逐步深入，在多维感悟中建模

【摘要】建立和求解模型的过程有助于学生初步形成模型思想，提高学生的数学学习兴趣和应用意识，对他们的数学学习至关重要。由于低年级学生受自身年龄特征、认知原点和思维特点的制约，教师教学时可以从创设情境、动手操作入手，让学生在逐步深入的活动中多维感悟、逐步明晰并内化模型思想，从而有效地促进他们思维的发展，提升其数学核心素养。

【关键词】逐步深入；多维感悟；建模；有余数的除法

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）09-0059-03

【作者简介】迮恒良，江苏省高邮实验小学（江苏高邮，225600）教务处副主任，高级教师，高邮市优秀教育工作者，高邮市教育科研先进个人，扬州市数学学科带头人。

新课标明确指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高他们的数学学习兴趣和应用意识。模型思想对学生的数学学习至关重要，是中小学数学教学中必须渗透的数学思想之一。笔者曾执教苏教版二下《有余数的除法》，在教学中，笔者以引导学生探索并发现“余数和除数的关系”为载体，逐步渗透数学模型思想，在市级小学数学优质课比赛中获得了好评，现分享如下：

片段一：创设情境，在分类中初识模型

1.创设情境，巧分金箍棒。

师：孙悟空有一件神奇的宝贝——金箍棒，你们想要吗？现在孙悟空变出10根金箍棒，打算分给小朋友们。如果你是孙悟空，打算每人分几根金箍棒？

生1：我想每人分2根。

师：可以分给几个人？怎样列式？

生1：可以分给5个人，用10÷2=5（人）。

师：还可以怎么分？如何列式？

生2：还可以每人分5根，用10÷5=2（人）。

师：除了这两种方法，还可以每人分几根？能分几个人呢？

生3：还可以每人分3根，可以分给3个人，最后还多1根。

师：是这样吗？自己动手，用小棒摆一摆。

教师指名学生到黑板上来摆一摆。

师：如果每人分3根，剩下的1根还够分给一个人吗？

生：这1根不够分了。

师：还可以每人分几根？

生：还可以每人分4根。

师：如果每人分4根，结果又会怎样呢？先想一想，再用小棒摆一摆，最后把你的想法跟同桌说一说。

学生动手操作，全班汇报，课件演示。

师：如果每人分4根，剩下的2根也不够分了。

2.列式计算，规范写法。

师：每人分2根和5根，我们已经会列式了。如果每人分3根，你会用除法算式表示吗？在作业纸上试一试。

学生独立尝试，展示结果，教师指名学生说想法。

生：10÷3=3；10÷3=3（人），还剩下1根；10÷3=3（人）……1（根）。

教师引导学生进行比较，统一格式并板书：10÷3=3（人）……1（根）。

师：你知道这个算式表示什么意思吗？如果每人分4根，你也能像这样列式吗？

同桌互说，教师指名学生说。教师板演，说明算式的含义。

3.算式分类，初识模型。

师：仔细观察，你能把这几种分法分分类吗？你是怎么想的？

生：第一种和第四种分法是一类，都正好分完；另外两种是一类，都没分完，有剩余。

教师引入新课并板书课题：有余数的除法。

通过学生喜爱的神话人物——孙悟空引入新课，让学生在自主分金箍棒的过程中，在已有等分物体经验的基础上，自然列出以前学过的表内除法算式，为新课的学习做好铺垫。接着，教师引导学生思考还可以每人分几根、分给几个人，在不能整除时，让学生想一想、摆一摆并参照整除算式尝试写出有余数的除法算式，让创造的种子在学生的心田萌芽。在规范格式后，通过观察、比较这些算式，让学生进行分类，初步感知有余数的除法的算法模型，理解余数及有余数的除法的含义，给学生创设自主构建知识的空间。

片段二：动手拼搭，在操作中感知模型

课件演示用4根同样长的小棒摆1个正方形的过程。

师：像这样单独摆，8根同样长的小棒可以摆几个正方形？怎样列式？

生：4根小棒可以摆1个正方形，8根小棒就可以摆2个正方形，列式是8÷4=2（个）。

师：照这样摆正方形，用12根、13根、14根、15根、16根同样长的小棒，分别可以摆几个正方形呢？

学生在组内动手摆小棒，再全班交流。

教师课件出示摆的结果和算式：12÷4=3（个）；13÷4=3（个）……1（根）；14÷4=3（个）……2（根）；15÷4=3（个）……3（根）；16÷4=4（个）。

低年级学生以动作、形象思维为主，也有一定的逻辑思维能力。教学时，教师通过用不同根数的小棒摆正方形的活动，引导学生多维探究余数和除數的关系。从摆一个正方形需要4根同样长的小棒入手，引导学生想象用8根同样长的小棒摆正方形的过程，让学生在脑海中形成“单独摆”的印迹，再让学生深入思考用12～16根同样长的小棒摆正方形的情况，并用小棒验证自己的想法，使学生从纯粹的操作逐步向先思考再操作、验证过渡，在操作中直观感知有余数的除法的模型。

片段三：放飞想象，在推理中感悟模型

师：哪位同学不操作就能知道用13根小棒可以摆3个正方形，还剩1根？

生：12根小棒正好可以摆3个正方形，13根比12根多1根，1根小棒不能摆一个正方形。

师：说得真好。你能照样子说说用14根、15根小棒摆正方形的情况吗？

师：想一想，为什么用15根小棒摆正方形余数是3，而用16根小棒摆没有余数？

生：用15根小棒摆正方形，余下3根小棒，16根比15根多1根，3+1=4（根），4根小棒又正好可以摆一个正方形，所以用16根小棒摆正方形没有余数。

师：如果继续摆下去，结果可能会怎样？选择一个你喜欢的根数，先想一想能摆几个正方形，还剩几根，再列出算式。

学生自主思考，列式计算，小组内交流想法，全班汇报。教师有选择地板书部分算式。

师：请同学们仔细观察，想一想，像这样摆正方形，如果有剩余，可能余几根？为什么？

生：可能是1根、2根或3根，因为用1根、2根或3根都摆不成一个正方形。

师（圈出算式中的除数和余数）：比较一下这些算式中的除数和余数，你有什么发现？

生：除数是4时，余数可能是1、2、3，都比4小。

低年级学生的抽象思维能力比较弱，思考问题需要具体事物作支撑。教学时，学生由动手操作摆正方形向在脑中自由拼搭正方形过渡，思维有了基础，推理有了扶手，思维层次得到了提升。但如果只对前面几种拼搭情况进行脑中再现，并以此为根据草草地下结论和获得模型，容易使学生养成武断概括、轻易下结论的毛病。因此，教师可以放手让学生自主选择小棒的根数，小组合作摆正方形或在自己头脑中摆正方形，使结论尽可能地具有普遍性，使有余数的除法的模型在学生脑海中自然形成。

片段四：拓展延伸，在概括中明晰模型思想

1.创设情境，巧摆五边形。

师（课件出示图1）：猪八戒也在用小棒摆图形，看了他列的算式，你有什么想对他说的？

生：算式错了，余下的小棒不可能是7根。

师：说说你是怎么想的。

生：可以从余下的7根里分出5根摆一个五边形，这样摆3个五边形后，还余下2根。

师：你能帮他改一改算式吗？

生：17÷5=3（个）……2（根）。

师：最少再添几根就可以再摆一个五边形了？

生：现在有2根小棒，要想再摆一个五边形，最少要添3根。

师：现在猪八戒准备用一堆小棒来摆五边形，如果有剩余，可能余几根小棒？

生：可能余下1根、2根、3根或4根。

师（小结）：当除数是5时，余数可能是1、2、3、4，都比5小。

师：如果除数是7，余数可能是几？

生：除数是7时，余数可能是1、2、3、4、5、6。

师：比较余数和除数的大小，你有什么发现？

生：余数都比除数小。余数不可能大于或等于除数，如果余数等于除数，商就要增加1，余数就没有了；余数大于除数就更不可能了。

2.拓展延伸，明晰模型思想。

师：孙悟空还要把一筐仙桃分给他的猴子猴孙，看！（课件出示图2）

师：分到仙桃的猴子猴孙可能是几只？你是怎么想的？

生：可能是5只、6只、7只、8只……现在余下的是4只仙桃，因为除数比余数大，小猴的只数一定比4大。

师：小猴至少有几只？

生：至少有5只。

新課标指出：数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。笔者再次聚焦余数和除数的关系，通过思维拓展训练，引导学生充分感悟，在分析比较中概括出算式的规律，在理解事理的基础上经历有余数的除法的模型建构过程，使他们更深入地认识有余数的除法的意义。数学模型建立后，教师要引导学生运用模型去解决现实问题，进一步加深他们对模型的感悟。通过创设首尾呼应、童趣横生的情境，引导学生借助已有的数学模型来解答“小猴可能有几只”的问题，使他们不但知其然，而且知其所以然。这样的经历对学生今后研究数学问题、探索数学规律、积累数学经验、领悟数学思想、提升数学素养大有裨益。

综观整个教学过程，从现实问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题，不断循环，不断完善，学生在积极参与教学活动的过程中独立思考、合作交流，模型思想在他们的脑海中逐步得到内化。当然，在渗透数学思想的过程中，教师要善于根据学生的年龄特征、认知原点、思维特点创设学生感兴趣的情境，在学生已有知识经验的基础上渗透模型思想，这样才能更加有效地促进学生思维的发展，最终提升他们的数学学科核心素养。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江苏教育＼小学版＼2017＼02＼KT1.TIF>