论维特根斯坦对哥德尔定理的评析

樊岳红

(山西大学 哲学社会学学院， 山西 太原 030006)

论维特根斯坦对哥德尔定理的评析

樊岳红

(山西大学 哲学社会学学院， 山西 太原 030006)

数学哲学的基础问题一直是维特根斯坦所关注的核心领域之一。 20世纪30年代哥德尔提出的第一不完备性定理彻底地动摇了数学的逻辑主义、 直觉主义和形式主义的基础。 在这种背景下， 中后期的维特根斯坦对哥德尔第一不完备定理进行了评论， 但他的评论却受到了人们广泛的质疑和批评。 很大一部分的原因是由于人们误解或误读了维特根斯坦的观点。 基于此， 在维特根斯坦数学哲学的语境下来分析和理解他的这些评论， 并最终阐明其理论特色。

维特根斯坦； GIT； 数学命题； 不可判定； 有限论

数学哲学的基础问题一直是维特根斯坦(以下简称维氏)所关注的核心领域之一， 无论是在其早期的《战时笔记》及《逻辑哲学论》、 中期的《哲学评论》及《哲学语法》， 还是后期的《数学基础研究》和《哲学研究》中， 他都尝试着探讨了许多重要的数学基础问题， 并提出了一系列重要的见解。 在其著作中， 维氏密切关注数学哲学的各种论题， 其原因就在于他想要了解必然性问题， 如数学命题在什么意义上必然为真。 在早期的《逻辑哲学论》中， 他曾认为必然性或者确定性在自身中显示为重言式， 所以对他来说， 所有必然性都是逻辑必然性。 中期和后期的维氏对哥德尔第一不完备定理(Gödel’s First Incompleteness Theorem， 以下简称GIT)的评论表明他有了不同的想法： (1)不可能有“是真的但却无法证实的”数学命题； (2)哥德尔式命题p的意义非常值得怀疑； (3)即使能对GIT进行标准的解释， 但哥德尔并没有证明这一系统自洽的问题。 因为在算术系统中， “无法证实的命题”既是可证的， 也是不可证的。

一、 维特根斯坦对GIT的评论

从20世纪30年代开始， 维氏密切关注数学哲学的各种论题。 在《逻辑哲学论》中， 他曾认为必然性(或者“确定性”)是自身显示为重言式。 所以对他来说， 所有必然性都是逻辑必然性。 从1929年到1933年期间， 维氏持强有限论观点： 没有可以无限扩展的事物集， 也没有无限的数学领域； 因为量化一个无限的数学表达式是没有意义的， 如量化哥德巴赫猜想(Goldbach’s Conjecture， 以下简称GC)、 费马大定理(Fermat’s Last Theorem， 以下简称FLT)等都是没有意义的。 因此， 维氏在《哲学评论》中写道： “现在看来， 对数的一般性表述似乎是无意义的……如果一个命题不通过任何有限的结果而成为真的， 这就等于说它不通过任何结果便成为了真的， 因而它不是一个逻辑计算的结果……”[1]§126

维氏认为， 一个有意义的数学命题， 当且仅当我们可以知道其有一种适当的、 有效的判定过程， 因为： “这里的数学命题只有一种解决方法， 命题必然通过其意义表明， 我们应该如何证明这个命题是真的还是假的？”[1]§148只有包含可判定的算术谓词时， 命题才是有意义的， 如果数学命题在算法上不可判定， 那么它们也不是真正有限逻辑的总数或结果， 因而也不是有意义的数学命题。 如“(∃n)4+n=7”就不是一个有限的逻辑结果， 因为表达式“(∃x)=|x”不能被预设为全部数字。 类似的， 在量化全称域时也不能说n|n， 因为所有自然数并不是一个有限的集合。 因此， 维氏认为， 我们可以在“所有”和“有”之间形成一种形式良好的原则或规则， 这是错误的想法， 因为公理与命题的唯一相关方式是有适当的判定过程。[2]37“你马上会看到， 追问数的对象是没有意义的。 尤其是不可能存在无限多的对象。 ‘存在无限多的沙发’=‘在空间里可能存在无限多的沙发’。”[3]13

因此， 维氏认为， 对所有数的描述不是通过命题来表征的， 而是由归纳来表征的。 如关于费马大定理的陈述并不是关于命题或算法的陈述， 而是对应于归纳的证明： “除了对费马规则不起作用的数字以外， 以一种规则来说， p是穷尽了全体数的序列。 ……已经有一个规则在那里， 但是这与数没有直接关系。 数就像是规则的一个不规则的副产品。”[1]§189

如果对无限数学领域进行量化， 这只能代表证明的归纳基础和归纳步骤， 但由于未经证实的归纳步骤在算法上不可判定， 因此在被证明之前它们不是有意义的命题； 命题在被证明的同时， 也即发明了一种新的演算。 如证明在π的扩展式中连续出现4个7， 但这种实数运算是不可证明的， 所以无论是出现还是不出现4个7， 命题都必须遵循排中律， 这意味着无论是出现还是不出现4个7， 这都是不可判定的， 因而是无意义的伪命题。

“当有人提出排中律时， 仿佛给我们提出了两种可供选择的图像， 并且说其中一种必然符合事实。 但假如这些图像在这里是否适用成为问题时， 那又该怎么办？……一般认为， 在排中律的命题中已经有某种坚实的东西， 有某种无论如何也不会引起怀疑的东西。 然而实际上， 这种同义语的反复同样具有不稳定的意义， 与这个问题一样， p还是～p成立。”[4]§11-12

因此， 中期维氏在评论GIT时写道， 这有两种理由来拒绝GIT：

首先， 作为数论表达式， 如果要量化无限域， 那么p在算法上是不可判定的。 因此， 它不是一个有意义的数学命题。 如王浩就认为， “人们可能会说， 维氏数学的不足之处是阻碍了他所发展的思想， 对于基础数学则更甚， 尤为有名的是他关于哥德尔证明的讨论”[5]。 然而王浩也说道： “在任何固定的有限范围内或者在一些无限范围内， 并没有隐含哥德尔式的建构， 这种可能性是不可能实现的。”[6]63

“正如布劳威尔所言， (x)·f1x=f2x的真或假也存在不可判定性的情况， 这意味着(x)……是外延性的， 我们可以说在所有x中恰巧有某种属性。 但事实上， 讨论这种情况是不可能的， 即在所有的算法中， (x)不可能是外延性的。”[7]§173维氏认为， 命题的不可判定性预设了等号两边存在一个隐式的连接， 但这种隐式的连接不能用符号来表征， 符号之间已经存在的连接也不能进行转换， 因为符号是一种思维的产物， 其本身不能被思维。 如果真有这种隐式的连接的话， 那么这种连接必须能够看出来。 维氏强调， 算法的可判定性在于， 我们可以主张任何事物都能够在实践中得到检验， 这是一个检验的可能性问题。

中期维氏拒绝GIT的第二个理由是哥德尔所谓的不可判定性命题明显是矛盾的， 如p是可证明的， 那么“～p”也是可证明的， 反之亦然， 其结果是导致逻辑命题失去了其有效性。 如果一个表达式是不可判定的话， 那么它既不是真的也不是假的。 在一些实际的演算中， 如果一种表达式是不可判定的， 那么它就不是一个有意义的数学命题， 因为“每种数学命题必须属于一个数学演算式”[8]§376。 如果我们假定有另外的一些系统可以对是真的但不可证明的命题p进行自然语言的解释， 那么p在罗素系统中则不是可证明的。 因此， 这导致了维氏在许多场合都认为我们应该“放弃”哥德尔的这种矛盾解释。

在《数学基础研究》(以下简称RFM)及《维特根斯坦1939年在剑桥关于数学基础的讲座》(以下简称LFM)中， 维氏更加重视他中期的主张， 他认为我们是在制造或发明数学——“一个人不能发现数学或逻辑部分之间的任何连接， 如果这种连接已经存在但却没有人知道的话”“数学家是一个发明家， 而不是一个发现者”[4]§168。 后期维氏认为， 每种新的数学证明都进一步扩展了数学， 我们不是在发现数学真理或数学对象， 而是在一点一点地发明数学。

正如维氏在RFM中所说： “对计算结果的差异取得一致意见， 这是什么意思呢？它一定意味着达到了一种没有差异的计算。 如果人们没有取得一致意见， 那么其中一个人就不能说另一个人只是在得出另一种计算结果。”[4]§9在早期的《逻辑哲学论》中， 维氏认为， 唯一真正的命题是一个偶然的命题， 我们使用惯例来断言事实的状态。 因为只有为真或为假的偶然命题才对应于事实。 “如果一种基本命题是真的， 那么事物的状态是存在的； 如果一种基本命题是假的， 那么事物的状态就不存在。”[9]§4.25这意味着只有真实的、 真正的命题才是符合真理的。 所有其他公认的命题都是伪命题， 包括重言式、 矛盾式， 以及数学方程等。

在中期， 维氏认为数学命题并不符合真理， 它们只是在形式上或句法意义上为真或为假。 维氏把这种数学命题看成发明的真理。 只有在一个给定的演算式中， 一个表达式才是有意义的命题， 一个有意义的表达式当且仅当我们可以有一个适用的、 有效的判定过程， 即算法是可判定的。

在后期， 维氏进一步强化了这一观点。 尽管维氏仍然认为可判定性适用于所有有意义的数学命题， 但这并不意味着每一个这样的命题都是为真或为假的， 而是说通过正确运用相关的判定过程， 我们可以让命题为真或为假。 维氏强调， 证明是在做出新的联结， 即使它们不存在这样的联结， 我们也可以制造它们。 因此， 维氏的“真”相当于“被证明”， 而“假”相当于“被反驳”。 我们可以在数学语境中用如“红”和“绿”取代“真”和“假”， 或用“+”和“-”来替代“真”和“假”， 而没有任何损失。 中期及后期维氏都认为“真”相当于“可证明性”， 而“假”相当于“可反驳性”。[10]

二、 维氏对哥德尔“命题p”的质疑

如前所述， 中期的维氏拒斥可以量化一种无限的数学表达式， 包括量化费马大定理这样的表达式。 维氏认为， 像FLT也不是有意义的算术命题， 因为它涉及无限的数学领域。 “因为它们不能被假定为全部数字， 正如量化普遍命题不能是无限的逻辑产物， 所有自然数并不是一个有界的概念。”[7]§126虽然后期维氏没有提出关于量化的明确主张， 但毫无疑问的是， 他仍然是一个有限论者。 维氏在RFM中主张， 无限序列或无限集只是一种生成的有限扩展的递归规则， 无限序列或无限集本身不是无限扩展的。 那么无限小数概念是数学命题吗？维氏认为， “无限小数不是系列的概念， 但拥有无限扩张的技术。 说技术是无限的， 并不意味着它不会停止， 它只是可以扩展到无法测量； 但它缺乏制度性的结束， 这并不是结束”[11]II§45。

我们说存在有理数的无限集， 因为它们是可数的； 但不存在无理数的无限集， 即使所谓的递归无理数也不是递归可数的。 维氏认为， 像命题中出现4个7的表达式， 当把它们限制在有限系列时， 它们是有意义的， 这正是维氏中期的立场。 当问： “如数字0、 1、 2……9会出现在其中吗？”[2]81-82维氏认为不可能会有这样的问题。 我们只能问， 它们是否会出现在一个特定的地方， 或者它们是否会出现在10000之内的数字中。 在量化无限的数学表达式时， 后期维氏的立场与中期的立场似乎没有太大的变化： “现在是不是说一个人若不懂费马大定理的意义就是荒谬的？好吧， 人们可能的回答是， 当数学家面对这个命题时， 他们并不完全是不知所措的。 毕竟， 他们会尝试用某些方法来证明它； 只要他们去尝试各种方法， 他们就能理解命题。 但这是正确的理解吗？难道他们不能充分理解这一命题就像人们不能充分理解这一命题一样吗?”[11]VI§13

维氏对此的回答是， 如果我们知道像FLT的命题说的是什么， 那么我们就必须知道命题为真的标准是什么。 如果我们知道如何确定FLT， 那么我们就会知道它的真理性标准； 如果我们知道一个适当的判定过程的话， 那么我们就会知道FLT是为真还是为假； 如果判定过程给出了结论， 那么结论之外的其他方面就是假的。[12]

维氏对GIT的评论， 尤其是在评论量化无限领域时， 他并没有明确解决数学表达式的意义问题。 哥德尔定理表明， 我们有一个命题p可能属于或不属于罗素系统——或者更准确地说， 在某些情况下， 如果我们可以证明这个命题本身的话， 那么我们也可以证明该命题的否定句法。 在RFM中， 维氏只是隐含地质疑了这样表达式的意义， 但这一观点却经常被人们误解。

“数理逻辑入侵数学诅咒通常指的是， 现在任何命题都可以用数学符号来表征， 这让我们觉得有必要理解它。 当然， 这种写作方法只不过是对普通文本的模糊翻译。”[11]VI§46在这著名的段落中， 维氏讨论了“建构性存在”对比“非建构存在”。 “因此， 这个问题是说， 是否存在一种不是建构的证明， 而且是一种真正的证明。 也就是说， 所产生的问题是： 我理解了这一命题‘这是……’却不知道在哪里可以找到它？并且这里有两种观点： 作为一个中文句子， 如果我理解了它， 到目前为止， 也就是说我可以解释它。 但我能做些什么呢？我能做的不是去建构一种证据， 而是去理解它的标准。 因此， 到目前为止尚不清楚是否以及在多大程度上我可以理解它。”[11]VI§46

尽管这时的主张明显比中期的观点更加柔和， 但介入的方式似乎没有什么区别。 “数学逻辑入侵数学是灾难”， 因为我们现在没有任何已知的方法来决定如何准确地使用量词。 维氏认为， 这种写作方法只不过是普通文本的模糊翻译， 即使“存在一个这样的数”和在“所有自然数”之间我们有量词， 还是存在含糊不清的问题。 从维氏的观点来看， 我们并不倾向于使用多个嵌套量词、 逻辑运算和算术符号来建构有意义的数学命题。 我们相信自己可以建构各种各样有意义的算术命题， 这些算术命题量化了无限的自然数， 然后与所建构的算术命题一起， 从中可以发现哥德尔证明的矛盾。 “需要记住的是， 这里的命题逻辑是如此建构的， 就如在实践中信息没有应用一般。 它很可能是说它们完全不是命题， 并且人们写下命题是需要理由的。 现在如果我们把这些命题添加到另一句子结构中， 那么在符号组合中应该如何应用， 我们都处于茫然之中， 因为单单是句子则不足以给出任何有意义的符号联结。”[11]I§20

正如维氏在《逻辑哲学论》中所论述的重言式和矛盾式的逻辑命题， 它们没有丰富的内涵， 这意味着关于世界它们什么也没说。 即使如“pvq”的简单真值函数， 也只不过是一个命题框架， 这样的真值函数的变量不是我们可以直接用来断言某些事物的命题， 要使它成为一个命题， 我们必须用偶然命题来替换p和q。

但更为严重的问题是， 在“(∃x)(Px&Ex)”的逻辑命题中， 我们必须附加另一种像算术句子的结构， 那么得到了如(∃x)(x是一个完美的数量， 并且x大于9000000000)。 在这种情况下， 我们“只有一个句子来回应， 但这并不能够给这些符合的联结以任何意义。 即使我们提出初等数论的公式， 也并不一定意味着我们已经构建了一个有意义的算术命题或数学命题。 正如维氏所言： “符号‘(x)’及符号‘(∃x)’在数学中肯定是有用的， 只要我们熟悉相关的证明技巧。 这里所引用的是罗素符号， 如果这些符号是开放式的， 那么这些旧逻辑概念则是非常具有误导性的。”[11]V§13

此外， 维氏还质疑了哥德尔证明的前提。 如果命题p是真的但无法证实， 那么它必须在两种意义上为真： (1)p是真的， 因为在现有的自然数无限集中不存在一个自然数满足正在讨论的关系问题； 或(2)p是真的， 因为任何的必要系统不可能构造一个自然数来满足正在讨论的关系问题。 从某种意义上说， 对于任何(1)这样的系统， 都存在无穷多个是真的， 但却是无法证实的命题。 因而维氏坚决反对数学柏拉图主义和数学表达式的无限扩展。 在《哲学评论》中， 维氏写道： “如果数学在自然科学无限扩展的话， 我们永远不能有详尽的知识， 在原则上可以假设这个问题是不可判定的， 但这却是不可设想的。 在真理中， 不可能讨论‘所有x恰好拥有某种属性’， ‘(x)……在算术中不能被扩展为支持者’。”[7]§174后期， 维氏同样拒斥了柏拉图主义， 因为柏拉图主义要么是一个纯粹的真理， 要么会导致无穷多的模糊世界。 此外， 如果我们成功地证明了适当的归纳基础和归纳步骤， 那么命题的意义只可能是所有自然数的真； 如果命题在某些实际系统中不能被证明， 那么在所有自然数中它也不可能都为真。

三、 对维特根斯坦评论的辩护

维氏对哥德尔定理的论证遭到后世许多学者的批评， 他们认为维氏实际上是不懂数学的， 但也有部分学者如弗洛伊德(J. Floyd)和古德斯坦( R. L. Goodstein)等人就从不同的角度对维氏的评论提出了自己辩护意见。

弗洛伊德认为， 维氏的观点是把哥德尔证明转换为意愿的理由， 将之称为“一个句子无法证实或不可证明的”。 如果接受哥德尔证明作为句子“不可证明”的证据， 就澄清了事物是无法证实的观点。 维氏对哥德尔数学证明的解释确实如哥德尔本身理解的一样， 从维氏的观点来看， 哥德尔证明不是一个逻辑悖论， 而是一篇数学论文， 即产生了一个需要澄清的问题， 是否有“是真的但无法证实的”问题。 弗洛伊德认为， 维氏同意哥德尔的观点， 在罗素的系统中有真的但无法证实的命题。 弗洛伊德进一步认为： “维氏关于哥德尔的工作既没有过多解释数学的本质， 也没有说明其他严格不可能的证据。 显然， 维氏希望缩小哥德尔定理的意义； 对他来说， 既不涉及数学证明的性质， 因而也就不关注数学的本质。 这仅仅是许多数学证明中的一个例子——尽管人们在哲学上更有可能被误导。”[13]

当然， 弗洛伊德认为维氏实际上是拒绝承认哥德尔定理所拥有的重要哲学地位。 她解释道： “维氏关于哥德尔证明的根本观点是， 他展示了某种不可能的建构——就像用尺子和圆规不可能三等分一个角的证明。”[13]维氏所坚持的观点是， “p的不可证明性”必须放弃寻找证明的强制理由。 也就是说， 不用去寻找如用尺子和圆规三等分一个角那样的证明， 哥德尔的证明不构成强制性理由， 因此， 哥德尔证据中有矛盾， 无法进行这样的预测。 鉴于哥德尔式命题既不是一个基本定律， 也不是罗素系统中可证明的命题， 维氏否认哥德尔已经澄清了这个问题， 因为他否认P， 或者否认有可能是真的但无法证实的陈述。 维氏认为， 这种主张的真理性不可信， 因为除了诡辩， 人们无法使用它。

在《维特根斯坦的数学哲学》一书中， 古德斯坦写道， 维氏在RFM中对GIT评论的核心论点是“唯一有意义的数学命题是它在一些系统中(不一定是完全形式化的系统中)可证明， 数学的‘真’意指是可证明的”[10]。 根据维氏的思路， 这里的“真”意味着在其他系统中是可证明的。 因此， 哥德尔的句子被认为在一些A系统中是可证明的， 但不能说在另一个B系统中也是可证明的。 当然， 古德斯坦认为维氏的观点被误解了， 因为维氏认为， 一个词的“真”在于其使用。 在标准解释中， “(∀x)G(x)是真的， 因为它的每个实例G(0)、G(1)、G(2)……都是可证明的， 因此是真的”[10]。 或者我们可以通过排中律来解释“真”。

古德斯坦认为， 我们可能只诉诸排中律来肯定“(∀x)G(x)”， “(∃x)┒G(x)”是真的， 因为这些句子都是不可证明的， 即无法说明一个句子既是真的又是可证实的。 首先， “(∃x)┒G(x)”不是真的， 如果它是真的话， 那么就应该存在“(∀x)G(x)”的证据； 如果有相关证据的话， 那么我们就可以证明“(∃x)┒G(x)”， 但在这种情况下， 系统是不自洽的。 其次， 如果系统是自洽的， 那么命题就独立于系统， 然而这条论证思路是问题乞求的， 正如维氏所说： “我们认为自己已经有了固定的排中律， 这是无论如何都不能怀疑的。 而事实上， 当我们质疑p或者～ p时， 在某种意义上这种重言式是不可靠的。”[11]V§12“当有人苦恼于研究我们的排中律时是不能被否认的， 很明显的是这是有问题的。 当有人设立了排中律， 他是在我们面前放置了两张可供选择的图片， 然后说其中一张图片必须与事实相对应。 但让人质疑的是， 这些图片可以应用于这里的事例吗？”[11]V§10

因此， 维氏主张如果系统是自洽的， 那么在每个独立的系统中无论是p还是～p都是不可证明的。 如果我们承认在一个特定的系统中一种表达式是不可证明的话， 那么这个系统中的其他命题也是不可证明的。 因此， 古德斯坦说： “在哥德尔的工作中新的事物是什么呢？是一种发现的方法， 在任何足够丰富的形式化算术中， 该方法可用来产生不可判定的句子， 这表明没有算术公理的递归集是完全的。”[10]古德斯坦认为， p或者～ p必须真的， 在系统内一种表达式是可证明的， 那么另一系统内表达式也必须为真或为假。 在形式化运算中， 我们可以建构真的但不可判定的命题。 但维氏认为， 在这种情况下， 意义的建构是模糊的， 也就是说建构的意义远未确定。 鉴于p独立于我们的算术演算， 我们如何知道或者为什么我们说这是一个为真或为假的数学命题呢？正如维氏所言， 这种符号建构只是一个句子， 但不足以给出这些符号联结以意义。

古德斯坦认为， 也许更好的方法是重新考虑维氏的立场， 即重新考虑关于“系统的真”和“在系统中的证明(或可证明的)”的立场。 对维氏来说， 这些表达式是共外延的(co-extensive)。 然而， 人们对于维氏存在的误解正是在于， 维氏不会支持它们是共外延的， 因为这隐含了真理性和证明是不同的事物， 进而数学命题的“真”是通过证明这些数学命题来发现它们的真。 维氏对数学命题的主要看法是， 一切都是句法的， 没有什么是语义的。 真正的数学命题是特定的演算式， 或者可以用演算式来证明它， 或者可以用演算式来说明它是可证明的。 在实在论者与形式主义者的争议中， 维氏的评论提供了一种新的解决方案： 数学命题是真的， 因为它们在演算式中是可证明的， 它们能通过形式上的公理规则推演出来； 这些数学命题是真的， 由于其有效地应用了推理规则， 并且没有什么能归因于数学之外的世界。[10]

事实上， 古德斯坦认为， 维氏的数学不是一个纯粹的游戏， 因为数学也应该用于日常生活中。 后期维氏也强调了数学日常的应用系统， 对数学演算进行语义解释， 也应该包括不同的真理和证据。

四、 结论

在RFM中， 维氏评价GIT的一个主要目的是要提醒我们， 根据罗素系统的规则， GIT不能排除p的可推论性， 因为哥德尔定理只是表明， 如果罗素的系统是自洽的， 那么p则不是可推论的。 维氏理论的优势在于他迫使我们去质疑哥德尔所建构的命题p的意义。 从1929年维氏重新回归哲学研究开始， 他就一直在质疑数论表达式是否能够量化无限数学领域， 因为这样的一些表达式将是不可判定的， 因此它们也不是有意义的数学命题。 如果没有一个适当的、 有效的判定过程， 那么我们无法确定GC和FLT的真或假。 鉴于大多数数学家和哲学家把维氏的反直觉结论看成一种建构数学的激进归谬法， 从而导致人们对维氏误解的加剧。 但笔者认为， 不应该简单地驳斥维氏对于GIT的评论， 事实上， 维氏对GIT评价的真正价值在于， 我们应该质疑p的意义， 因为p在数学证明和计算中是不可用的， 也很难想象在另外一个应用系统中， 它是如何被应用于现实世界中的。

[1] 维特根斯坦.维特根斯坦全集：第三卷哲学评论[M].丁冬红，等,译.石家庄：河北教育出版社,2003.

[2] WAISMANN F.Wittgenstein and the Vienna Circle[M].B.F.McGuinness,ed.and tran.Oxford:Blackwell,1979.

[3] 维特根斯坦.维特根斯坦全集：第二卷维特根斯坦与维也纳小组[M].黄裕生，等,译.石家庄：河北教育出版社，2003.

[4] 维特根斯坦.论数学的基础[M].涂纪亮，等,译.石家庄：河北教育出版社，2003.

[5] WANG H.Wittgenstein’s and Other Mathematical Philosophies[J].Monist,1984(67):18-28.

[6] WANG H.Reflections on Kurt Gödel[M].Cambridge:The MIT Press,1988.

[7] WITTGENSTEIN L.Philosophical Remarks[M].Oxford: Blackwell,1975.

[8] WITTGENSTEIN L.Philosophical Grammar[M].Rush Rhees ed.Anthony Kenny,tran Cambridge:Blackwell,1974.

[9] WITTGENSTEIN L.TractatusLogico-Philosophicus[M].London:Routledge,1922.

[10] GOODSTEIN R L.Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics[M]∥ Ambrose,Alice and Morris Lazerowitzeds.Ludwig Wittgenstein:Philosophy and Language[M].London:George Allen and Unwin Ltd,1972:271-286.

[11] WITTGENSTEIN L.Remarks on the Foundations of Mathematics[M].2nded.London:Blackwell,1967.

[12] VICTOR R.Wittgenstein’s Inversion of Gödel’s Theorem[J].Erkenntnis,1999(2/3):173-206.

[13] FLOYD J.On Saying What You Really Want to Say:Wittgenstein,Gödel,and the Trisection of the Angle[J].Hintikka,1995(2):373-425.

[责任编辑尚东涛]

RemarkonWittgenstein’sCommentsonGödel’sTheorem

FAN Yue-hong

(SchoolofPhilosophyandSociology,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

The basic problem of the philosophy of mathematics has long been of concern to Wittgenstein. Gödel’s proposed First Incompleteness Theorem that has thoroughly shaken mathematics of logicism, intuitionism and formalism at 1930s. Wittgenstein commented Gödel’s First Incompleteness Theorem in his mid-to-late period, but his comments were widely questioned and criticized. This is mainly because people misunderstood or misread Wittgenstein’s view. This paper will analyze and interpret his comments in the context of Wittgenstein’s philosophy of mathematics, and finally clarify his theoretical features.

Wittgenstein; GIT; mathematical proposition; undecidable; finitism

N031

A

1009-4970(2017)10-0008-06

2017-06-01

教育部人文社会科学青年基金项目(15YJC720006)

樊岳红(1981—)， 女， 湖南岳阳人， 博士， 副教授， 研究方向为科学哲学与认知科学哲学。