谈高中数学课堂上的师生有效互动

郝红云

[摘 要] 当有效教学成为一种普遍追求的时候，教师更要结合学科教学寻找有效教学语境下更为有效的保证. 有效教学是有效的教与学的共同结果，教师与学生之间主要是借助于语言来沟通的，而语言是思维的工具，问题又是打开学生数学思维的重要途径. 因此有效的问题设计与提出，有效的思维层次与梯度，以及让学生感觉到心理安全的教学情境，是有效互动的重要保证.

[关键词] 高中数学；数学课堂；有效互动；问题

当有效教学成为一种普遍的追求时，就应当进一步分析怎样的举措可以促进有效教学的发生. 事实上，关于此的研究并不少见，大抵是从教学方式、教学理念、教学策略等角度来进行研究的. 笔者以为，教学本身包含着“教”与“学”两个层面上的内容，而两者的主体分别是教师与学生，当教学成为一个整体时，意味着教师与学生也是这个过程中的主角. 这样的理解除了传统的教师主导与学生主体之外，师生之间的教学互动应当更需要进行研究，或者说这是事关教学是否有效的更为直接的因素.

当然，任何课堂上都存在着师生互动，但讲授教学方式下的单向的师生互动显然并不能保证教学的有效性. 在以生为本的教学理念下，教师自己应当有什么样的教学行为，教师引导学生产生什么样的学习行为，才是教学有效性的关键. 笔者试以高中数学“任意角的三角函数”一课的教学细节为例，谈谈如何在有效的师生互动的基础上促进有效教学.

有效的师生互动以有效的问题为引子

高中数学教学是离不开问题的，因为问题可以让师生之间围绕同一个话题去展开思考，那么如何设计出可以称为有效的问题呢？

理论研究表明，有效的问题往往有一个共同的特征，就是符合学生的认知规律. 高中学生在数学学习中表现出来的认知规律有这样的几点教学需求：

一是需要注重知识的层次性. 绝大多数学生在数学知识建构的过程中都存在着明显的层次性特征，这实际上与我们传统的数学教学思路有关，也与数学知识发展的脉络相关，只有基于原有知识去构建新的知识才是符合逻辑的. 需要注意的是，知识的层次性不意味着教学的单向进行，在注重知识层次性的基础上去提出有效的问题，才是教师努力的方向. 如在“任意角的三角函数”的教学中，为了引入课题，教师可以提出这样的问题：用直角坐标系和极坐标系都可以表示圆周上的某点P，同学们知道这两种表示方法之间存在什么样的联系吗？这一问题的提出，是建立在学生已经知道如何用直角坐标和极坐标这两种方法表示圆周上某点的基础之上的，层次性显而易见. 而下面的师生互动是否有效，实际上与学生的原有认识密切相关，只要对其中的一种表示方法不熟悉，那师生互动就可能成为教师讲学生听的单向过程.

二是要注重问题的递进性. 问题的递进性可以保证学生思维的逐步深入，可以不断打开学生的思维大门，因而对于培养学生的数学思维方式与品质是很有帮助的，而有效的师生互动也可以借此发生. 在“任意角的三角函数”的教学中，教师可以基于上述问题进一步提出：这个问题的实质其实就是选择用什么样的数学模型描述（r，a）与（x，y）的关系. 当学生解决了上述问题之后，教师基于从特殊到一般的思路，可以进一步提出“怎样从锐角三角函数推广到任意角的三角函数”的问题. 这样的三重递进，可以将学生的思维进一步引入到用有向线段及单位圆表征三角函数的思路上来. 在此过程中，学生的思维会异常活跃，课堂上的师生互动会十分有效.

三是要注重学生思路的逻辑性. 在学生的数学学习中，总会有一些学生的思维存在跳跃性，这其中有些学生是直觉性较好，而相当一部分则是思维方式的欠缺造成的，这也会造成师生之间无效的互动（所谓课堂上放得太开收不回来，这即是重要原因之一）. 因此，有效的提问表现为对学生思路逻辑性的尊重与引导，上面的三个问题有层层递进的意思，从“同学们知道这两种表示方法之间存在什么样的联系吗”到“选择用什么样的数学模型描述（r，a）与（x，y）的关系”，再到“从锐角三角函数推广到任意角的三角函数”，更多的是数学思维间的逻辑关系，并以此促进师生之间基于数学思维逻辑的互动.

有效的师生互动以有效的思维为保证

師生互动表现为师生在教学过程中的语言互动（其他诸如肢体、眼神的互动等，限于篇幅，本文不赘述），而语言其实是学生思维的表达方式，真正互动的应当是师生的思维. 教师由于教学经验的累积，往往对一个数学问题的提出、猜想与解决有着明确的思路，而此时如果忽视了学生的思维特征，则互动就无法真正发生，因此真正的挑战在于教师对学生思维的把握.

学生在认识“任意角的三角函数”的时候，面对着三角函数的几何表示问题，尤其是有向线段的引入问题，不同学生常常会出现思维上的不同水准，有学生在建立有向线段的时候感觉十分困难，因为他们很难将只有大小的线段与方向结合起来；而有的学生则会因为其他学科的相关学习，而结合具体的实例以赋予有向线段实际意义. 这样的思维差异，导致了教师在此内容的教学中需要关注思维困难学生的思维，而看似随口的一句“结合实例想想”的引导，也可以化解部分学生在建构有向线段时的思维困难. 而这样的引导，其实就是有效师生互动中的问题引导，是有效保证.

需要强调的是，有效的师生互动结果空间怎样，是需要评价的. 在“任意角的三角函数中”教学，有这样的一个教学环节需要引起数学教师的重视，那就是学生在有向线段概念建立的基础上的“用适当的有向线段表示第一象限角的正切”的探究，这是学生用刚才师生互动过程中建构出来的知识进行新探究的过程，是数学知识的即时迁移，是数学思维的重复运用. 教学实践经验表明，此过程中还是要进行思维的引导的，因为总有一部分学生并不能做到举一反三，因此此时需要以“在刚才的学习中我们是怎样解决问题的”“此问题与刚才的问题有什么联系，有什么区别”这样的问题，去引导学生产生对比的思维，从而在对比中完成知识的再建构与能力的迁移，显然，这也是有效教学的另一保证.

在这个过程中，有效教学需以有效的提问为催化，即问题的提问者应当成为研究的另一重要对象. 常规的研究中，往往认为问题既可以由教师提出，也可以由学生提出，事实上这相当于一句正确的废话，因为即使教师在此基础上生成的难的问题由教师提出、简单的问题由学生提出，仍然是经不起课堂的检验的. 在课堂学习这一个复杂的即时过程中，教师要预判问题的难度其实是有困难的，学生更加难以精确把握自己在面对一个问题时的实际思维状态，因此要用问题作为有效互动的催化，需要面向学生的思维难点作“精确打击”. 例如，在上面所举的“用适当的有向线段表示第一象限角的正切”探究实例中，笔者在学生分组讨论的时候，对不同小组的个别学生进行了观察，然后将其中的部分学生集中起来，结合“角的终边”所在的不同象限进行提问：在不同的象限有什么不同，对最终用有向线段表示会产生什么影响？事实证明，这样的提问往往能够让这部分学生的思路更为清晰，这其中既体现了问题的层次性、渐进性，实际上也起到了催化作用.

有效的师生互动以有效的情境为基础

有效互动是需要情境保证的，这里的情境分两个层面来讨论：一是学科意义的情境，二是非学科意义的情境.

学科意义的情境容易理解，要构建某个数学知识，需以学生学习过的相关知识为基础去创设教学情境，以让学生的思维能够迅速进入到知识构建的情境当中. 上面第一点所提出的“用直角坐标系和极坐标系都可以表示圆周上的某点P，同学们知道这两种表示方法之间存在什么样的联系吗”这个问题，其实就有引学生入境的意味，此处不再多说.

非学科意义的情境是需要高度重视的，因为其影响学生的学习心理与状态，是有效互动能否发生的心理保障. 高中数学因为其抽象与繁难，常常会影响学生的学习心态，如果教师在课堂上不能创设一个让学生感觉到心理安全的情境，那么有效互动就无从发生. 其实学生在将锐角三角函数推广到任意角的三角函数时，相当一部分学生确实会发生一些低级错误，比如不同象限的符号混淆等. 遇到这些问题教师如何评价，就关乎学生学习的心理情境：理解式的评价，会让学生放下心理负担，进而更积极地学习；反之則会长时间沉浸在恐惧的心理当中，后面的有效互动自然也就无法发生.

实际上，在课堂中，学科意义与非学科意义的情境是不需要太过区分的，因为在教学的过程中，让自己拥有理解学生学习过程的心态实施教学，才是营造积极学习气氛的根本，也是高中数学课堂上师生有效互动的长久保证.