解后反思看清结构，变式改编成果扩大——以一道八年级期末模考题为例

☉浙江兰溪市聚仁教育集团育才中学 金弘鑫

解后反思看清结构，变式改编成果扩大
——以一道八年级期末模考题为例

☉浙江兰溪市聚仁教育集团育才中学 金弘鑫

当前教学生态下，各学校在每学期的期末复习总会“空出”3～4周的复习时间，所谓的校级模拟考试也频繁上演，备课组内教师尽其所能从网络获得的很多试题资源进入备考师生视野，如果仅仅满足于获得解答，常常是入宝山而空返，更现实的问题是，很多题目练习过、讲评过，但期末考试时又碰上了，多数学生还是不会.这种尴尬的解题教学情形几乎困扰着每个一线教师.近期我们围绕一道八年级模考题开展了做一题、讲一类、明结构、举一反三的讲评活动，取得较为理想的效果.本文记录这次解题教学的经历，与同行们交流研讨.

一、模考题的思路解析与回顾反思

考题：如图1，△ADB、△BCD都是等边三角形，点E、F分别是AB、AD上两个动点，满足AE=DF.连接BF与DE相交于点G，CH⊥BF，垂足为H，连接CG.若DG=a，BG=b，且a、b满足下列关系：a2+b2=5，ab=2，则GH=_____.

图1

图2

思路解析：首先想到的是“补短”，把分散着的DG、BG“拼接”到一起，如图2，延长GB到M，使BM=DG，连接CM.接下来设法证明△CDG≌△CBM.目前有两组对应边已具备，就是CB=CD，BM=DG，然而证明它们的夹角∠CBM=∠CDG是难点.以下处理这个难点：

由等边三角形，与AE=DF，容易得△ADE≌△DBF，于是可求出∠DGF=60°，∠BGD=120°.于是在四边形CDGB中，对角∠BCD+∠BGD=60°+120°=180°，由四边形的内角和，得另一组对角∠CDG+∠CBG=180°.而∠CBM+∠CBG=180°，于是由“同角的补角相等”可突破难点.

在证得△CDG≌△CBM之后，可得∠DCG=∠BCM，于是∠GCM=∠BCD=60°，所以△GCM是等边三角形，从而根据“三线合一”，CH⊥GB，可得GM=2GH.接下来只要求出GM的长即可，也就是求a+b的值.由a2+b2=5，ab=2，变形组合后易得a+b=3，故GH=

至此，我们实现了上述一道习题的功能性解决，就此结束是入宝山而空返，这道题目还有很多话题值得探讨和深入.

殊途同归：如图3，作CN⊥GD于N点，容易证得△CND≌△CHB，则CN=CH，从而GC平分∠DGB，于是△CNG≌△CHG，可演算出（a+b）.于是只要算出a+b=3，问题获解.

图3

结构认识：以图3为例，我们容易确认很多重要的性质，这就是∠BGE=60°，∠BGD=120°，GC平分∠DGB，∠GCH=∠GCN=30°，2GH=DG+BG，CG=DG+BG，看清上述问题结构之后，就可作出如下变式改编或系列追问.

二、系列变式题组

变式改编题组1：如图4，等边△ABD中，E、F分别在边AB、AD上，且AE=DF，连接DE、BF，设它们相交于G点.

图4

（1）求证：△ADE≌△DFB；

（2）当∠DBF=20°时，求∠BDE的度数；

（3）求∠BGE的度数；

（4）过点E作EH⊥BG于H点，求证EG=2GH.

变式意图：在等边三角形的平台下，以AE=DF作为基础条件，探究一些常见性质，特别分别是BF、DE的夹角一定是60°的发现.

变式题组2：如图5，△ADB、△BCD都是等边三角形（该句也可表述为菱形ABCD中，∠BAD=60°），点E、F分别是AB、AD上两个动点，满足AE=DF.连接BF与DE相交于点G.连接CG.

图5

（1）求∠BGD的度数；

（2）求证GC平分∠DGB；

（3）分析线段DG、BG、CG之间的数量关系，并说明理由；

（4）作CH⊥BG于H点，求证：2GH=DG+BG.

命题意图：上面4问都是上文“考题”的一些求解发现，如果站在外接圆的视角来看待，还可提出如下一些问题：

（5）求证：点B、C、D、G四点共圆.

（6）设△ABD的边长为6，求点G运动路径的长.

命题意图：证四点共圆可以逆向运用“对角互补的四边形四个顶点共圆”进行证明，重在揭示问题的结构；跟进的最后一问中点G就是在△BCD的外接圆上，其圆心角为120°，再求出该外接圆的半径即可.

三、关于解题教学的进一步思考

1.深刻认识问题结构，引导学生反思回顾

对于较难的几何问题，不论是奇异的几何性质还是隐蔽的几何结论，常常都可转化为某一类几何结构，使得思路的生成变得自然、合理，证明的步骤变得简约、优化.而这些都需要教师在备课时深刻认识问题结构，尝试从不同角度贯通思路，寻找更加自然的解题出发点、解题路径，并对比不同思路所对应的数学概念、基本图形，优化不同的解法和解题念头，并对可能的典型错解或错误思考方向进行构思，以便在引导学生反思回顾阶段促进不同的学生表达他们的想法，及时开展评析和引导.如果教者本人还缺少对问题的深入思考和结构认识，则面对有些学生的独特思路，就难免会置之不理，或没有理解学生的解题思想，从而造成误判，或引导不当，或让精彩的课堂生成“被丢弃”.

2.改编变式跟进再练，互动对话教学反馈.

根据教学经验，对于较难的试题，如果只是简单讲评，很多学生表示听懂之后就放手，只要隔一天之后再练习，往往效果并不理想.我们认为，在讲评之后，安排学生针对难题进行变式再练，从不同角度进行训练，这样可以使学生深刻理解.此外，重视变式改编活动，还能增加与学生互动对话的可能与机会，使得课堂生成丰富，教学反馈的形式多样，有时还可看到不同思维风格学生的精彩观点.可见，难题讲评不能只是满足于答案告知，或单一思路的贯通，而要尽可能触类旁通地激活多通道解决问题，并在跟进训练时基于“多元表征”的方式呈现新的设问，让学生对问题的理解更加清晰.

3.高观点认识问题，让学生感悟“非标准”模式.

对于八年级上学期试题来说，虽然应用八年级上册全等、轴对称等知识可以获得问题的解决，但是就理解问题结构来看，教师不能止步于八年级上册知识的理解层面，我们还可站在八年级下册、九年级上册的观点深入思考该题的结构.比如从八年级下册平行四边形的角度来看，上文中的“考题”是含60°的菱形中的一个重要性质；站在九年级四点共圆的角度，又可获得更加深刻的理解，同时可提出一些高观点的理解（如上文中的变式拓展追问）.此外，值得提醒学生的是，当面对一个陌生的图形时，要善于思考这个图形可以看成之前数学概念或基本图形中哪一类型问题，它们的共性是什么，发现只是图形位置发生了变化，即引导学生明辨标准图形与非标准图式之间的异同，这也是加深理解的一个重要途径.

四、写在后面

解题教学是教学研究中的经典话题，因为数学离不开解题，特别是当下仍然非常激烈的应试环境，数学教学常常异化为应试教学，很多义务教育阶段的数学课堂似乎与课外辅导班上的纯粹讲题课堂靠得很近，实在让人尴尬.我们提出解后反思看清结构，通过变式改编成果扩大，也是想为解题教学的课堂增加一些数学探究精神，让解题教学既顾及学生眼前的利益，又能让学生感悟数学的一些精神或价值取向，比如，追求深刻、追求简约、走向一般，等等.

1.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

2.郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（20）.

3.鲍建生，顾冷沅等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1、2、3）.

4.许燕.从解题赏析走向教学研究——以2016年无锡卷第27题为例［J］.中学数学（下），2016（10）.