学需变，变则通

卢燕

[摘 要] 从数学学科灵活多变的特征出发，我们提出了变式教学理论. 作为数学教学的基础阶段，这一理论的运用对数学教学实效的提升起到了显著的推动作用. 为了对变式教学的开展方法进行系统研究，笔者整合相关理论与实践经验，从四个角度对具体方法的适用进行了详细阐述，希望能够抛砖引玉，启发广大教师.

[关键词] 初中；数学；变式教学

在实际教学当中，教师常常告诉学生：数学是一门运动的学问. 之所以这样讲，是因为在数学知识的学习过程当中，存在着太多发生变化的空间与可能. 这是学习数学最困难的地方，同时，也是最有趣的地方. 特别是对于初中阶段的学生来讲，要去适应数学学科的变化性特征，并在这种特征当中游刃有余，让学习效果上升到新的高度，难度显然是比较大的. 为了能够让初中生有效顺应数学知识的变化状态，教师需要将这种意识渗透到平时的课堂教学中，潜移默化，润于无形.

一个问题多种解答，实现触类

旁通

谈到数学当中的题目变式，最先想到的应该就是一题多解了. 为同一个问题寻找多种解答方法，也是很多数学试题的设计方式. 提出这样的要求，是为了让学生的思维不要被限制在同一个方向上. 教师可通过采用不同思路分析问题，将多种知识内涵的数学思维调动起来，实现数学学习的触类旁通.

例如，在对全等三角形的内容进行教学时，笔者向学生提出了这样一个问题：小明在纸上画了一个等腰三角形，不小心打翻了墨水，把三角形弄脏了（如图1所示），只剩下三角形的一条底边和一个底角能看清楚. 那么，怎样才能将这个三角形复原呢？这个问题的解答方法不唯一，笔者将学生分组，请大家通过讨论尽可能多地找出方法. 在热烈的沟通交流之下，学生先后找到了三种方式：一是用量角器确定∠C的大小，由此画出与之同等大小的∠B，最后根据两个角的边相交找出∠A，进而确定原三角形. 二是作出底边BC的垂直平分线，通过该线与∠C的另一边相交，找到点A. 三是将现有图形对折，得出∠C的对称边，进而将三角形的两个腰分别延长得到交点，找到点A. 虽然是基于全等三角形知识设计问题，但多维的解题视角将与之相关的思路方法都联系起来了，实现了综合性的训练.

在数学学习中，很多学生都容易出现惰性思想，认为只要能把题目解答出来就行了，懒得再去多想其他的解答方法. 其实，只要大家能够战胜心中的惰性，勤于思考，便会发现，一题多解并不是一件多么困难的事. 通过一道题目的解答，实现多种知识方法的协同强化，可谓一举多得.

一个问题多种变化，实现横向

联想

除了从数学问题的解答方式上进行灵活之外，我们还可以转换视角，将数学问题本身作为变化的主体，通过变化问题来灵动学生的思维. 这也就是我们在教学过程中经常提到的“一题多变”.

例如，在对平面几何知识进行综合复习时，笔者先向学生展示了这样一道习题：如图2所示，在△ABC中，BC边的长是120，高AD的长是80. 若要将这个三角形剪成一个正方形，且其中一条边在BC边上，另外两个顶点分别在AC和AB上，则该正方形的边长是多少？随后，将问题变式为：若将图2中的“正方形PQMN”变为“矩形PQMN”，若要使得矩形的面积达到最大，应当如何确定长与宽？再继续灵活变化为：现有一张直角三角形硬纸板，记为△ABC，其中一条直角边AB的长是1.5，三角形的面积是1.5. 若要将其剪成一个正方形，并尽可能让这个正方形的面积达到最大，小明和小丽分别提出了图3和图4所示的两种剪裁方案. 你认为，哪一种方法更好呢？简单的问题变化便实现了学生对于横向知识链的统筹思考.

对数学问题本身进行变化，是从横向出发进行变式教学处理. 变化的动作并没有改变问题所考查的知识方法本质，而是通过灵活变化提问途径，引导学生的思维不断走向深入. 这对于巩固、深化某个知识内容来讲十分有效.

一个问题多方引导，实现情境

创设

对于一些复杂程度高、理解难度大的知识内容来讲，仅靠一次性的问题引导是远远不够的. 为了能够让学生逐步接纳知识本质，并有节奏地深入到知识核心，就需要分层次地进行设问，引导学生的思维在潜移默化中走进知识之中. 这个分层设问引导的过程，实际上也是变式教学的一个重要表现.

为了实现对学生数学思维的有效引导，有序且巧妙的提问无疑是一条教学捷径. 而想要更好地激发出学生的自主思考热情，通过一个个问题串，在课堂上形成一种问题情境，更是教师们应当选择的. 在层层深入的变式问题辅助下，学生在深厚的问题情境中会感受到真实灵动的数学.

多个问题同一解答，实现异中

求同

前面几个方面的论述，整体上都是按照由问题到解答的逻辑顺序进行思考的. 在此基础上，我们还可以从反方向继续对变式教学进行拓展设计，由题目解答方法指向题目条件设计，带领学生从不同的提问中找到相同的规律.

例如，为了训练学生从几何问题中寻找解题规律的能力，笔者从同一种分析方法出发，设计出了多个变式问题：（1）如图8所示，欲将一个锐角三角形纸片裁剪成一个长、宽之比为2 ∶ 1的矩形，若矩形的长边在三角形的BC边上，其他两个顶点在AB和AC边上，且BC边的长为80，高AD的长为60，则这个矩形的长和宽分别是多少？（2）如图9所示，欲将一个直角三角形纸片裁剪成一个矩形，若矩形的一条边SR在三角形的BC边上，其他两个顶点在AB和AC边上，且∠BAC是直角，则PS，BS，CR之间的关系如何？（3）如图10所示，欲将一个锐角三角形纸片裁剪成一个矩形，若矩形的一条边在三角形的BC边上，其他两个顶点在AB和AC边上，且BC边的长是80，高AD的长是60，则这个矩形能够取得的最大面积是多少？这种从三角形中裁剪出四边形是一种很典型的提问形式，富有变式的设问能够很好地促進学生找到规律方法.

在实际教学当中，为同一种解题方法匹配多种不同的问题设计，是很多教师容易忽略的教学思路. 这种逆向思维的适用，能为学生的知识学习拓宽视野，且能以这种方式向学生强调这种不变的知识方法实质，帮助大家从巩固之中实现升华.

为了引领学生的思维不断运动变化，并让大家能够清晰地感知数学知识的灵活性特点，变式教学的开展可谓势在必行. 为了将初中数学知识当中的变化特点全面展现，教师需要对知识方法的变化途径进行全方位分析，并将之在课堂教学中呈现出来. 通过从正反双向对变式教学的内涵进行探究，笔者从前文当中所描述的几个角度入手，对学生的思维进行了启发拓展，收获了十分理想的教学效果. 相信在这样的教学设计之下，学生们必然能够实现“在学习中变化，在变化中提升”的数学学习效果.