基于中心流形的三维多项式微分系统极限环的存在性与稳定性

许佰雁, 陈景莲

(1.长春光华学院基础部, 吉林长春 130033； 2.海尔集团电子商务有限公司, 山东青岛 266000)

基于中心流形的三维多项式微分系统极限环的存在性与稳定性

许佰雁1, 陈景莲2

(1.长春光华学院基础部, 吉林长春 130033； 2.海尔集团电子商务有限公司, 山东青岛 266000)

1963年，Sherman构造了三维多项式微分系统，并给出了周期解的存在性和稳定性条件．1989年，李德明等人用Liapunov-Schmidtreduction方法给出了此系统Hopf分支后周期解的存在性条件．本文将利用中心流形研究此系统极限环的存在性与稳定性．

三维多项式微分系统；极限环；存在性；稳定性；中心流形

1 预备知识

定义1 (极限点)称点P∈E⊂n是系统

(1.1)

定义2 (极限环)系统(1.1)的闭轨线称为平面系统的极限环[1]， 它是系统(1.1)除了Γ以外的某些轨线的α-极限集或ω-极限集.

定义3 (稳定和不稳定极限环)如果闭轨线Γ是Γ的某个邻域内的每一条轨线的ω-极限集， 则Γ称为一个ω-极限环或稳定极限环[1]； 如果闭轨线Γ是Γ的某个邻域内的每一条轨线的α-极限集， 则Γ称为一个α-极限环或不稳定极限环.

定义4 (中心流形)如果Y=h(X)是系统

(1.2)

的不变(局部不变)流形， 且h是光滑的， 使得h(0)=0,Dh(0)=0, 则称Mc={(X,Y)|Y=h(X)}是系统(1.2)的中心流形(局部中心流形)[2].

定义5 (焦点)对于系统

(1.3)

记p=-trA=-(a+d),q=detA=ad-bc. 当q>0且0

定义6 (平衡点)对于二维自治系统

(1.4)

若点(x0,y0)， 使P(x0,y0)=0,Q(x0,y0)=0， 则称(x0,y0)为自治系统的平衡点[2].

定义7 (稳定和不稳定平衡点)设(x0,y0)是自治系统(1.4)的平衡点， 如果对(x0,y0)的任一领域U， 存在(x0,y0)的一个属于U的领域U1， 使自治系统的每一条轨线(x(t),y(t))， 若有(x(0),y(0))∈U1， 则对一切t>0， 有(x(t),y(t))∈U， 就称平衡点(x0,y0)是稳定的， 否则就称为不稳定的[2].

定理1 (三维的Hopf分支定理[4])对于系统

(1.5)

假设F(X,λ)在U内是解析的， 其中U是3×中的包括原点的一子集.F(0,λ)=0，A(λ)=DF(0,λ)有特征值α(λ)±iβ(λ)和δ(λ)， 且α(0)=0，β(0)>0,δ(0)<0,α′(0)>0, 则有下列结论成立：

(1)如果系统(1.5)的原点当λ=0时是稳定的但非渐近稳定的平衡点， 则系统(1.5)当λ=0时的解在原点领域内的某一曲面上全是闭轨；

(2)如果系统(1.5)的原点当λ=0时是渐近稳定(不稳定)的平衡点， 则对充分小的λ>0(λ<0)， 系统(1.5)在原点领域内的有渐近稳定(不稳定)的闭轨.

2 结论

1963年， Sherman构造了三维多项式微分系统

(2.1)

并给出了周期解的存在性和稳定性的条件[5]， 即：如果β是充分小的正数， 且0

我们利用平均法得到了系统(2.1)的周期解的存在性和解的表达式[7]， 但很难得到极限环的稳定性. 本文接下来运用中心流形和Hopf分支方法研究极限环的存在性和稳定性.

证明 做变换u=x, v=y,w=z-1， 则系统(2.1)变为

(2.2)

上式可等价地写成向量场

X=f(u,v,ω)=(-βu+v,-u+(k-1)βv+kβvω,-αβω-kβv2)

(2.3)

O(0,0,0)是(2.3)的一个平衡点. f在点O的雅可比矩阵为

该矩阵的特征值为

λ1=-αβ<0

则当k=2时， (2.3)式等价于

(2.4)

(2.5)

∂uh(-βu+v)+∂vh(-u+βv+2βvh) =-αβh-2βυ2

(2.6)

假设h具有如下形式：

h(u,v)=h20u2+h11uv+h02v2+h30u3+h21u2v+h12uv2+h03v3+h40u4+h31u3v+h22u2v2+h13uv3+

h04v4+…

将h的表达式代入(2.6)， 左边有

∂uh(-βu+v)+∂vh(-u+βv+2βvh)=(2h20u+

h11v+3h30u2+2h21uv+h12v2+4h40u3+3h31u2v+

2h22uv2+h13v3+…)(-βu+v)+(h11u+2h02v+

h21u2+2h12uv+eh03v2+h31u3+2h22u2v+3h13uv2+

4h04v3+…)[-u+βv-2βv(h20u2+h11uv+h02v2+

h30u3+h21u2v+h12uv2+h03v3+h40u4+h31u3v+

h22u2v2+h13uv3+h04v4+…)]

右边有

-αβh-2βv2=-αβ(h20u2+h11uv+h02v2+

h30u3+h21u2v+h12uv2+h03v3+h40u4+h31u3v+

h22u2v2+h13uv3+h04v4+…)-2βv2

比较左边与右边umvn(m+n≥2)的系数， 可得

(2.7)

(2.8)

(2.9)

分别解方程组(2.7)、(2.8)、(2.9)可得到

其中

φ(α,β)=α(4-4β2+α2β2)

ψ(α,β)=α3(-128β2-20α2β4+64β4+20α2β2+

α2β4+64)(4-4β2+α2β2)2

P1(α,β)=-64(48α2β2+32β4-48α2β4-16α3β4+13α4β4+40αβ4-64β2+32-40αβ2)

P2(α,β)=-64β(α-4)(48α2β2+32β4-48α2β4-16α3β4+13α4β4+40αβ4-64β2+32-40αβ2)

P3(α,β)=-16(384α2β2-768β4+864α2β4-744α3β4+180α4β4+192αβ4-1248α2β6+324α4β6+360α3β6+25α6β6-186α5β6+512β6+384αβ6-577αβ2+256)

P4(α,β)=-16β(384α2β6+40α4β6-448α3β6-

58α6β6+132α5β6+7α7β6+1024β2+384αβ2-864α2β2-512β4+208α3β2+480α2β4+496α3β4-440α4β4+84α5β4+128α-512αβ4-512)

P5(α,β)=-16(α8β8-8α7β8+16α6β8+17α6β6-98α5β6+16α5β8-80α4β8+132α4β6+64α4β4+64α3β8-232α3β4+104α3β6+128α2β2+96α2β4-224α2β6-160αβ2+160αβ4-256β2+

128β4+128)

将h代入到(2.5)并作线性变换

则(2.6)变为

(2.10)

其中

下面用幂级数法求(2.10)在原点的焦点量， 设存在幂级数

F=ξ2+η2+F3(ξ,η)+F4(ξ,η)+F5(ξ,η)+F6(ξ,η)+…

其中Fi(ξ,η)是关于ξ和η的i次齐次多项式， 且存在一组多项式V4(α,β),V6(α,β),…,V2k(α,β),…， 满足

其中多项式Vi被称为庞加莱—李雅普诺夫常数， 且这些多项式的变量是(2.10)的系数.

庞加莱曾指出系统(2.10)在原点有一中心当且仅当V2k≡0对所有的k成立. 方程(2.10)在原点有一k阶的细焦点当且仅当V2k+2是第一个非零的庞加莱—李雅普诺夫系数.

通过直接的计算可以得到第一个庞加莱—李雅普诺夫系数

(2.11)

观察上式得到

则根据(2)和定理1， 可知定理得证.

[1] 顾圣士. 微分方程和动力系统[M]. 上海： 上海交通大学出版社， 2000.

[2] 张锦炎, 冯贝叶. 常微分方程几何理论与分支问题[M]. 北京： 北京大学出版社， 2000.

[3] 丁同仁, 李承志. 常微分方程教程[M]. 北京： 高等教育出版社， 2004 .

[4] 马知恩, 周义仓. 常微分方程与稳定性方法[M]. 北京： 科学出版社， 2001.

[5]Sherman.S.Athird-ordernonlinearsystemarisingfromanuclearspingenerator[J].ContrDiffEqns，1963(2):197-227.

[6]LiDe-ming，HuangKe-lei.HopfbifurcationinaThree-dimensionalSystem[J].AppliedMathematicsandMechanics，1989(10):1011-1018.

[7] 许佰雁, 陈景莲. 基于平均法的三维多项式微分系统解的分析[J]. 洛阳师范学院学报，2015(11).

[责任编辑 胡廷锋]

Existence and Stability of Three-Dimensional Polynomial Differential System Limit Cycles Based on Center Manifold

XU Bai-yan1, CHEN Jing-lian2

(1. Basic Research Section, Changchun Guanghua University, Changchun 130033, China; 2. Haier Group Ecommerce Co. Ltd, Qingdao 266000, China)

In 1963, Sherman constructed a three-dimensional polynomial differential system, and gave the existence and stability of periodic solution. In 1989, Li Deming, etc. using Liapunov-Schmidt reduction method gives the system after the Hopf bifurcation of the existence conditions; this article will use the study center manifold existence and stability of this system limit cycle.

three-dimensional polynomial differential system; limit cycle; existence; stability; center manifold.

2016-12-24

许佰雁(1984—)， 男， 山东菏泽人， 硕士， 讲师. 研究方向： 微分方程理论.

O175．12

A

1009-4970(2017)02-0006-04