看课堂教学数学核心素养的落实——观浙江省初中优质课评比有感

☉浙江台州市白云中学 张安军

看课堂教学数学核心素养的落实
——观浙江省初中优质课评比有感

☉浙江台州市白云中学 张安军

2016年10月下旬，浙江省初中数学优质课教学评比活动在仙居二中举行.来自全省的11个地级市通过层层选拔的12位选手参与本次比赛，教学内容涉及数与代数、图形与几何、统计与概率三个领域，课题分别为“算术平方根”“勾股定理的探索”“平均数”，使用的教材是人教版义务教育数学教科书.本次观摩活动的主题是让数学核心素养有效地扎根于课堂教学中.作为数学教育的实践者，特别是一线老师，更关心的是何谓“数学的核心素养”，如何发展学生的数学核心素养，课堂教学又如何实施.王尚志、史宁中等专家依据教育部的研制计划，结合数学学科的特点，对数学核心素养给出了界定：数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现，是在数学学习过程中逐步形成的；数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析共六个方面［1］.具体在初中阶段，马云鹏先生认为初中数学核心素养主要包括《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出的10个核心概念，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识［2］.本文结合这次评比，谈参赛的选手在课堂教学中如何培养和落实数学的核心素养.

一、渗透数学基本思想，促进核心素养的形成

日本数学教育家米山国藏有一段叙述，流传很广：学生在学校学习的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后很快就忘掉了；然而，不管他们从事什么工作，那种深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益.这里所说的学校教育忘掉后所留下的指的就是数学的思想和方法.数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.史宁中教授认为“数学核心素养”就是数学基本思想的具体表现，具体地，即会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界.那么数学的眼光是什么呢？就是抽象、一般性地看问题.数学的思维是什么呢？就是逻辑推理.数学的语言是什么呢？本质就是模型［3］.这次活动中各位执教教师精心为学生安排有意义的数学活动环节，通过独立思考、合作交流逐步感悟数学思想方法.

［案例1］

问题1：学校要举行美术作品比赛，小明想在一块边长为5dm的正方形画布上画上自己得意的作品“仙居秋意图”参加比赛，请问：这块画布的面积为多少？

问题2：若已知这块正方形画布的面积为25dm2，那么画布的边长为多少？

类似的正方形的面积如下，请填表：

正方形的面积/dm21916364 25正方形的边长/dm

师：（）2=1；（）2=9；（）2=16；（）2=36；（观察这5个式子，有什么共同点？

生1：都是已知正方形的面积，求正方形的边长.

师：这位同学从形的角度分析这5个式子的共同特点，还有吗？

生2：都是已知一个正数的平方，求这个正数.

师：刚才分析了问题2的共性，那么问题1与问题2有什么区别吗？

生（部分）：问题1是已知边长求面积；问题2是已知面积求边长.

生3：问题1是平方的运算，问题2是问题1的相反运算.

师：对，从运算角度看，问题2是问题1的相反运算，是一种新的运算，也是我们这一章要研究的一种运算.

师：像上述问题2中这样的式子还可以写出无数个，你能对上述式子一般化吗？

师：根据以往的学习经验，所求的用什么表示？已知又用什么表示？

生4：所设求的边长为x，面积为a，则可以表示成：x2= a.

基于用数学的眼光看待现实生活中两类问题（一类是已知正方形的边长，求正方的面积；另一类是已知正方的面积，求边长），启发学生比较这两类问题的区别，从形和数的视角丰富学生的认识，发展学生的数感和符号意识；同时让学生用数学语言概括这样一类问题：已知一个正数的平方，求这个正数，它和平方运算互逆，是一种新的运算；也可以概括为方程，即x2=a.用不同的模型描述新背景中的问题，发展学生的模型思想，加强数学和外部的联系.这位教师的概念教学基于学生已有的认知，从中提出问题，从感性到理性，从具体到抽象，从特殊到一般，而不是“一个定义，三项注意”，挖掘概念中蕴含的数学思想，发展学生的抽象和概括能力，以及从特殊到一般等数学思想.如果教师在教概念时，教会孩子学会抽象；教数学证明时，让孩子学会推理；教应用题时，教孩子学会模型，一以贯之，孩子们慢慢就感悟出来，通过自己的思考变成自己的东西，变成一种习惯，一个人的素养就养成了，习惯也就养成了，数学核心素养的培养就是“水到渠成”的事了.

二、整体把握数学课程，促进数学核心素养的形成

正如章建跃先生所言：“当前数学教学存在的主要问题仍然是‘碎片化的教学’，做题目成为一切，充其量只是培养会做题目的机器，从数学育人的出发点和归宿来看，数学教学应注重思维教学，培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，这是根本，实现这一根本的途径，以数学内容整体性为载体，系统思维为目标，单元教学为途径.”［4］基于数学核心素养的数学教学，数学课程是一个有机整体，要整体理解数学课程的性质与理念，整体掌握数学课程目标，特别需要整体感悟数学核心素养，整体认识数学课程内容结构—主线—主题—关键概念、定理、模型、思想方法、应用，在设计教学时要有宏观的数学视野，整体的框架设计与实施教学，不要迷恋解题上的一招一式，要注重数学中的通性通法.发挥一般观念的引领作用，当学生独立面对一个数学对象时，学会如何研究一个数学对象，研究内容、思路和方法是什么.在学法上一以贯之有系统、整体地进行指导，让学生感悟一个数学对象的“基本套路”是什么.在这次教学中，赛课的选手不仅在知识结构和课程结构上进行整体把握，而且在学法上，学生在研究数学对象的过程与方法得到基本训练.

［案例2］

师：前面我们学习了三角形等相关知识，那么三角形有哪些性质呢？

生1：三角形三个内角和为180°.

师：很好，这位同学从三角形角的元素回顾了三角形的性质.还有不同的补充吗？

生2：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

师：这两位同学从构成三角形的主要元素边和角回顾了天下所有三角形所具有的性质.

师：若把三角形边的数量进行特殊化，那么就得到了等腰三角形.等腰三角形又有哪些性质？

生3：等腰三角形两底角相等.

生4：等腰三形“三线合一”.

师：这里的“三线”指的是哪些线？

生4：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.

师：这位同学掌握知识全面而准确.

师：若把三角形边的位置进行特殊化，一边垂直于另一边，那么就得到了直角三角形.直角三角形会有哪些性质？

这位教师把直角三角形置于三角形的背景中.等腰三角形是边的大小数量关系特殊化，直角三角形是边的位置关系特殊化.梳理三角形和等腰三角形、直角三角形之间的关系，明确共性和特殊性，提出直角三角形要研究的对象.教材的知识结构是三角形→等腰三角形→直角三角形，体现了从整体到局部，从一般到特殊，这位教师从课程的整体结构上、知识的内在逻辑上提出问题，引导学生面对一个几何对象，从构成的主要元素和相关元素进行探索，同时这位教师在后继的教学中加强了如何思考，如何发现勾股定理的引导，使学生知道研究思路是什么，怎样研究，这样学生在探索勾股定理的过程与方法中得到了基本训练，如果持之以恒，学生的思维能力自然就能提高.

三、加强数学文化的熏陶，促进核心素养的形成

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中.为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用、以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美.”［5］数学文化从宏观视角探讨数学学科内在的本质与发展变化规律，在一定程度上，强化数学文化的熏陶对于学生数学核心素养的形成具有重要价值.数学文化不仅包括数学显性知识及其背后的数学思想方法，也包含学生对数学的情感、态度等隐性的东西.当数学由数学的精神、知识、思想、方法共同构成时，从数学知识的获取到数学方法的提炼，从数学思想的感悟到数学精神的弘扬，数学文化的这些价值将丰富数学教育的内涵，促进学生数学核心素养的形成［6］.这次赛课的选手善于挖掘教材中隐性的数学文化，适时巧妙地融入课堂，滋润学生的心田.

［案例3］

（在勾股定理小结时，以时间的数轴回顾勾股定理的历史，教师用PPT快速播放）

师：回顾过去，早在大约公元前3000年左右，古巴比伦人就开始使用一些最基本的勾股数组，例如3、4、5.大约公元前2500年，古埃及人就开始使用勾股定理的原理测量金字塔和土地.大约公元前2000年，大禹治水时曾用勾股定理的原理计算过水的落差，他也成为第一个史书记载的与勾股定理有关的人.大约在公元前1000年，《周髀算经》记载在西周开国时商高与周公讨论“勾三、股四、弦五”.在公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯就公开发表了这一规律的证明……

师：放眼现在，在探索勾股定理的过程中，你有什么感悟和欣赏.

生1：利用面积恒等法证明勾股定理.

生2：勾股定理体现数和形完美的结合.

生3：我欣赏到了赵爽弦图的端庄、典雅之美.

生4：我欣赏到了勾股树的美仑美奂，形状虽变但面积不变.

师：放眼未来，从直角三角形的各边向外作正方形能否推广到从各边向外作等边三角形（正n边形）、半圆等吗？课后同学们继续探索.

师：最后，老师以一首小词《如梦令》结束我们的课堂：

勾三股四弦五，仙居来晤.

毕达哥拉斯，赵爽刘徽Garfield.

探索，探索，古今趋之若鹜.

一十二班学之，齐把数学来悟.

Rt三角形中，角边神奇应呼.

数形，数形，完美结合就行.

在学生探索、验证和独立证明勾股定理后，教师徐徐展开勾股定理的历史画卷，四大文明古国都独自发现勾股定理，勾股定理不仅是地球文明中重要的定理，而且是判别星际是否存在文明的重要标志之一.华罗庚多年前的设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果外星人是“文明人”，也必定认识这种图形.古今中外，上至帝王，下至平民，对勾股定理都怀着浓厚的兴趣.整节课重温了数学家的探索与发明，模拟数学家的心路历程，让学生沉迷于思维的审美之中，体验数学发现与再创造的乐趣，享受了发现数学之美、欣赏数学之美的乐趣，体现数学文化的育人价值.

四、精心创设问题情境或系列数学活动，促进核心素养的形成

核心素养是在复杂的情境中解决问题的能力和品质，是个体在情境的持续互动中，通过不断解决问题而形成的，同样核心素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而逐步实现的，情境化是数学知识转化为数学素养的重要途径.情境有数学内部本身的情境，也有数学外部的情境，如生活情境、各学科的情境等，在各个情境或活动中，让学生自己发现问题，提出问题，在各种活动中经历重复操作，积累数学活动经验，在反思、提升中形成数学核心素养.

［案例4］

师：仙居素有神仙之居之称，有一流的山、一流的水和一流的空气.为了把仙居的风景推向国外，仙居县团委向各学校招聘一批志愿者.仙居二中八年级对两名年级优胜者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所示：

参赛者听说读写甲85788573乙75808283

问题1：你觉得应该选谁？为什么？

生1：应该选甲，因为甲的总成绩为321，乙的总成绩为320.

师：还有不同的想法吗？

生2：应该选甲，因为甲的平均成绩为80.25，乙的平均成绩为80.

师：你是如何计算这两位同学的平均成绩的？

师：如果给出的n个数据为x1，x2，x3，…，xn，这组数据的平均数用表示，那么如何求

问题2：若选一位同学参加演讲比赛，应侧重于哪些方面的成绩？

生3：应侧重于说这方面的能力.

师：用算术平均数解决合理吗？为什么？

生（众）：不合理，体现不出说的重要性.

师：如何在计算平均成绩时体现“说”的“重要性”？

生4：在计算平均成绩时，加强说的比重.

师：在这一问题中，请你给出各项合适的比重.

生4：比如，说的比重为40%，其他各项均为20%.

师：同学们，这位同学给出了各项的比重，如何计算这两位参赛者的平均成绩？

生（众）：甲的平均成绩：85×20%+78×40%+85×20%+ 73×20%=79.8；

乙的平均成绩：75×20%+80×40%+82×20%+83×20% =80.

师：通过给出不同的比重，乙的平均成绩反而比甲的平均成绩高，可见对一个数据赋予不同的比重，会改变它们相对的平均数，把赋予这个数据的不同重要程度称为“权”.

师：若选一位同学参加辩论赛，应侧重于哪些方面的成绩？请各小组针对这个问题进行讨论.

师：如何体现这个权，即“重要程度”呢？

（各小组给出了不同的比重，然后算出不同的平均数，下略）

师：上述各个数据的权不同，这种计算平均数的方法能否推广到一般？

生（众）：能.

师：若给出的n个数据x1、x2、x3、…、xn的权分别为w1、w2、…、wn，这n个数据的平均数如何计算？它和算术平均数有何区别？（然后从特殊到一般，给出加权平均数的公式，并比较它们之间的关系，最后又回到课的开始提出的问题，下略）

上述这位教师在课前几分钟播放仙居山水灵秀的美丽风光，配上悦耳的音乐、动人心弦的解读，学生的自豪感油然而生，也自然拉近了师生心理的距离；在课堂上又利用身边的资源提出问题，由于问题的背景亲切而熟悉，问题的设置基于学生已有的认知，层层深入，为对权的感悟提供自然合理的背景，学生从初步感悟权的作用，理解加权平均数，到独立适当赋权，用加权平均数分析数据集中趋势，逐步深入，深度思考.由于课堂上为学生创设合适的情境，感兴趣的问题或数学活动，激发学生的思考，学生在各个活动中深入体验，合作讨论，逐步形成数学观念、思维方式和探究能力，促进数学知识和技能的结构化，学生的理性思维在解决各种问题情境中逐步提高.

其实这次优质课评比活动中还有很多很好的课堂案例，由于篇幅限制，仅例举几则，当然在评比的过程中还有值得商榷的地方，如“平均数”一节课中是先有权，再分析数据，还是为了得到数据分析的特定结果来确定权重？如“为了使甲、乙两人的平均成绩相等，怎样确定权”；权是随意确定的还是由于背景的需要确定的？又如在“勾股定理探索”一课中，目前的做法是从实际问题出发，利用历史故事，还有没有其他方法？是否可以从学生的认知基础分析：三角形边、角的定性关系，全等三角形，“实数”中关于正方形边长与对角线的关系，等等？

上述仅从几个途径培养数学的核心素养，其实培养数学核心素养的途径还有很多，但不管怎样，在课堂教学中要渗透“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析”等，当然一节课不会覆盖所有的核心素养，数学核心素养的培养也不是一蹴而就的，而是潜移默化、逐渐渗透的.这就要求教师在数学知识和技能教学的同时，有意识地体现和培养学生的核心素养.

1.华志远.数学核心素养的内涵与构成［J］.教育研究与评论·中学教育教学，2016（5）.

2.马云鹏.关于数学核心素养的几个问题［J］.课程·教材·教法，2015（9）.

3.廖辉辉，史宁中.数学基本思想、核心素养的内涵及教学［J］.福建教育，2016（7-8）.

4.章建跃.本原性问题与数学素养［J］.中小学数学（高中版），2015（5）.

5．中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

6．朱立明.基于深化课程改革的数学核心素养体系构建［J］，2016（5）.