基于经验，拓展经验

钱建兵

【教学片段1】

出示题目：每次只能烙两张饼，每面都要烙，每面3分钟。

师：每次只能烙两张饼是什么意思？你觉得放两张合适，还是一张合适？为什么？照这样的方法，两张饼可能需要多长时间？（6分钟，12分钟）

师：6分钟真能烙熟？

师：那我们用手代表饼，你能试一试吗？

学生以手代饼，每烙一次，配合有“嗞啦”声，代表“3分钟”。

师：两张同时烙，用的时间最短。他给我们带来了最重要的东西——经验，在经历和活动中产生的体验。掌声送给带给我们经验的人。

师：你们知道有了经验下次碰到问题该怎么办？敢挑战吗？挑战来了。照这样，烙4张饼，最少需要多少时间？（12分钟）

师：耳听为虚，眼见为实。

学生演示。

师：你从哪儿想到是12分钟的？怎么这么快？

生：因为2张饼是6分钟，4张饼就是12分钟。

生：4是两个2。

师：我听出来了，你们是根据上面的经验，4里有两个2，当然时间就是两个6分钟。

师：比较，你们发现这个经验跟上面的经验有关，又产生了一个经验。告诉你们一个小秘密，经验加经验，会产生新经验。

师：你敢做加法吗？试一试！烙6张饼至少要多少分钟？是怎么烙的？

【赏析】积累数学活动的经验，要通过必要的引导、反思，从而获得对原有经验的超越与提升。在学生经历了探索烙2张饼的活动后，徐老师没有让学生按顺序烙3张饼，而是让学生烙4张、6张饼，烙2张饼的经验立即得以运用、验证，进一步强化了2张同时烙的经验，使学生对经验的作用有了较深刻的体验，促使学生积极主动地调用经验。同时，“经验加经验”的模式得以纳入原来的经验框架里。

【教学片段2】

师：照这样下去，你能说出烙更多张饼最少需要的时间了吗？经验丰富吗？虽然你们经验丰富，我觉得还不够，因为你们的经验还不全面。说一说，你们的经验都是关于怎样的经验？（饼数是双数的）

师：根据前后的经验，告诉我3张饼至少需要多少时间？（9分钟或12分钟）

师：烙3张饼比2张的时间多，比4张少，怎么不对？（12分钟）

教师请认为是12分钟的学生演示，先同时烙2张，再烙1张，一共用了12分钟。

此时，有一位学生表示用6分钟。

学生演示正确的方法，并在此过程中，发现是9分钟。

师：虽然不是6分钟，但是我们通过实践，发现真是9分钟。

师：他的实践，使我们懂得了一种方法，这样轮流着烙，交替烙，每次锅里都放几张？（2张）

师：原来我们以为要12分钟，现在只要9分钟，还有3分钟去哪儿了？我们来看看，第一次烙时有没有充分利用资源。

教师分别演示用时12分钟和9分钟的方法。学生发现，用时12分钟的方法烙第3张时锅里只放了一张，而用时9分钟的方法每次锅里都放2张。

师：恰恰因为充分利用了资源。这3张饼能不能分成2张和1张？

师：是的，应该看成一个整体。整体考虑，就不叫同时烙，叫？（交替烙）

师：换一个角度，是不是把经验丰富了？还能加吗？把哪两个相加，就能得出烙5张饼至少需要多少时间呢？怎么烙呢？

师：6张饼除了同时的方法，还可以用什么方法？

师：孩子们，发现了吗？在数学中，当你的方法多了以后，你就可以用方法彼此验证自己的结论。

师：老师发现一个问题，5张饼是同时加交替，6张饼也是同时和交替，这中间应该用哪个字？（或）

师：是什么意思？

生：可以选择其中一种方法。

【赏析】通过引导观察，学生意识到新的问题用“经验加经验”的模式无法解决。学生认识到已有经验的局限性，打破了暂时的平衡，产生了解决烙奇数张饼的需求。学生进入“失稳阶段”。

显然，“交替烙”这种方法，是对学生原有经验观念的更新。要重组这一新经验，需要学生亲身经历，在此基础上形成一种新的认识与体悟，才能形成新的经验。“交替烙”与“同时烙”的对比是新经验的建立所必需的，这是因为和先有的经验产生冲突对于超越、拓展这些经验所带来的局限是必需的。学生在活动反思中进一步优化自己的经验框架，从而使新经验纳入自己的经验框架，实现经验的丰富。这里的“交替烙”经验的建立不一定要通过摧毁先有概念“同时烙”，徐老师将不同的经验方法并存、互补，从而实现了新的平衡。从不平衡过渡到另一种平衡，整个经验系统都在发生变化。

理解“交替烙”后面所隐藏的统筹方法是本课重点。积累经验的目的是在活动过程中体会统筹优化思想，发展学生的数学思维。对两种方法的剖析，使学生对统筹优化方法中的充分利用资源有了体验与感悟。

【教学片段3】

师：7张要多少分钟？8张呢？怎么这么快就说出答案了？

生：找到规律了！

师：当经验足够丰富了以后，就可以归类，找出规律。有了规律，离答案还遥远吗？

教师在板书下面补上省略号。

师：谁知道表示什么意思？

生：知道就不用写了。

师：隐藏的规律与前面是一样的。以此类推，就是以此归类，再推出规律。

师：那你推的规律是什么？

生：每增加一张饼，时间就加3分钟。

师：倒过来说呢？

师：规律难吗？考考你们！4张？3张？2张？1张呢？

生1：3分钟。

生2：不对，6分钟！

师：为什么1张饼不符合我们今天找到的规律？

生3：因为1张饼两个面，每面都要3分钟。

生4：因为1张饼每次只烙1张，其他的每次都烙两张。

师：暴风骤雨般的掌声送给他！

师：是啊，因为这里有个信息——2（将表示锅的长方形平均分成两份），它是我们这口锅的资源数。我们刚才研究规律时，都是在充分使用資源的条件下寻找的规律，所以它适用于充分使用资源的饼数，即大于等于2的情况下。而1小于资源数，能这样算吗？说明一切规律都是有条件的规律，运用规律解决问题要关注规律适用的条件。

师：回头看，你觉得这些经验中哪些经验最重要？

生：烙的方法，同时烙和交替烙。

师：你们找得很对。这两个经验与其他的经验不同，这叫基本经验，有了他们，其他的都可以抛掉。

师：一张饼真的不能用3分钟吗？

教师出示电饼铛图片。

师：改变环境条件，同样是一种优化。

师：我们今天研究的是方法上的优化，而它改变了环境与条件，是本质的优化，创造性的优化。把不可能变为可能，是人类永远追求的创造。

【赏析】经验形成后，并不是被简单地储存起来，它必须随时可以被调用，并经常处于调用状态。对省略号意义的反思，一是引导学生调用经验，思考经验背后的规律，也是将学生的注意力引导至基本经验中来。以“此”类推，“此”即是基本经验，这也是数学方法的渗透。复杂的问题可以转化为简单的问题。经验的积累起源于解决简单的问题。随着经验的丰富，学生对烙饼活动后面所隐藏的规律也水落石出，对背后的统筹方法也有所悟。

徐老师利用学生经验的丰富与熟练应用而导致的思维自动化，让他们不假思索说出了“烙1张饼要花3分钟”。学生顿悟后的理性思考就更具教育意义，对规律的适用范围有了理解。值得一提的是，结束时提出的“如何3分钟烙一张饼”的挑战，是对已建立起的“在一定条件下充分利用资源的经验系统”的挑战，又一次打破平衡。“改变环境与条件”这一创造性的优化与统筹安排方法优化并存，完善了学生的认知结构。

（作者单位：江苏省南通市通州区西亭小学 责任编辑：王彬）