例谈圆锥曲线问题的解题策略

例谈圆锥曲线问题的解题策略

☉江苏省灌云高级中学 孙红

纵观近几年全国各省市高考数学试题不难看出，圆锥曲线综合问题占有一定的比例，而且稳中有变.由于这类问题表现为已知条件较多、题干较长，通常要涉及到几种曲线的组合，有时还要与平面向量、函数、数列、不等式等知识交汇，因此，不少学生感到难以下手.鉴于此，笔者结合平时的教学实践，特别将个人的一些想法整理成文，供大家参考.

一、设而不求

设而不求是解析几何的最常用的技巧之一，其重要性不言而喻.设而不求作为一种有效的解题手段，有时会达到意想不到的效果.

例1设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于N，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明：|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

解：（1）证明：因为|AD|=|AC|，EB//AC，所以∠ACD=∠ADC，

从而|EB|=|ED|，所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=|AD|=4.

故|EA|+|EB|为定值4.

由题意可知，A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，

（2）当直线l与x轴不垂直时，可设直线l的方程为

y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

从而当直线l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围是（12，8）.

当直线l与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|= 8，四边形MPNQ的面积为12.

点评：本题第（1）问依据圆的几何性质，利用数形结合，证明|EA|+|EB|为定值.解决本题第（2）问的关键是确立目标函数即四边形MPNQ的面积，进而求其取值范围.在解决直线与圆锥曲线相交问题时，通常应考虑到运用韦达定理，这样可简化运算过程.本题主要考查定值问题、轨迹方程的求解、直线与椭圆的位置关系、四边形面积的取值范围等基础知识.同时也考查函数与方程、数形结合、化归与转化以及分类讨论等重要数学思想.

二、向量法

圆锥曲线最值或取值范围问题的求解策略是，首先应依据题意建立目标函数，再利用换元法、配方法、均值法、向量法、导数法等有关方法，进而确定目标函数的最值或取值范围.下面以向量法为例说明.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（点B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围.

（2）设直线l的斜率为k（k≠0），直线l的方程为y= k（x-2），设B（x0，y0），

由（1）可知，F（1，0），设H（0，yH），

设M（xM，yM），由

在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，

即（xM-2），整理可得xM≥1，即≥1，解之，得

点评：本题第（2）问将几何条件转化为坐标关系，进而得出关于直线l的斜率的不等式，问题即可获解.同时也考查函数与方程思想、数形结合思想以及化归与转化思想.

三、“设直线”解决

（1）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）；

（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

解：（1）设直线y=kx+1被椭圆C截得的线段为AP，

（2）假设以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆C有4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1＞0，k2＞0，k1≠k2，

由k1＞0，k2＞0，k1≠k2，可得

由于（*）式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1+ a2（a2-2）＞1，

所以a2＞2，即a＞.

从而任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1＜a≤

点评：解决本题第（2）问的关键就在于求解a的取值范围.首先假设圆与椭圆有四个公共点，然后利用|AP|= |AQ|将几何问题代数化，求出a的取值范围，进而求得椭圆离心率的取值范围.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、不等式的求解方法、椭圆离心率的定义等基础知识，同时也考查函数与方程思想、数形结合思想以及化归与转化思想.

四、极限思想

点差法特别适合圆锥曲线中涉及的弦中点问题，但若认为点差法只能解决此类问题，则是定式思维带来的束缚，实际上，点差法还可以利用创新的思维，利用极限思想解决圆锥曲线中的切线问题.

图1

（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a-b.

解：（1）设直线m∥l，且与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M（x0，y0）为AB的中点，P（xP，yP），则km=k.因为A，B在椭圆C上，所以两式相减得如图2，当直线m与直线l无限接近时，直线m的极限状态即为切线l，此时，中点M演变为切点P，所以

图2

（2）略.

点评：此题涉及圆锥曲线的切线问题.高中阶段的传统做法是联立方程组利用判别式等于零，通过极为复杂的运算后得到答案.若能意识到切线是割线的极限位置，通过极限思想，可应用点差法使问题得到圆满的解决.

五、零点式解决

二次函数有三种形式，分别是一般式、顶点式、零点式，其中零点式可以把一般式y=ax2+bx+c（a≠0）表示为y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1，x2为方程ax2+bx+c=0的两根.零点式在优化解析几何运算方面有重要的应用.

例5如图3所示，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形.

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程.

图3

（2）由（1）知，B1（-2，0），B2（2，0）.当直线l垂直于x轴时，显然不成立.

当直线l不垂直于x轴时，可设其方程为y=k（x+2）. P（x1，y1），Q（x2，y2）.

故（1+5k2）x2+20k2x+20k2-20=0.

因为点P，Q在直线y=k（x+2）上，所以y1=k（x1+2），y2= k（x2+2）.

所以（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0.

因为x1，x2是方程x2+5k2（x+2）2-20=0的两根，所以x2+ 5k2（x+2）2-20=（1+5k2）（x-x1）（x-x2），①

①式中令x=2，得22+5k2（2+2）2-20=（1+5k2）（2-x1）·（2-x2），

①式中令x=-2，得（-2）2+5k2（2-2）2-20=（1+5k2）·（-2-x1）（-2-x2），

所以64k2-16=0，即k=±.

点评：本题是一道典型的直线与圆锥曲线的综合解答题，通常的做法是联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理消元解决.结合本题，问题的关键是解决PB2⊥QB2这个条件转换为向量的数量积为零之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂.如何化简（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0是本题的难点.我们只要能把（2-x1）（2-x2）和（x1+2）（x2+2）用k来表示，问题便能得到解决.

总之，对于圆锥曲线综合问题，除了使用我们惯常的思想方法与技巧外，还可通过其他途径使问题得到解决，甚至有时更快捷.这说明，教师在平时的解题教学中，不能故步自封，僵化思维.教师若多研究一些问题，多想一些办法，跳出定式思维，从多个角度分析问题，实现方法的创新.真正活跃学生的思维，提高学生分析问题、解决问题的能力.