数学实验：赋予儿童几何学习以生长的力量

【摘要】“图形与几何”是小学数学教学中重要的领域，它承载着极其丰富的数学实验内容。科学有效的数学实验不仅能帮助学生理解几何形体的特征，体验几何原理的生长过程，也是学生建立和发展空间观念、提升数学学力、培育数学情感的重要途径。

【关键词】“图形与几何”；数学实验；几何学习；空间观念；范式建构

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）09-0031-03

【作者简介】毛新薇，江苏省江阴市徐霞客实验小学（江苏江阴，214406）副校长，高级教师，无锡市数学学科带头人。

在“图形与几何”内容领域开展数学实验是指学生在学习几何知识时，能够借助一定的工具，开展平移、折叠、拼合等积极的实践活动，在“数学化”的过程中理解知识、积累经验、发展空间观念与空间想象力。在教学“图形与几何”领域的内容时开展科学有效的数学实验，不仅能帮助学生正确理解几何形体的特征，体验几何原理的生长过程，也有助于学生建立和发展空间观念、提升数学学力、培育数学情感。

一、寻绎：教材文本中的实验基因

在蘇教版小学数学教材中，“图形与几何”领域包括图形的认识、测量、运动与位置这四大内容。依据实验的目的，笔者将这四大内容中的数学实验分为理解型、探究型和验证型三类。理解型实验有：圆锥的认识；做圆柱与圆锥，求底面周长与底面积；量圆锥实物，理解高与底面；理解平面图绘制中各部分的占地形状；等等。探究型实验有：圆柱的认识；选择合适规格的铁皮做长方体；等等。验证型实验有：摆正方体，从不同方向观察其形状；折正方体并展开，验证其展开图；等等。

二、建构：“图形与几何”领域中数学实验的操作范式

笔者重点提炼了“图形的认识”“图形的测量”“图形的运动”这三个范畴中数学实验的范式。在具体实施时，教师应根据具体情况灵活调整，形成适合教学实际的“变式”，以更好地提高实验教学的有效性。

1.“图形的认识”的实验范式。

“图形的认识”是空间形式的本质属性在人脑中的反映，它是“图形与几何”领域的重要内容，其大部分内容均与概念教学有关，属于“形概念”教学。“图形的认识”的实验范式如图1所示：

2.“图形的测量”的实验范式。

“图形的测量”是学生三维空间观念逐步建构和完善的过程，主要包括长度、面积、体积的度量和图形周长、面积、体积的计算公式推导两大部分。笔者以计算公式的推导为例，说明“图形的测量”的实验范式（如图2）。

3.“图形的运动”的实验范式。

“图形的运动”领域的学习可以帮助学生从平移、旋转、轴对称变换等运动变化的角度认识图形，了解图形之间的联系以及数学与现实世界的联系，感受、欣赏图形的美，激发学生的创造潜能，其实施范式如图3所示：

三、深耕：“图形与几何”领域实验教学的智性实践

1.理解型实验：“高观点”下洞悉“图形与几何”知识的数学本质。

理解型实验是为了让学生形成“形概念”，理解图形的特征，体验图形的多方面性质（如度量性质、组合性质、稳定性质等），体悟定理、公式产生的原理而进行的实验。教师应站在“制高点”上审视理解型实验的价值，根据学生对几何知识的认知规律设计实验，让学生真正洞悉几何知识的本质属性。

（1）多元突破：丰盈学生的感知力

根据学生认知结构的特点，教师可以采取多种途径与方法来帮助学生感知几何知识。表1中列举了几种实验方法。

（2）举象会意：丰满学生的表象力

教师要通过数学实验给予学生丰富的表象，让学生通过表象来领会几何知识的意义，从而使他们更好地进行抽象的“思”。例如：苏教版三上《轴对称图形》的实验教学，一是从生活实例中抽象出轴对称图形，让学生通过观察直观建立“前表象”概念；二是通过折一折、比一比等操作活动概括轴对称图形的本质属性，寻求其背后的物质表象，建立“准表象”概念；三是借助长方形、正方形纸片等工具，设计、创造一个轴对称图形，以此丰富学生的元认知表象，实现内化与跃迁。

（3）逐层推进：丰厚学生的理解力

教师在设计数学实验时，要按照知识的逻辑程序和学生的认知程序进行梯度式实验，分层推进，逐步建构。例如：教学苏教版五下《圆的认识》，教师先呈现圆形的实物图形，让学生感受圆的基本特征，这对应学生对感官型概念理解的心理水平；其次，让学生用圆规或自主设计画圆工具来画圆，概括圆的本质属性，这对应学生对工具型概念理解的心理水平；最后，让学生用圆形图片模拟车轮沿桌面边缘滚动，猜想车轴的运动轨迹并解释将车轴装在圆心的原理，这对应学生对关系型概念理解的心理水平。三层实验和三度思考，有助于学生深入地理解圆的概念。

2.探究型实验：让学生深入进行几何学习。

探究型实验是指学生事先不知道结论，通过开展有针对性的探究实验活动获取结果。在教学几何图形的定理、公式时，教师可以借助数学实验，让学生深入进行探究活动，亲历数学知识的形成过程，体验探究成功的乐趣。

（1）“姿态”大气：从控权到放权

教师要做到“姿态大气”：在理念上，要从只关注知识技能培养走向关注人的发展；在方式上，要从离身学习走向具身学习；在材料上，要从封闭单一走向开放多元；在过程上，要从小步子推进走向大空间探究。当然，“放权”不是放任自流，当学生实验受阻或偏离方向时、实验方法不科学或数据失真时、探究结论遇到困难时，都需要教师的指点、帮助和引领。

（2）过程完整：从操作到内化

郑毓信教授曾指出：“数学实验要实现对操作层面的必要超越。”数学实验活动的外化与数学思维品质的内化是相互统一的，数学实验不能停留于实验操作的层面，而应引导学生在头脑中实现必要的重构，在活动过程中理解几何对象的内在属性，提升几何思维水平。

（3）视野完好：从现象到本质

在实验时，学生往往只会关注那些表面的、外在的、直观的现象，而很难深入知识的深层内核，挖掘知识的本质，这就需要教师加以引导，帮助学生体悟现象背后的本质属性。例如：苏教版五上《平行四边形的面积》实验教学结束时，教师可以引导学生发现实验背后的本质，感受平行四边形可转化为长方形，从而对图形的特征及其内在关系建立起基本的数学感觉。

3.验证型实验：开掘学生几何学习的潜能。

验证型实验是指学生已经知道或者大概知道结论，通过实验操作和观察、记录、分析等手段，尝试运用所学知识和方法對已有的数学猜想给出证明或“再发现”“再创造”的实验。这类实验对学生推理能力、实践能力和理性精神的培养有着不可替代的作用。

（1）猜想：验证的起点

教师要引导学生经过推导大胆地提出自己的合理猜想，同时要追问学生猜想的依据是什么，帮助学生调整思路、筛选结果，不断提高学生的猜想水平。如教学苏教版六下《长方体的体积》练习课时，有这样一道题目：把一张长5cm、宽4cm的长方形纸分别绕它的长和宽旋转一周，形成的物体是什么形状？它的体积最大是多少？教师可以引导学生进行深度猜想：一是利用已有生活经验来猜想；二是融入动态表象，让学生进行动态操作想象，使长方形在他们头脑中“动”起来，建立起一个连续、渐变的圆柱表象。

（2）实验：验证的基点

教师通过设计多维互证的方式，让学生采用多种方法来进行实验。例如：教学苏教版六下《圆锥的体积》时，在学生猜测后，教师可以提供多种实验材料，让学生分组验证。面对富有挑战性的实验材料，学生可能会想出多种验证方案：用橡皮泥捏等底等高的圆柱与圆锥寻求体积关系；削圆锥形萝卜后称重量比较；通过注水法探求体积关系；等等。然后引导学生在动手操作的过程中印证圆锥体积公式的合理性。

（3）有本有源地思辨：验证的落脚点

为了使学生避开操作误差的干扰，教师可以带领学生进行思想实验，引导学生通过进行理性的思辨寻求结论背后的理论支撑，以增强结论的可信度。例如：教学《圆锥的体积》一课，在学生通过动手操作获得结论后，教师可以以“你知道吗”的形式补充圆锥体积的推导过程：用平行于圆锥底面的平面把它切成一些近似的小圆柱，将这些小圆柱的体积求和就近似于原来圆锥的体积，切成小圆柱的份数越多，结果就越精确。这样的理性推导，直抵圆锥公式的本源，既与操作的结论相印证，又能拓展学生的知识视界，培养学生的分析、推理能力，让学生的验证真正落到知识本源处。

总之，从本质上看，学习是一种基于经验的自然生长。生长需要土壤、水分和阳光，而数学实验因其独特的内在价值，能够成为学生空间观念培养与数学素养提升的加速器，能够赋予学生的几何学习以生长的力量。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江苏教育＼小学版＼2017＼02＼KT1.TIF>

【参考文献】

[1]张景中，王鹏远.少年数学实验[M].北京：中国少年儿童出版社，2012.

[2]董林伟.初中数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏科学技术出版社，2013.

注：本文获2016年江苏省“教海探航”征文竞赛一等奖，有删改。