用构造函数法解一类导数压轴题

■河南师范大学附属中学 王焰宇(指导老师:孟召臣)

用构造函数法解一类导数压轴题

■河南师范大学附属中学 王焰宇(指导老师:孟召臣)

构造函数法是在求解某些数学问题时,根据问题的条件或目标,构造一种新的函数关系,使问题在新函数关系下转化并利用函数的有关性质解决。构造函数解题是一种创造性思维过程,具有较大的灵活性和技巧性,如果能掌握相应的构造技巧,必定能大大提高同学们的临场解题效率,下面举例说明。

题目:设定义在(0,+∞)上函数f(x)满足:2016f(x)＜f'(x)＜2017f(x),则( )。

解析:本题中的四个选项与题设的关系不很明显,符合题意的特殊函数不易找到。如何利用题目中的条件构造函数,这让很多同学在考场上花费了相当长时间还是无从下手。对本题的解答进行整理,可得到以下三种解法:

解法一:据题可知2016f(x)＜f'(x)＜2017·f(x),f(x)＞0。

解法三:特殊函数法:令f(x)=eax, 2016＜a＜2017均可,不妨令a=2016.5,易知函数f(x)满足题设的一切条件,代入选项验证可知只有A是正确的。

针对考试中常出现的几类函数,进行如下总结:

1.对于f'(x)±g'(x),构造h(x)= f(x)±g(x),若遇到f'(x)＞a(a≠0),则可构造h(x)=f(x)-ax。

2.对于xf'(x)+f(x),构造h(x)= xf(x),若遇到xf'(x)+nf(x),可构造h(x)=xnf(x)。

3.对于xf'(x)-f(x),构造h(x)=若遇到xf'(x)-nf(x),可构造h(x)

4.对于f'(x)+f(x),构造h(x)= exf(x)或h(x)=lnf(x)+x,若遇到f'(x)+ nf(x),则可构造h(x)=enxf(x)或h(x)= lnf(x)+nx。

5.对于f'(x)-f(x),构造h(x)=若遇到f'(x)-nf(x),则可构造或h(x)= lnf(x)-nx。

如果同学们能熟练掌握以上这些常见的构造技巧,必定能收到不错的效果。

(责任编辑 徐利杰)