多，许多高考压轴题都是关于二次函数的问题，在全国新课标Ⅱ卷中，对于二次函数的考查内容也非常多，所以二次函数的学习对于高考有着非常重要的意义，因此本文就二次函数在高考压轴题中的应用进行了一定的研究.

【关键词】二次函数；高考；压轴题

在高中数学中，函数是一个非常重要的内容，在近些年的高考中，函数综合性问题常常以压轴题的形式出现，而且考查的方式也较为灵活，而二次函数作为函数中的一个重要内容，它与不等式、解析几何、数列及复数等都有着密切的联系，所以对二次函数在高考压轴题中的应用进行研究有着非常重要的意义.

一、高考数学试题分析

本文主要针对近两年高考新课标Ⅱ卷的数学试题进行分析，通过对于高考试卷的解析来探求二次函数在高考数学中的具体应用.以2015年文科试卷第15题为例，题目如下：

例1已知双曲线过点（4，3），且渐近线方程为y=±12x，求该双曲线的标准方程.

这道题目实质上是考查的解析几何的知识，但是我们知道双曲线标准方程实质上也是一个二次函数，所以该题目实质上也考查了二次函数的相关知识.在解答这道题目的过程中，不妨先判断双曲线焦点的位置，因为双曲线过点（4，3），而点（4，3）又在漸近线y=12x的下方，所以可以判断双曲线的焦点是位于x轴上的，这时可以设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1，其中a，b均大于零，那么该双曲线所对应的渐近线方程就应该为y=±bax，由已知条件可知ba=12，然后再将点（4，3）的坐标代入所设的标准方程，不难得到16a2-3b2=1，再由ba=12可以解得a=2，b=1，最终求得该双曲线的标准方程为x24-y2=1.这道题目对于解析几何的相关知识进行了考查，但是所考查的内容较为基础，所以在高考数学中，必须要注重对于基础知识的掌握和应用.

例2设函数f（x）=emx+x2-mx.（1）证明f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意的x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围.

这道题目考查函数的单调性和最值的应用，其中第一道题目相对较为基础，而第二道题目则有一定的难度.从题目的已知条件中不难发现所给函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），第一个问题中是要对函数的单调性加以证明，这时不难联想到导函数，所以不妨求出其导函数f′（x）=m（emx-1）+2x，接下来要判定导函数的符号，而在导函数中有参数m和变量x存在，所以需要对其进行分类讨论，首先如果m≥0，在x∈（0，+∞）时，有emx-1≥0，2x>0，这时f（x）′>0；而当x∈（-∞，0）时，emx-1≤0，2x<0，这时f（x）′<0；如果m<0，在x∈（0，+∞）时，emx-1<0，2x>0，这时f（x）′>0，而当x∈（-∞，0）时，emx-1>0，2x<0，这时f（x）′<0.因此函数f（x）在区间（-∞，0）上是单调递减的，在区间（0，+∞）上是单调递增的.通过对于第一个问题的解答，可以指导对于任意的m，函数f（x）在区间[-1，0]上都是单调递减的，在区间[0，1]上都是单调递增的，所以不难发现在区间[-1，1]上，函数f（x）的最小值为f（0），那么不难得到f（1）-f（0）≤e-1且f（-1）-f（0）≤e-1，即em-m≤e-1，e-m+m≤e-1. 这时不妨构造函数g（t）=et-t-e+1，不难求得函数g（t）的导函数g（t）′=et-1，所以在t<0时，g（t）′<0；在t>0时，g（t）′>0，所以函数g（t）在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增.又因为g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e<0，这时em-m≤e-1，e-m+m≤e-1 是成立的，而当m>1时，g（m）>0，即em-m>e-1，而当m<-1时，g（-m）>0，即em-m>e-1，所以m的取值范围为[-1，1].这道题目对于导函数及函数单调性的相关知识进行了考查，同时在解题的过程中还需要构造辅助函数，这就要求学生要灵活地掌握和应用二次函数的相关知识.

二、二次函数复习建议

（一）夯实基础，活用教材

在进行二次函数相关知识的复习时，首先要抓住教材，对于教材中的基础知识一定要掌握牢靠，对于教材中所涉及的二次函数知识及一些常规的解题思路要全面地了解和掌握.

（二）注重数形结合

由于二次函数与解析几何有着密不可分的关系，所以在对二次函数的相关知识进行复习时，可以借助于函数图像，将函数与图像结合在一起.在解答有关常见二次函数的问题时，学生应该养成画函数图像的习惯，通过函数图像可以先对函数的性质及特征有一个初步的认识，虽然这种认识是感性上的，但是再通过理性的分析，就能够有效地对问题加以解决，所以数形结合是一种非常重要的解答二元函数相关问题的思想方法.

三、结语

近些年来，随着新课程改革的进一步深入，许多高考压轴题目都是与二次函数相关的.通过对近些年来全国新课标Ⅱ卷数学试题的研究，笔者发现试卷中二次函数相关知识所占的比重也越来越大，所以必须在复习的过程中对二次函数的相关知识引起足够的重视，通过有效的方式来进行二次函数相关知识的复习，从而在高考中取得较好的成绩.