范希尔理论及其对几何教学的启示

王文强

【摘要】介绍了范希尔理论的几何思维水平以及所对应的教学阶段，针对这两个主要内容，对照小学生的数学学习情况，提出对当今小学几何教学的若干启示.

【关键词】范希尔理论；几何思维水平；几何教学

范希尔理论符合学生的身心发展规律，对于小学数学教学中“图形与几何”的教学存在着重要的意义.在新课程实施以来，我们的课堂发生了许多变化，然而，我们可以发现，课堂教学中有的教材的安排或者是作业的难度所需要的语言或者是能力常常超出学生的思维水平，而几何概念相对是比较枯燥的，这样很容易使学生丧失学习兴趣.再加上有的老师虽然注重数学联系生活实际，但是却停留在表面，并没有引导学生将几何概念从生活实际中抽象出来，这一系列的问题都亟待我们去解决.

一、范希尔理论的基本综述

（一）范希尔理论的内容

范希尔理论是荷兰的范希尔夫妇根据皮亚杰的认知理论，结合自身在几何教学中所面临的问题研究所得到的用来刻画学生的几何思维水平的理论.范希尔理论的核心内容有两个，一是几何思维的五个水平，二是与之对应的五个教学阶段.

1.几何思维水平

（1）水平0：視觉

儿童通过整体轮廓辨认图形，能画图或模仿画出图形，初步描述图形，但无法通过图形的特征或要素名称来分析图形，也无法对图形做概括的论述.

例如，有的儿童可能会区分直线图形和曲线图形，但对于同类的图形，如：正方形和平行四边形，则不能正确地区分.

（2）水平1：分析

儿童能分析图形的组成要素及特征，并且在此基础上了解图形的一些特性，利用特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义.

例如，这个阶段的儿童可能会区分长方形和三角形，因为“长方形长得像门，而三角形不像门”，却可能不会区分正方形和菱形，因为他们都是方的，像“手帕”，所以他们是一样的.

（3）水平2：非形式化的演绎

儿童能建立图形以及图形内部性质之间的关系，能探索图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论，但不能了解证明与定理.

例如，长方形是特殊的平行四边形，可能比较难以理解.

（4）水平3：形式的演绎

学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”，“公理”和“定理”的意义，确信几何定理是需要逻辑演算才能建立的，能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理，定义定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网

例如，他们可以把任何一个四边形分割成两个三角形，从而由三角形的内角和是180°，推导出四边形的内角和是360°.

（5）水平4：严密性

能在不同的公理系统下严谨地建立定理，以分析比较不同的几何系统，如欧式几何和非欧几何.

这五个水平是顺次的，但却又是不连续的.学生在进入某一个水平之前，必须要掌握好在这之前的水平的大部分内容.

2.几何教学阶段

（1）阶段1：学前咨询

教师和学生就学习对象进行双向交流，教师了解学生情况，并且帮助学生理解要学习的课题，而学生提出问题，观察术语等，以确定下一步的学习.

（2）阶段2：引导定向

教师为学生仔细地安排活动顺序，使学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构的特性.

（3）阶段3：阐明

通过前面的经验和教师尽可能少的提示，让学生在明白术语的前提下表达自己的看法，开始形成学习的关系系统.

（4）阶段4：自由定向

学生碰到多步作业和能以不同方式完成的作业（一题多解），于是他们可以进行自主探索，并在探索的过程中逐渐地获得经验，通过明确学习对象之间的关系来确定学习领域的方向.

（5）阶段5：整合

学生回顾自己所用的方式并形成一种观点，对象和关系被统一内化为一个新的思维领域，教师做全面的评述帮助学生完成这一过程.

二、范希尔理论对小学数学教学的启示

范希尔认为几何思维各水平间的学习成长历程，主要来自教学的组织与方法以及教材的选择和使用，而不是随着年龄成长和心理成熟而自然而然地提升的.合理地运用范希尔理论有助于教师为学生构建学习环境，提高教学效率.下面结合范希尔理论谈谈其对小学数学教学的启示.

（一）联系生活实际，合理创设情境

范希尔理论中对于水平2的分析能力的培养告诉我们要注重数学联系生活实际，善于引导学生将几何概念从生活实际中抽象出来.然而，很多老师只是停留在表面，例如三角形的认识，只会一味地从三角形的标准图引出概念，这样很容易让学生丧失学习几何的兴趣.要在学生熟悉的生活实践中挖掘数学材料作为教学内容，使学生在学习中感受到数学的亲切.这件工作貌似容易，其实并不简单.要求研究者要熟悉作为教育的数学，同时要了解相应年龄段学生的生活、兴趣以及心理状况.

在冯玉新老师上的“圆的认识”一课中，老师首先课件出示，16个人站成一排，比赛谁先抢到篮球，老师问结果如何呢？学生很快地反应：“最中间那个同学应该最快抢到球.”还有的学生说：“这样比赛不公平.”老师再次追问，“那你们认为怎样站才比较公平？”学生回答：“以球为中心围成一个圆形.”于是，就自然而然地引出所学的课题，这样的新课导入，与学生们的生活实际紧紧联系，激发了学生继续学习的兴趣.

其实，在我们的生活中，可以找到无数与“图形与几何”的教学相对应的模型.例如，在教学“认识图形”时，就有各种各样常见的楼房、积木、食品罐、篮球分别与长方体、正方体、圆柱、球这些立体图形对应.在教学“图形的运动”时，电梯、动车的升降，摩天轮、风扇叶子的旋转以及卡通图片、剪纸中的对称等等都是图形变换的现象.而教学“图形与位置”时，则可以利用学生的上、下学、商场购物等情境来展开教学，这些都有利于学生空间观念的形成.

（二）结合认知规律，进行合理预设

在范希尔理论“引导定向”教学阶段，老师为学生仔细地安排活动顺序，这要求教师备课时做好合理预设，做到结合学生的认知规律来对教材加以理解、研究和再创造，那么，不仅教师教得轻松，学生也学得愉快.

在四年级下册的“三角形的三边关系”中，教材的编写意图是：让学生经历实验探究活动，归纳出“三角形任意两边的和大于第三边”的结论，这样的编写，给老师的教指明了方向，但是学生对为什么要用这四组小棒试搭三角形觉得很茫然，课堂活动变得很盲目，学生只能机械地遵循教师的指导去做.于是，潘小明老师大胆地进行了“再创造”，片段如下：

师：你们知道给每人发两根小棒干什么吗？

生1：因为课题是三角形边的关系，我以为会发三根小棒让我们摆三角形的，可是只发了2根，我就不知道干什么了.

生2：可能是摆角用的.

师：不是用来摆角的，确实是用来摆三角形的.

生3：三角形是有三条边，需要三根小棒，你发两根，我们怎么摆呢？

教师出示：现有两根小棒，一根长3厘米，另一根长5厘米，再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法？

师：将你要配的小棒画在纸上，你有几种配法都在纸上画出来.

学生独立思考着，操作着……

这样，只给学生两根小棒，让学生自己去创设第3根小棒，促使学生自己去思考需要怎样的一根小棒呢？化被动的盲目操作为主动的实验探究，符合了学生的认知规律及几何思维水平特征，让课堂变得更灵活.

（三）注重增强体验，发展空间观念

我们可以发现，大多数小学生都处于范希尔理论的水平0和水平1的层次，少部分人处于水平2，这说明学生的几何思维水平发展符合范希尔理论不连续性的特点，从一个思维水平到另一个思维水平的过渡是跳跃的，也是极为不易的，所以我们日常教学中要善于增强学生的体验，让学生通过自身的动手、操作、实践，不断获得数学活动的体验，增强他们的空间观念，从而帮助学生尽快地实现思维水平的过渡.例如，李艳玲老师“长方体的认识”的教学片段：

师：现在拿出你准备的一个长方体物体，仔细地摸一摸，告诉老师你有什么感觉？

生：我摸到了有平平的、光光的感觉……

生：我感到了扎扎的、痒痒的、硬硬的……

师：哪些地方平平的？那些地方痒痒的？

生（边操作边说）：这个地方是平平的，这个地方会扎扎的、痒痒的，这条线硬硬的.

师：像这样，平平的地方是长方体的面，扎扎的、痒痒的是长方体的顶点，硬硬的线就叫作长方体的棱.

教师再用规范的语言介绍长方体各部分的名称：面、棱、顶点.

这样子让学生在自我动手操作中感受到了长方体的特征，增强了他们的空间观念，让抽象的概念变得具体可感.

（四）强调因材施教，提高教學效率

在第0层，也就是视觉期，这个时候孩子主要是通过看，观察实物，由实物的轮廓来辨认形体或者是图形.教师必须抓住学生的年龄特征，特定的年龄，意味着特定的思维特征.低年级的学生认识平面图形和立体图形，基本上都是先观察实物，再通过轮廓来识别，而且在认识的时候用的不一定是标准语言.比如，长方形会说瘦瘦的、长长的、像门的样子；说正方形，方方正正的；说圆形是以前吃过的饼干或者说是硬币的样子.对于这个层次，其核心就是要有大量感知性的活动.使用卡片、小棒等教学用具让学生“分一分、摆一摆”，让儿童从实际经验中获得概念.小学中、高年级的儿童，则已逐渐进展到分析阶段，这时候的教学，可以安排适当的观察及实际验证的方法，分析图形的构成要素及图形的性质.

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