四湖流域旱涝交替事件特征分析

熊 威，胡铁松，张兵堂，程晓峰

(武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉 430072)

0 引 言

受全球气候变化和剧烈人类活动影响，我国旱涝交替事件呈现广发、频发的态势，特别是近年来频发的旱涝急转事件，据不完全统计，近百年来长江流域旱涝急转发生频率达到3～4年一遇，淮河流域达到4年一遇[1,2]。因此辨识旱涝交替事件基本特征，改变传统基于单一干旱或者洪涝灾害治理理论体系与思路，对水旱灾害治理具有重要价值，是我国灾害治理关注的热点与难点问题。

旱涝交替事件是一类多变量随机事件，旱涝交替过程的持续时间、发生强度以及旱涝交替程度三者之间存在一定的相关关系，需要多特征量才能完整描述旱涝交替过程。但是目前旱涝交替事件主要是侧重于旱涝交替过程单一特征的描述，如发生强度，而没有从一个完整过程的多属性特征角度进行完整描述。如吴志伟[3,4]提出了长、短周期旱涝急转指数重要描述了水旱交替事件强度随时间演变特征；王胜等[5]研究了淮河流域水旱交替事件强度空间分布特征。

Copula函数理论是描述这种相关性的一种有效方法，并得到了广泛的应用[6-8]。本文以四湖流域为例，采用游程理论从降雨距平指标中分离出旱涝交替事件的3个特征变量，进而应用Frank Copula函数构建两变量联合概率分布以及三变量联合分布，并计算相应的重现期，以期得到四湖流域水旱交替事件的持续时间、发生强度以及旱涝交替程度三者之间的相关关系，为应对地区旱涝交替灾害防治工作提供一定的依据。

1 方 法

1.1 旱涝交替事件以及特征变量

旱涝交替事件作为一种随机事件，为了全面描述其本质属性，故定义了3个特征变量：持续时间(历时)、发生强度以及旱涝交替程度，如图1所示。旱涝交替历时D为一次旱涝交替事件的总历时，即L1、L2、L3三者之和；旱涝交替程度S为历时D内降水距平指数(以下简称Pa)绝对值之和，即S1和S2之和，表示一次旱涝交替事件产生的影响；峰值I为历时D内Pa的

图1 旱涝交替特征变量定义图Fig.1 Definition of drought and flood alternating variables

最大绝对值，反映了一次旱涝交替事件中某一天所产生的最大影响。

确定了特征变量以后，下一步是选取适合的分布函数进行拟合。本文选取对数正态分布、Gamma分布和广义Pareto分布来分别拟合旱涝交替历时D、程度S和峰值I[9-11]，这3种分布函数计算公式分别如下：

(2)

(3)

式中：μ为对数正态分布的方差；σ为标准差；α为Gamma分布的位置参数；β为尺度参数；k为广义Pareto分布函数的形状参数；γ为尺度参数；x0为阈值。

1.2 Copula函数理论

Copula函数式定义域为[0,1]的多维联合分布，它可以将多个随机变量的边际分布连接起来构造联合分布。其中，Archimedean Copula函数结构简单，计算简便，实际应用中较多。不同的Copula函数有不同的适用范围，本文选择Frank Copula来构造联合分布。二维Frank Copula函数的表达式为：

(4)

相应的三维Frank Copula函数的表达式为：

(5)

其中，θ为Copula函数的参数，对于二维Copula函数的参数估计，本文采用普遍适用且相对简便的非参数法[12]，即利用τ与θ的关系式计算θ。

对于三维Copula函数，非参数法不再适用，本文采用参数法中的IFM(Inference of Functions for Margins)方法确定三维Copula函数的参数[13]。

选定的 Copula 函数能否描述变量之间的相关性结构，需要对 Copula 函数进行拟合优度检验，本文采用Kolomogorov-Smirnov(K-S)检验方法[14]。

1.3 重现期

工程中常用重现期来描述水文事件的严重性。假定X1、X2和X3分别表示旱涝交替事件中具有相依关系的特征变量，u1、u2和u3分别表示旱涝交替历时、程度和峰值的边缘分布， 则单变量重现期计算公式[15]如下：

(6)

式中：TXi为单变量重现期；N为系列长度，a；n为发生旱涝交替事件的次数，i=1,2,3。

对于二维联合分布的重现期，以X1和X2的组合重现期为例，有“X1>x1或X2>x2”和“X1>x1且X2>x2”两种情况，对应的二维变量联合重现期和同现重现期计算公式[16]分别为：

(8)

三维变量联合重现期和同现重现期的计算公式[17]分别为：

(9)

(10)

2 特征变量联合分布模型

本文以四湖流域监利站为例，以降水距平指数[18]作为诊断量，从该站1957-2013年的逐日降雨资料中挑选出52次旱涝交替事件。借助于游程理论[19]从Pa序列中分离出旱涝事件，挑选标准如下：若前期干旱历时L1(洪涝历时L3)在10 d以上，并在10 d内经过天数L2由旱转为涝(涝转为旱)，且洪涝历时L3(干旱历时L1)在10 d以上，则选为一次旱涝交替事件。

2.1 单变量边缘分布

分别用对数正态分布来拟合旱涝交替历时D，Gamma分布来拟合旱涝交替程度S，广义极值分布来拟合旱涝交替程度I。对数正态分布采用极大似然法估计参数，其余均采用矩法估计参数。参数以及拟合结果见表1，结果表明，3种分布均通过了α=0.05显著性检验(n=52，Dmax<0.196)，即对旱涝交替历时、程度以及峰值的拟合效果良好。

表1 边缘分布函数参数值Tab.1 Estimated parameters for marginal distribution function

2.2 Copula联合分布函数及拟合检验

2.2.1 二维模型

二维Frank Copula函数采用非参数法进行参数估计，参数计算结果和拟合效果见表2。结果表明，3种拟合情况下的Frank Copula函数均通过α=0.05显著性检验(n=52，Dmax<0.196)，即拟合效果良好。

表2 二维Frank Copula函数参数和K-S检验结果Tab.2 Parameters of two-dimension Frank Copulafunction and the K-S fitting results

2.2.2 三维模型

根据IFM方法计算得到三维Frank Copula 函数的参数θ值为3.072，并采用K-S检验进行拟合检验，其检验值为0.113，表明三维Frank Copula函数达到了α=0.05显著性水平(n=52，Dmax<0.196)，即拟合效果良好。

3 旱涝交替特征值的频率分析

3.1 旱涝交替事件概况

监利站从1957年到2013年共发生52次旱涝交替事件，约1.1 a一遇，平均历时为33.85 d，平均程度为49.31，平均峰值为5.18。其中，旱转涝事件占绝大多数，占总数的62%，其余为涝转旱事件。

从年内分布来看，如表3所示，旱涝交替事件主要集中在夏季，占总事件数的46%，冬季发生的次数最少；夏季旱涝交度替事件平均历时为30.13 d，平均程度为58.21，平均峰值为7.01，平均程度和平均峰值均大于其他季节。从年间分布来看，如图2所示，旱涝交替事件2000年以前年代见发生次数大致相同，2000以后有增加趋势；20世纪80年代以前旱涝交替事件分布较为均匀，80年代以后分布较为集中；旱涝交替历时和程度在2000年以后变化越来越剧烈。

表3 旱涝交替事件年内分布情况Tab.3 The probability of drought and flood alternating events

图2 旱涝交替特征值变化趋势Fig.2 The tendency of drought and flood alternating variables

3.2 二维变量联合概率分布

根据式(1)计算得到二维联合分布函数，分别将旱涝交替D-S、D-I、S-I的联合不超越概率以及联合超越概率绘于图3～图5中，从二维平面投影图上可以查出三个特征变量两两组合的联合不超越概率和联合超越概率。由图3可知，常见的旱涝交替事件历时小于33 d，程度小于56，此类事件占所有事件的50%左右；而历时小于39 d，程度小于74的旱涝交替事件约占所有事件的80%；历时60 d以上，程度大于91的旱涝交替事件极少发生。

由图4可知，常见的旱涝交替事件程度小于50，峰值小于5，此类事件占所有事件的50%左右；而程度小于72，峰值小于9的旱涝交替事件约占所有事件的80%；程度大于92，峰值大于12的旱涝交替事件极少发生。

由图5可知，常见的旱涝交替事件历时小于32 d，峰值小于7，此类事件占所有事件的50%左右；而历时小于39 d，峰值小于10的旱涝交替事件约占所有事件的80%；历时60 d以上，程度大于91的旱涝交替事件极少发生。

图3 D-S联合分布概率三维图Fig.3 The joint probability of D-S

图4 S-I联合分布概率三维图Fig.4 The joint probability of S-I

图5 D-I联合分布概率三维图Fig.5 The joint probability of D-I

3.3 组合重现期

在相同单变量重现期下，两个和三个特征变量同时发生的组合重现期的计算结果见表4。可以看出，单变量重现期介于两种多维变量的重现期之间，故可根据组合重现期来估计单变量重现期的范围。综合对比4种组合重现期，随着单变量重现期的增加，D-I的组合重现期增幅最大，其次是D-S，S-I的增幅最小，说明S与I同时发生的风险最高，与前面的分析一致；D-I的组合重现期范围最大，例如单变量重现期为20 a时，同现重现期达到了500 a以上，这与D与I呈负相关有关。由3.1可知，考虑比较容易发生的特征变量即单变量发生频率达到80%时，旱涝交替事件的D小于33.57 d，S小于61.13，I小于7.44，对应的组合重现期见表6，可以看到，监利站大部分旱涝交替事件的联合重现期介于2～5 a之间，同现重现期介于48～100 a之间。

3.4 典型年频率分析

三个特征变量值越大，产生的影响越大，故将特征变量较大的10次旱涝交替事件列在表7中，可以看出，2011年的3个特征变量值均排在前列，旱涝交替产生的影响严重，这与实际相符：2011年春末至夏初，长江中下游地区发生一次旱涝急转现象，给人民生命、财产带来了重大损失[20]。故以2011年为旱涝交替典型年，其特征变量为典型特征变量，分别记为D0、S0和I0。对典型年进行频率分析，结果见表8。可以看出，若发生比2011年特征变量值更大的旱涝交替事件，D-S同时超过事件的发生概率与I-S同时超过事件的发生概率接近，分别为0.31%和0.35%，D-I同时超过事件的发生概率三者中最小，这间接反映了三变量之间的相关性：相关性越强，二维联合分布概率越大。三变量值同时超过事件的发生概率很小，接近于0。

表4 单变量重现期以及相应二维变量的组合重现期Tab.4 Calculated results of the return periods of two-dimension joint distribution

注：Ta为联合重现期，To为同现重现期。

表5 单变量重现期以及相应三维变量的组合重现期Tab.5 Calculated results of the return periods ofthree-dimension joint distribution

表6 给定特征变量的多维变量组合重现期Tab.6 The return periods of multi-dimension jointdistribution with given variables

表7 监利站旱涝交替事件的特征变量Tab.7 Variables of drought and flood alternatingevents at Jianli Meteorological stations

表8 典型年旱涝交替事件频率Tab.8 Probability of the typical drought and flood alternating event

注：D0、S0和I0为2011年时时涝交替事件的特征变量；D0=60，S0=119.48，I0=14.13。

4 结 语

本文基于游程理论从监利站1957-2007年的降雨距平序列中挑选出了旱涝交替事件，定义了旱涝交替特征变量，并应用二维以及三维Frank Copula函数构建了旱涝交替特征变量的联合分布模型，基于该联合分布模型，分析了旱涝交替事件的频率，结果表明：

(1)监利站共发生52次旱涝交替事件，约1.1 a一遇，平均历时为33.85 d，平均程度为49.31，平均峰值为5.18。旱转涝事件占绝大多数，从年内分布上看，主要集中在夏季，冬季发生的次数最少；从年间分布上看，旱涝交替事件呈现出历时变长，程度变大，分布越来越密集的态势。

(2)旱涝交替事件作为随机水文事件，其特征变量间具有相依关系，用Frank Copula函数构造的两变量联合分布以及三变量联合分布拟合精度是满意的。通过联合分布计算得到监利站旱涝交替事件多为历时小于39 d、程度小于74，或者程度小于72、峰值小于9，或者历时小于39 d、程度小于74的旱涝交替事件，这3种情况均占所有事件的80%左右。

(3)单变量重现期介于两种多维变量的重现期之间，可根据组合重现期来估计单变量重现期的范围；监利站大部分旱涝交替事件的联合重现期介于2～5 a之间，同现重现期介于48～100 a之间。

(4)2011发生的年旱涝交替事件历时达到60 d、程度达到119.48、峰值达到14.13，历史上极为罕见，若发生比其特征变量值更大的旱涝交替事件，D-S同时超过事件的发生概率为0.31%，I-S同时超过事件的发生概率为0.35%，D-I同时超过事件的发生概率为0.20%，三变量值同时超过事件的发生概率接近于0。

需要指出的是，本文仅从气象干旱出发，没有考虑农业、水文以及社会等方面的综合影响，今后应进一步深入研究。

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