在动态中演绎，在问题中探究——对“平面与平面垂直”一课引发的立体几何教学思考

夏利杰

（山东省济南中学，山东济南 250001）

在动态中演绎，在问题中探究
——对“平面与平面垂直”一课引发的立体几何教学思考

夏利杰

（山东省济南中学，山东济南 250001）

立体几何的教学是高中数学教学的重要组成部分，三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是数学课程标准的基本要求。根据学生的认知特征和立体几何的特点，积极探索适合学生的教学方式。

直观感知体验；问题探究；空间想象能力；逻辑思维能力

英国著名数学家M.阿蒂亚曾认为，几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。这表明，几何不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。因此，培养学生的几何直观能力、把握图形的能力就成为高中学习几何的主要目的。“空间想象能力”是我国著名数学家华罗庚提出的，几何直观能力是本世纪最著名的数学家希尔伯特提出的，这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。在教学过程中，教师要更加关注通过对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力，通过“直观感知、操作确认、观察发现、思辨论证”等学习过程，培养学生的数学思维能力。本文以平面与平面垂直一课为例，谈一点在立体几何授课方面的体会。

1 动手操作，直观感知，在动态中学习定义

在讲授面面垂直的定义时，笔者设计了这样的教学环节。

探究学习1：利用你手中的正方形纸（1）对折（2）沿对角线折，使纸片折后两部分分别所在的平面互相垂直，仔细观察体会，你能试着给出面面垂直的定义吗？

此环节老师边巡视边组织学生观察，同时把制作好的几何画板动画在投影上展示，设置这一环节的目的是通过动手折纸迅速的把学生组织到教学中来，同时，沿对角线折纸是为了更清晰的感知面面垂直的概念。在学生动手折纸的同时，老师要注意培养学生主动发现、自我归纳的能力，比较不同的折叠方式背后的相同点以构建面面垂直的概念，这个环节除了根据已经完成的折纸实践之外，老师还可利用我们立体几何中重要的载体——长方体，引导学生加深对面面垂直的认知，以深化概念，从而突破教学难点！

2 从生活到定理，探究中发现真理

学生的认知是一个由简单到复杂，由现象到本质逐步深化升华的过程，那么在数学的课堂教学上，我们要引导学生主动地以“实践、探索、体验、碰撞、发现”为中心，进行自主探索式学习，使学习过程成为沿着知识发生和发展过程的再实践、再探索、再体验、再发现的创造性活动。

让课堂上的数学真正回归到数学的本质。笔者首先安排了下面的探究。

探究学习2：（1）旋转门在转动的过程中，门和地面的关系是怎样的？里面蕴含了怎样的数学原理？

这个探究活动猜想面面垂直的判定，但仅有猜想是不够的，接下来带领学生经过严格的逻辑证明，得出两平面垂直的判定定理，当然也要指导学生达到文字语言、图形语言与符号语言的紧密结合！得出面面垂直的判定以后，对我们的生活有什么实际意义呢？我安排了一个小环节。

学数学，用数学：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？

这个小环节不但使学生体会到数学是从生活中来到生活中去的一门学科，还进一步落实了面面垂直的判定定理。为了突出本节课的教学重点，笔者紧接着设置了一个例题。

学以致用1：

例1.已知RTΔABC中，AB=AC=a,AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角。求证：（1）平面ABD平面⊥BDC,平面ACD平面⊥BDC；（2）∠BAC=60°

这是一个折叠问题，折叠问题能更好地考察学生的空间想象能力，在折叠的过程中，哪些量变化了，哪些量没有发生改变需要每个同学独立解决，对于学有困难的学生，我们刚才的正方形纸片也恰好派上用场，手中的纸一摆，变与不变，立刻呈现，这也是逐步培养学生空间立体感的有效手段!

3 合作探究学定理本质，规范严密加强逻辑推理

遵循学生的认知规律，以问题引导学习，体现数学知识、学生认知的过程性，促使学生主动探究，培养学生的创新意识和应用意识，是数学教学的目标所在。在学习面面垂直的性质定理时，笔者安排了另一个探究学习。

探究学习3：在刚才的命题中，直线AB，平面α，平面β有以下三种关系平面α⊥平面β，构造一个新的命题直线AB⊥平面β，请同学们用书本、课桌和笔搭出模型，积极思考，判断命题的真假。如果真，请证明，如果假，那么再添什么条件才能成立呢？

这组命题，通过互换面面垂直判定中的条件和结论组成新的命题，借以猜想面面垂直的性质，这个问题的探究大胆的放给学生讨论，，让学生以笔为线，以书本和桌面为面，整个位置关系的感知确认以学生分组讨论的方式进行，讨论之后每组派一名代表发言，这样即培养了学生的协作意识，又化解了教学难点。这个环节的设计让学生体会到立体几何的学习生活化，可操作化。学生也在摆放的过程中能进一步巩固所学，强化新知！

通过操作探究摆放得出的面面垂直的性质同样需要严格的证明与三种语言的统一。

为了巩固教学重点和进一步理解难点，笔者设置了下面的练习。

学以致用2：

判断下列命题是否正确。

（1）平面α⊥平面β,则平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）

（2）平面α⊥平面β,α∩β＝l，则垂直于交线l的直线必垂直于平面β（ ）

（3）已知平面α⊥平面β,则过平面α内任意一点作交线的垂线，此垂线必垂直于平面β（ ）

（4）平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面β（ ）

（5）过平面α外一点P有且只有一个平面和平面α垂直（ ）

学以致用3：见课本例题，不再详述。

（1）～（3）是为了考察面面垂直的性质，（4）～（5）是为了考察面面垂直的判定。对于学以致用3，有两个意图，一是为了巩固面面垂直的性质，当然在这个问题的解决过程中，刚才的正方形纸片的对折恰是我们的实物模型，可拿来观察帮助解决问题，同时通过老师的精心设计动画，让学生在惊喜中看到CD的长实际就是长方体的体对角线，对于学生的空间想象和几何直观能力的培养都会有所帮助！

4 教无止境，研无止境

平面与平面垂直是一节传统课，新教材把面面垂直的定义、性质与判定放在一个课时里，所以笔者心里始终觉得内容多任务重，从开始上课就心里始终想着节约时间以便完成教学任务，这种急躁使得课前的“静态设计”与课上的“动态生成”之间产生了小矛盾，在面面垂直的定义学习过程中占用时间稍多，导致后面定理的推导与应用显得落实不是特别扎实。同时，正因为时间上的紧张，对于课上个别学生偶然冒出的思维没有过多的关注，因此在上课中捕捉到的课堂生成资源很少，这与学校提倡的“绿色教学”理念尚不相符。

教无止境，学无止境，研无止境。上完本节课，感觉：教而不研则浅，研而不教则空。数学教学不是枯燥乏味、一成不变的工作，而是一门博大精深、不断创新的学问。如何把一节课教得本质、平易近人又能让学生学得愉快，怎样教给学生“招”最终还能让学生“无招胜有招”，这些都是我们平时应该多琢磨的地方。同时，理论还需要实践来提升，教师的本质工作是教书，教会学生学习才是一名称职的老师。现行的课程改革在继续进行，在不断探索的过程中，我们还需要不断思考不断交流，共同提高！

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社,2003.

[2]章建跃.“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动总结暨大会报告理解数学理解学生 理解教学[J].中国数学教育,2010(24):3-7，15.

633.6

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2096-4110（2017）03（b）-0096-02