利用三角方法证明平面几何问题

浙江省绍兴市鲁迅中学 (312000) 陈少春 虞关寿

利用三角方法证明平面几何问题

浙江省绍兴市鲁迅中学 (312000) 陈少春 虞关寿

三角法证明平面几何问题就是利用正弦定理、余弦定理将平面几何中的边角关系互相转化、通过三角函数的变形公式达到证题的目的．本文通过一些数学竞赛试题，作一些探索．

1.证明平面几何中线段相等或成比例关系

图1

例1 如图1，在锐角三角形ABC中，∠BAC≠60°，过点B，C分别作三角形ABC的外接圆的切线BD，CE，且满足BD=CE=BC．直线DE与AB，AC的延长线分别交于点F，G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM=AN．(2014年全国高中数学联赛试题)

例2 如图2，PA,PB为圆O的切线，点C在劣弧AB上(不含点A,B)．过点C作PC的垂线l，与∠AOC的平分线交于点D，与∠BOC的平分线交于点E．求证：CD=CE．(2013年西部数学竞赛试题)

图2 图3

图4

例3 如图4，锐角△ABC的外接圆为圆O，过点A作圆O的切线l，l与直线BC交于点D，E是DA延长线上一点，F是劣弧BC上一点，直线EF与优弧AB交于点G，直线FB，GC分别与l交于点P、Q，证明：AD=AE的充要条件为AP=AQ．(第五届陈省身杯试题)

例4 如图5，AB是圆ω的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长与圆ω分别相交于点C、D.求证：EF·CD=AC·BD．(2013年全国高中数学竞赛试题)

图5 图6

例5 如图7，已知ΔABC的内切圆与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，AD与EF交于点G．证明：EB平分∠CEF的充分必要条件是FG=4GE．(2014年中等数学第六期)[1]

图7

评注：①三角法解决平面几何的关键是敏锐的发现角度、边之间的关系．

②三角法的最大优点是添加的辅助线较少，当图形比较简单、角与角之间的联系比较紧密、边角关系处理比较方便时，三角法不失为一种好方法．

2.证明平面几何中的不等式

例6 在ΔABC中，已知I为内心，记ΔABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r．证明：AI2+BI2+CI2≥6Rr．(2014年中等数学第6期)[1]

评注：利用三角法证明不等式问题需要比较扎实的三角函数基础，一些三角定理(张角定理、角平分线定理、斯德瓦特定理)和三角恒等式要会熟练运用，常用的恒等式有：

[1]数学奥林匹克问题[J]．中等数学，2014(6)．

[2]黄志军译．第23届韩国数学奥林匹克(2010)[J]．中等数学，2011(增刊2)．