从“三个理解”视角看“三角形中边的关系”教学

☉安徽六安皋城中学张克玉

从“三个理解”视角看“三角形中边的关系”教学

☉安徽六安皋城中学张克玉

章建跃博士在《数学教学课改的十个论题》中指出：“课改需要循序渐进地持续努力；实践基础上的理论概括是可行之道；理解数学、理解学生、理解教学是三大基石”.“三个理解”的要求也得到一线教师的普遍认可.如何在教学实践中做到“三个理解”，值得我们去思考和探索.本文以“三角形中边的关系”一课内容的教学为例，浅谈自己的实践与思考，旨在交流探讨.

一、教学流程与设计说明

（一）新课引入.

1.呈现生活中与三角形有关的图片（古埃及金字塔、自行车等），引出章课题——三角形中的边角关系、命题与证明.

2.重新认识三角形.

（1）让学生回忆在小学阶段对三角形的描述.

（2）教师用教具演示（三条线段在同一直线上、不封闭等情况），引导学生给三角形下个严格的定义.

（3）引导学生阅读屏幕上的内容，了解三角形有关元素（边、内角、顶点等）及其表示方法.

（4）练习：如图1，D是△ABC中BC边上的一点，连接AD，图中有哪几个三角形？并说出△ABD的内角与边.

图1

（5）由三角形的有关元素引出课题：13.1三角形中的边角关系（1）——三角形中边的关系.

（二）新课讲解.

1.三角形两边之间的关系（按边分类）.

环节1：让学生列举三角形两边之间的数量关系，引出不等边三角形、等腰三角形、等边三角形的名称.

环节2：师生共同回顾不等边三角形、等腰三角形、等边三角形的有关概念.

环节3：引导学生对三角形按边进行分类.

设计说明：通过选取生活中有关物体的图片，说明三角形在生产和生活中的广泛应用，以此说明学习三角形有关内容的必要性，使得章课题的引出自然、顺畅.学生在小学阶段已学习过三角形的有关内容，了解了三角形有关元素（边、角等）及等腰三角形、等边三角形的名称，且学生对这些概念的理解并不感到困难，因此采用学生自主阅读的方式完成有关内容的回顾与学习.这样处理也是建立在学生认知水平与“数学现实”的基础上.

2.三角形三边关系探究（教学片断简录）.

环节1：

师：如图2，有A、B、C三个地方，每两地之间有一条公路相连.

图2

问：（1）从A到B处有哪几条线路？哪条线路更短？为什么？

生1：有两条线段：A→B；A→C→B.由A到B的线路更短，因为“两点之间，线段最短”.

师：很好！上述结论能否用数学式子进行表示？

（教师视情况作必要的引导：A→B，即为线段AB的长，A→C→B即为线段AC、CB的长度之和）

生2：可得到AC+CB＞AB.

师：类似地，从A到C处呢？我们可以得到什么样的结论？

生3：AB+BC＞AC.

师：从B到C处呢？我们又可以得到什么样的结论？

生4：BA+AC＞BC.

师：以上我们得到了三组不等关系.结合图形，能否将三组不等关系所反映的数学事实用一句话进行描述？

生5：三角形的两边之和大于第三边.

师：很好！其实上述的每一个不等式都可以将其描述成：“三角形某两边之和大于第三边”.三组不等关系所反映的数学事实，用这一句话来描述还不够全面，因此还需要略加修改.

最后通过教师的引导，师生共同得出：三角形任意两边之和大于第三边.

环节2：

师：将上述三组不等式变形：AC＞AB-CB，BC＞AC-AB，BA＞BC-AC，你又能得出什么结论？

以此引导学生得出：三角形中任何两边的差小于第三边.

师：由AC+CB＞AB可以得到AC＞AB-CB①，由AB+ AC＞BC还可以得到AC＞BC-AB②.由①和②又能说明什么问题？至此，能否将刚才得到的结论稍作修改，使之更准确？

以此引导学生得出：三角形中任何两边差的绝对值小于第三边.

设计说明：笔者认为由“两点之间线段最短”易得到“三角形两边之和大于第三边”这个结论，因此在此未设计探究活动，而是把重心放在如何引导学生实现知识的迁移.在此过程中，也有助于培养学生两种语言（文字语言、符号语言）的转换及抽象与概括能力.

环节3：应用举例.

例等腰三角形中，周长为18cm.

（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长；

（2）如果一边长是4cm，求另两边长.

预设：（1）学生先做，教师巡视，有代表性地（如选取没有分类讨论的或没有进行情况取舍的）选取若干名学生回答，并让其他学生评析；（2）教师略作分析后讲解并呈现解题过程.

环节4：课堂练习.

以长4cm的线段为底构成一个等腰三角形，这个三角形的腰长有什么限制？

3.能构成三角形的三条线段的长度应满足条件的探究.

环节1：

师：由三角形→三条边应满足的关系：三角形任意两边之和大于第三边；反之，三条线段应满足怎样的关系→能组成三角形？

引导学生猜想：三条线段，如果其中任何两条线段之和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形.

预设：因为学生还没有学习“原命题”“逆命题”的概念，因此对“反之”未必能理解，因而还需要教师通过如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”的关系给予类比引导.

环节2：

几何画板动态演示进行验证，以此得出结论：如果三条线段，其中任何两条线段之和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形.

设计说明：教材中并无此结论，但“三角形两边之和大于第三边”当属性质定理.三条线段不能组成三角形，可以认为是依据其逆否命题，但三条线段能组成三角形应属于应用其逆命题（判定定理），这其中存在着逻辑问题.因此，笔者认为有必要稍作交代，但限于本节课的教学目标、时间及学生的知识储备，难以让学生发现此结论，也无法给予严格证明，因而只能引导学生猜想并借助几何画板进行验证.

环节3：

（练习）判断：用下列长度的三条线段能否组成一个三角形？

（1）1cm，2cm，3cm；

（2）2cm，4cm，3cm；

（3）4cm，11cm，5cm；

（4）5cm，6cm，10cm.

预设：（1）让学生先做，并回答是如何判断的，突出结论中的“任何”二字的含义；

（2）通过询问有无更简便的判断方法，引导学生得出：“三条线段，如两条短线段之和大于最长线段，那么这三条线段能组成三角形”的结论，以此深化对结论的理解.

（课堂小结，作业布置等环节略）

二、教学思考与感悟

1.理解数学.

《课程标准》指出：“实行启发式教学有助于落实学生学习中的主体地位”“创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作与交流等都能有效地启发学生的思考”，因而在课堂上，常需要我们设计探究活动，让学生在经历知识的形成过程中，积累数学活动的经验，感悟思想与方法.

在平时的听课及期刊发表的案例中，常能看到在学习本节课内容时，有教师设计如下的探究：课前让学生准备若干根长度明确的小棒，课堂上让学生任意取出3根小棒首尾相接搭三角形，看能搭成几个三角形，然后让学生根据能搭成三角形的小棒长度情况，说出构成三角形的三边必须满足的条件.笔者认为设计这样的探究活动存在着逻辑问题.因为通过由搭成三角形的小棒长度应该满足的条件，得出的数学命题应该是“三条线段，如果其中任意两条线段之和大于第三条，那么这三条线段能组成三角形”，其与“三角形任意两边之和大于第三边”之间当属于原命题与逆命题的关系.

在本节课后的习题，许多版本教材是判断“下列长度的三条线段能否组成三角形”（具体数值略），许多老师也是在学生学习了“三角形任意两边之和大于第三边”的结论后，把这样的问题作为巩固性练习，笔者认为这是不妥当的.对于三条线段不能组成三角形，可以用“三角形任意两边之和大于第三边”的逆否命题来解释，但三条线段能组成三角形，却要用其逆命题才能给予解释.课本中没有出现其逆命题，因此还需要教师通过适当的方式说明.

数学是一门逻辑性、严谨性很强的学科.“理解数学”要求我们在了解知识产生背景的前提下，把握有关定理、法则的逻辑关系.

2.理解学生.

其实，学生在小学阶段学习过“三角形两边之和大于第三边”的结论.但鉴于学生当时的思维特点、认知水平和知识储备，对结论的生成一般并不苛求严谨，因此，在小学阶段常采用摆小木棒的方式，并通过引导学生“计算其中两边之和”完成对其的探索，这样的处理符合小学生的“数学现实”.但在初中阶段，对知识生成过程的严谨性、逻辑性提出了较高的要求，因而小学阶段的教学方法并不完全适用于初中的教学要求，因此还需根据初中学段的教学要求，结合学生的“数学现实”和数学活动经验，设计合适的教学活动方案.

对三角形的三边关系，在初中阶段不能通过“摆小棒”的方式进行探究（因为存在逻辑问题），能否通过如让学生“先画三角形，再测量各边长”等方法进行探究？笔者认为无论设计什么样的探究活动，我们都要首先思考这样的问题：学生能否想到要对三角形的某两边进行加减（而不是进行乘除或者进行其他的运算）？在学生不了解此结论的情况下，通过得到的若干个三角形的三边长，能否自主发现“三角形两边之和大于第三边”这个结论？在这个问题中，学生的“最近发展区”在哪儿？教师又该如何引导？如果简单作“请同学们计算其中两边之和”的类似引导，这里既存在为什么要计算两边之和的问题，也会因引导的指向性过于明确，而使探究活动失去了应有的价值（变成了验证活动）.因此，设置“先画三角形，再测量各边长”等形式的探究，会因探究的内容与要得到的结论差距较大，而超越初中学段学生的认知水平.

理解学生就要在理解学生现实（生活现实、数学现实及其他学科现实）的同时，理解学生的认知水平与认知规律.

3.理解教学.

理解数学、理解学生是理解教学的基本前提.教材是我们实施课堂教学的重要抓手，因此理解教学要做到理解教材.

教材的编写除了有编写者自己的思考，还受到许多因素制约，如教材必须简明.教材的简明既是为了方便学生的阅读，也是为教师“留白”，从而让教师有更大的探索空间；教材编写还受篇幅甚至知识点的总个数等方面的要求与限制，因此教材未必能做到面面俱到，这就需要我们理清相关问题的逻辑关系，从而在理解教材的基础上，实现“用教材教”的做法.因此，在本节课的教学中，笔者通过增加一个猜想、验证环节，以避免出现上述逻辑问题.与一般版本教材不同，北师大版教材的课后习题是“下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论”（具体数值略），这应该能唤起我们对本节教材中有关问题的思考.

在本节课中，对于“三角形任意两边之和大于第三边”这个结论，是否一定要设计探究活动？《课程标准》指出“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解”.学生在七年级已掌握了“两点之间，线段最短”的基本事实，而“三角形的任何两边之和大于第三边”等结论可以认为是其“延伸点”，学生对结论的理解也并不感到困难，因此笔者认为没有必要将本节课的内容与之前的学习相割裂，因此，此处可以不设计对结论的探究活动，而将重心转移到如何引导学生将“两点之间，线段最短”的基本事实，通过延伸得出三角形三边关系的新结论，并思考在延伸的过程中如何体现“任何”二字的含义，从而让学生在结论的生成过程中，感悟数学知识、方法间的普遍联系.

理解教学，需要我们在理解教材的基础上，能抓住有关问题的数学本质，准确地把握其“生长点”与“延伸点”.在此基础上设计合适、有效的教学活动，让学生经历知识的形成过程.