全卷命制的一种追求：简约深刻，前后呼应——以八年级（上）期末卷两道把关题为例

☉江苏江阴市敔山湾实验学校 杨勇

全卷命制的一种追求：简约深刻，前后呼应
——以八年级（上）期末卷两道把关题为例

☉江苏江阴市敔山湾实验学校 杨勇

命题基本功越来越得到数学教研同行的关注，因为关注命题能力的修炼，常常能加深对数学知识的深刻理解，对学情的理解，对教学的驾驭.而命题研究中不仅有某一道试题的命题改编或拓展，更有全卷命题中的艺术，全卷运算量的布点控制，全卷难易题的设计（如一波三折），全卷亮点题的摆放，全卷数学思想方法的兼顾考查，全卷图形位置的排版，是否匀称美观有艺术感，等等，都是命题人需要苦心经营的.近期我们关注到南通市通州区八年级上学期期末考卷在填空把关题、解答把关题处设计了答案形式上的前后呼应，心生感叹，整理成文，跟进赏析，供分享.

一、试题重现及思路突破

考题1：（八上期末卷，第18题）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为______.

图1

思路简述：首先想到运用勾股定理和面积法迅速求出AB=3，CE=，进一步在Rt△ACE中，由勾股定理可得AE=1，于是BE=2；由两次翻折可确认∠ECF=45°，在Rt△CEF中，EF=EC=；所以BF=2-，即B′F=2-

另解说明：连接DF，可证出△B′DF∽△BAC，利用相似比B′F∶BC=B′D∶AB，可求出B′F的长.

考题2：（八上期末卷，第28题）如图2，点A（1，1）、B（2，0），点C是x轴的负半轴上一点，连接AC，作AD⊥AC交y轴于点D.

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：OC2+OD2=2AD2；

（3）若DO平分∠ADC，求点D的坐标.

图2

图3

思路简述：（1）如图3，作AH⊥x轴于H.

由A（1，1），可得OH=AH=1.结合B（2，0），所以BH= OH=AH=1.在Rt△AHB中，∠ABH=∠HAB=45°.

（2）如图4，连接OA.

由AH⊥OB，OH=BH，可得OA=AB，∠AOB=∠ABO= 45°，∠OAB=90°，∠DOA=45°，所以∠DOA=∠CBA.由∠DAC=∠OAB=90°，得∠DAO=∠CAB.则△DOA≌△CBA（ASA），所以AC=AD.由AD⊥AC，根据勾股定理AD2+AC2=DC2，则DC2=2AD2.在Rt△DOC中，OC2+OD2= 2AD2.

图4

图5

（3）首先是解读强化条件“DO平分∠ADC”，结合∠ADC=45°，可得∠ODC=∠ADO=22.5°.又因为∠AOB=∠AOD=45°，所以∠DAO=180°-22.5°-45°=112.5°，所以∠CAO=∠OAD-∠CAD=22.5°，又∠AOB=∠ACO+∠CAO=45°，所以∠ACO=∠CAO=22.5°，于是得到一个重要的发现：OC=OA.这样可以得出OA=AB=，所以OC=，CB=2+，结合（2）中△DOA≌△CBA，有OD=CB=2+.即点D的坐标为（0，2+

解后反思：延长BA交y轴于E点，可以发现一个大的等腰直角三角形.△BOE中，OB=OE=2.再作AF⊥y轴于F点，可得一个正方形AFOH.于是AF=OF=OH=AH=1.结合OD平分∠ADC，可得∠ADE=22.5°，于是∠DAE=22.5°.所以DE=AE=AB=.这样OD=2+

二、关于全卷命制的一些思考

1.控制题量、阅读量，追求试题的简洁呈现.

当前各级数学考试一个显著的问题是题量大、时间紧.张奠宙教授在20年前就曾呼吁各级数学命题尽可能减题量、延长考试时间，然而从中考来看，数学试卷题数在28题左右的仍然是主流，数学整卷阅读量也偏大，仅以字符数为例，单卷在3000字以下的试卷是很少的，多数中考卷的阅读量字符数都达到或超过4000字.在上面给出的最后一道全卷把关题，我们注意到表述简洁、思考深刻，又引导学生关注了特殊三角形，考查学生构造、发现特殊图形的意识与能力.

2.把关题解法多样，满足不同思维风格的学生.

每份考卷，为了区分不同层次学生，特别是鼓励优秀学生向上挑战，激发优秀学生的学习兴趣，需要有必要的较难的把关题，而为了满足不同思维风格的学生解题的特点，上文中提供的两道把关题的思路方法都不唯一，可以从不同的角度出发、贯通思路、实现问题解决.这对于全卷命制有很大的启发，我们常常看到有些较难试题，入口偏窄，思路单一，如果学生不能顺利进入初始问题的解决，会影响后续第（2）（3）问的求解，从而使得一道大题的考查与评价功能大打折扣.

3.注意前后呼应，让数学题或解答关联互动.

一道优秀试题常常是各个小问之间的关联互动，上下启示与呼应，这在上文中的考题2下面的3个小问得到了体现，第（1）问求45°启示着第（2）问要构造和发现等腰直角三角形，而第（3）问可在之前的全等的基础上将OD转化为BC的长；或者如我们在回顾“深层结构”时提到的思路，基于等腰直角三角形的念头，构图、转化.值得赞叹的是，该卷同时安排这样两道把关题作为全卷填空、解答的最后一题，它们的答案分别是这是一种巧合亦或是苦心预设呢？我们更倾向于后者.

作为一种积极的实践跟进，下面展示近期笔者改编的一道考题，也追求了不同小问之间的关联与对应.

考题3：（改编自南通中考卷，原题是一道填空题）如图6，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数x＞0）的图像上，斜边OA1、A1A2都在x轴上.

（1）求点P1的坐标；

（2）求点A1的坐标；

（3）求点P2的坐标；

（4）求点A2的坐标；

图6

图7

命题意图：原题是求第（4）问，我们增设了前面3个铺垫式问题，促进学生自主发现第（4）问的解答；而第（5）问的结构如图7，如果注意到△A1P1O的面积就是4，而A1P2∥OP1，此时P2就是符合要求的一个点Q，因为△OP1Q1与△OP1A1是同底等高的三角形；类似地，延长A1P1交y轴于B点，则△A1OB、△OBP1都是等腰直角三角形，且△OBP1的面积也是4，于是过点B作BQ2∥OP1交曲线于Q2，Q2为所求，只要联立直线BQ2的解析式与曲线的解析式即可确定点Q2的坐标；有趣的是点Q1、Q2的坐标也具有横纵坐标“置换”的对应关系.

三、写在后面

全卷命制是一项高度专业的教学研究领域，值得每个命题爱好者深入修炼和努力精进.上文只是由通州区八上期末卷引发的一些思考，抛砖引玉，期待更多同行关注“全卷命制”这一话题.

1.鲍建生，顾冷沅等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1、2、3）.

2.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

3.杨卫东.客从何处来：一道几何把关题的命制历程［J］.中学数学（下），2016（8）.

4.吴忠妙.一道考题的思路、难点与教学设计［J］.中学数学（下），2016（9）.