第57届IMO平面几何题命题赏析

江苏省南京市鼓楼实验中学 (210000) 陈 婧

第57届IMO平面几何题命题赏析

江苏省南京市鼓楼实验中学 (210000) 陈 婧

图1

原题 如图1，⊙O1与⊙O2相交于E、M两点，⊙O2与⊙O3相交于F、X两点，⊙O1与⊙O3相交于D、B两点，且三圆心O1、O2、O3不在同一条直线上.证明：直线BD、FX、ME三线共点．

证明：令BD与ME相交于点P，连结FP并延长FP，交⊙O2于点X1，交⊙O3于点X2，由相交弦定理，得PF·PX1=PM·PE=PB·PD=PF·PX2，即知PX1=PX2，故X1与X2是同一点，这个点只能是⊙O2与⊙O3的公共点X，于是直线BD、FX、ME三线共点(这点称为⊙O1、⊙O2、⊙O3的根心)．

这道经典习题实质就是著名的根心定理，此定理是全国高中数学联赛加试所要考察的重要定理．下面，让我们来看看这道经典名题是如何被比利时奥赛命题专家巧妙演绎为国际数学奥林匹克(IMO)平面几何试题的.

先将图1特殊化：令⊙O1与⊙O2的半径相等，并且点F、D在连心线O1O2上，点M与圆心O3重合(参见图2).

图2

再将特殊化后的图2进行演绎：

连结EF、FB、EB、ED、DX、EX、MB、MF、MD、MX，注意到⊙O1与⊙O2是等圆并且分别关于直线FD、ME对称，知四边形EFMD是菱形，故∠FEM=∠DEM=∠FME=∠DME．

令∠FEM=∠DEM=∠FME=∠DME=α，注意到点M与圆心O3重合，知∠BEM=∠MDB=∠MBD=∠DEM=∠FEM=α，∠XEM=∠MFX=∠MXF=∠FEM=∠DEM=α，故E、F、B三点共线，E、D、X三点共线．

设直线FM交⊙O1于另一点A，交⊙O3于另一点C，连结AE、AD、AB、BC、CD，即知∠EAD=∠DAC=∠CAB=∠DCA=∠ABE=∠ADE=∠EDA=α，于是AC为∠DAB的平分线，AD为∠EAC的平分线，DA=DC，EA=ED，FA=FB，AC∥ED．

注意到∠EAC=∠XMC=∠DAB=∠DBA=2α，即知DB=DA=DC(点D是ΔABC的外接圆圆心)，AE∥MX，结合AC∥ED，知四边形AMXE为平行四边形．

再注意到点M与圆心O3重合，即知M为线段CF的中点，∠FBC=90°(ΔBCF是直角三角形)．

数学竞赛的关键是命题，而命题的关键是创新．

为创建一个陌生且全新的高水准试题，可擦去⊙O1、⊙O2、⊙O3以及线段BM、线段O1O2的痕迹，于是2016年7月在中国香港举行的第57届国际数学奥林匹克(IMO)的第1道赛题立即生成：

赛题 在ΔBCF中，∠B为直角．在直线CF上取点A，使得FA=FB，且F在点A和C之间；取点D，使得DA=DC，且AC为∠DAB的平分线；取点E，使得EA=ED，且AD为∠EAC的平分线．设M为线段CF的中点，取点X，使得AMXE为平行四边形，AM∥EX，AE∥MX．证明：直线BD、FX、ME三线共点．

对于一些经典名题与著名定理，作为参赛选手要能够熟练应用，而作为参赛选手的教练，不仅要指导学生会灵活运用其解题，还要从三个方面着力思考：一是挖掘经典名题与著名定理的深层内涵尝试进行命题实践，二是拓宽与推广经典名题与著名定理尝试进行命题实践，三是向比利时奥赛命题专家学习，对经典名题与著名定理特殊化后不断演绎，尝试进行命题实践．

辅导与命题是教练员的双翼，缺一不可．

[1]第57届IMO试题[J].中等数学，2016，8.

[2]熊斌．第57届IMO试题解答[J].中等数学，2016，9.