利用导数证明不等式利用导数证明不等式

邓琴

【摘要】导数是研究函数的重要工具，在证明不等式时也极为有用.本文给出了几种常用的利用导数证明不等式的方法和技巧.

【关键词】导数；不等式；函数

【基金项目】杭州电子科技大学2014年高等教育研究资助项目（YB1425）

一、五种常用的方法

导数是研究函数的重要工具，在证明不等式时也极为有用.那如何利用导数证明不等式？这是导数应用中的一个重要问题.本文给出了五种常用的利用导数证明不等式的方法.

1.利用微分中值定理证明不等式.

拉格朗日定理：若f（x）在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）.在拉格朗日定理中，若f′（x）在区间（a，b）上有界，即存在常数m和M，使m

2.利用单调性定理证明不等式.

这种方法要求函数在所讨论的范围内有恒定的单调性.

3.利用函数的泰勒展开式证明不等式.

4.利用极值的唯一性证明不等式.

若函数在所讨论的范围内有唯一的极值，这极值即为最值，这性质称为极值的唯一性.

5.利用凹凸性的定义证明不等式.

二、应用举例

例1设函数f（x），φ（x）二阶可导，当x>0时f″（x）>φ″（x）且f（0）=φ（0），f′（0）=φ′（0），求证当x>0时f（x）>φ（x）.

分析此例证法很多，利用微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式等均可获得证明.

证明1利用微分中值定理.令F（x）=f（x）-φ（x），由条件知F（x）在[0，x]上连续，在（0，x）内可导，则由拉格朗日定理得F（x）-F（0）x-0=F′（ξ）（0<ξ0，F′（0）=0，F（0）=0，又0<ξ0（x>0）.即f（x）-φ（x）>0（x>0），故当x>0时f（x）>φ（x）.

证明2利用函数的单调性.设F（x）=f（x）-φ（x），于是当x>0时F″（x）=f″（x）-φ″（x）>0.由此可见，当x>0时，F′（x）单调增加；又因F′（0）=f′（0）-φ′（0）=0且F′（x）在[0，+∞）上连续，于是当x>0时F′（x）>F′（0）=0，由此又推得当x>0时，F（x）单调增加；又因F（0）=f（0）-φ（0）=0，于是，当x>0时，有F（x）>0，即当x>0时f（x）>φ（x）.

证明3应用泰勒公式.将函数F（x）=f（x）-φ（x）在x=0处展开得F（x）=F（0）+F′（0）x+F″（ξ）2！x2，ξ落在0与x之间.由条件可知，F（0）=0，F′（0）=0，且当x>0时，f″（ξ）-φ″（ξ）>0，故F（x）=f″（ξ）-φ″（ξ）2！x2>0，因此当x>0时f（x）>φ（x）.

例2证明：当x>-1时，ex≥1+ln（1+x）.

证明利用极值的唯一性.令f（x）=ex-1-ln（1+x），则其定义域为（-1，+∞），又由于f′（x）=ex-11+x，f″（x）=ex+1（1+x）2>0.因此，由单调性定理知f′（x）在（-1，+∞）内严格递增.令f′（x）=0，可得f（x）的唯一驻点x=0.又由于f″（0）=e+1>0，因此，函数f（x）在x=0处取得唯一极小值f（0）=0，因而对一切x∈（-1，+∞），f（x）≥0，即，当x>-1时，ex≥1+ln（1+x）.

例3证明：当0

arctana+b2.

证明利用凹凸性的定义.设f（x）=arctanx，则f′（x）=11+x2，f″（x）=-2x（1+x2）2.所以，当x>0时，f″（x）<0，即f（x）在（0，+∞）内凸.所以f（a）+f（b）2

三、结束语

教学中适当介绍用上述方法证明不等式，可激发学生的学习兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.