基于HPM理论的课堂教学实践与思考

王蓉

[摘 要] 本文以《等差数列的前n项和》课堂教学中三个教学片段引入数学史的教学实录为例，阐述引入数学史的设计意图及数学史的作用.

[关键词] HPM理论；数学史；等差数列的前n项和

1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称“HPM”），标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域而出现. 通常我们也把这一研究领域本身称作HPM. 1995年，美国数学协会在国家科学基金资助下成立了数学史及其在教学中的应用研究所（Institute on the History of Mathematics and Its Use in Teaching）专门致力于研究如何将数学的历史运用于课堂教学. 笔者基于数学史设计执教的研讨课例《等差数列的前n项和》在近日“宁波市特级教师协会学术基地支教活动”中得到了与会教师的一致好评，也引发了关于数学史融入数学课堂教学的热烈探讨.

下面是这节课的三个教学片段实录（学生来自于区内二类学校生源相对较好的班级）.

片段1：情境创设，古迹名人激发数学学习兴趣

师：（播放印度泰姬陵图片）大家认识这个建筑及背后的故事吗？

生：印度泰姬陵，是皇帝為纪念爱妃所建.

师：没错. 印度泰姬陵坐落于印度古都阿格拉市，是17世纪莫卧儿帝国皇帝沙贾汗为纪念爱妃所建. 它宏伟壮观，是印度古代建筑史上的经典之作，是世界七大建筑奇迹之一. 这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵墓主体由纯白大理石砌建而成，陵寝内部以宝石镶嵌. 传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（如图1），非常奢华. 你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？

师：把这个情境抽象出数学问题即问题1：1+2+…100=？

生（不假思索）：5050.

师：怎么算？

生：高斯算法.

师（投影高斯图片）：高斯为什么这么算？你是怎么想的？

生1：1+100=2+99=3+98=…=55+56=101. 两两配对，一共50对. 所以101×50=5050.

师：非常好. 大家想过为什么这样两两配对吗？

生2：首尾配对后就变成相同的数，把100个不同数的和变成为50组相同数的和.

师：（PPT上投字“不同数的求和问题→相同数的求和问题”）对，这样处理的关键是把一般（不同数的求和）化归为特殊（相同数的求和）.

师：高斯10岁的时候，解决了这个问题. 高斯是德国的数学家、物理学家和天文学家. 他和牛顿、阿基米德被誉为有史以来的三大数学家，有“数学王子”之称. 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献. 他的荣耀有以他名字命名的物理学上磁场的计量单位，月球上的坑洞、小行星1001号的名字. 现在有很多人会的尺规作图的方法，也得益于高斯做出的贡献. 虽然正十七边形的做法只需一页篇幅就能完成，但其中所需要的努力和付出是巨大的. 高斯曾说：“你们看到我书上某些地方只有那么几行，但是我却花了几年的时间才完成的. ”就算是高斯如此有天赋之人，要想取得很大的成就，也必须不断地坚持和付出. 他62岁开始学习俄文，并达到能用俄文写作的程度. 高斯的故事激励我们做任何事任何时候开始都不晚，但是一定要坚持不懈地努力.

设计意图：（1）泰姬陵的引入是将文化氛围浓重的“古迹”融入课堂教学中，使原本枯燥、抽象的数学知识变得生动形象，饶有趣味. 笔者执教的是陌生学校的学生，这样的引入一下子拉近了师生之间的距离，减少了陌生感，使得学生对下面的学习有所期待，后续课堂互动非常融洽. 另外，等边三角形的图案也是整堂课中从“形”的角度来突破“倒序相加”这个难点的一个工具，贯穿整堂课.

（2）教师在课堂上介绍数学家的趣闻轶事、数学概念的起源、古今数学方法的简单对比等，都能起到激发兴趣的作用. 美国数学史家琼斯（P. S. Jones）指出：希腊著名问题，阿基米德、卡丹、伽罗瓦、高斯等人的故事，费马最后定理等都是精彩有趣的历史话题，能激发学生的兴趣，因为学生对于人物、原因和最佳结果等有着天生的好奇心. 高斯的故事告诉学生即便天赋异禀如高斯，也需要付出巨大的努力才能取得如此的成就，对学生的人格成长产生了积极的启发作用.

片段2：公式探求，古今对比拓宽视野欣赏文化

师：我们把刚才的问题拓展一下，来研究下面这个数式的和. 问题2：1+2+3+…+n =？

生：.

师：很棒，完全正确，大家是怎么得到答案的？

生3：1+n=2+（n-1）=3+（n-2）=…，一共有组.

师：同学们觉得对吗？

有些学生说对，有些学生有点疑惑，有些学生说不对.

生4：如果n是偶数，就对. 如果n是奇数，就除不尽了，就不对了.

师：很好. 这位同学非常严谨. 现在大家两两一组，来探求一下这个和是怎么得到的. 有没有简洁明了的好办法？

学生先自己推导，然后相互交流. 笔者在巡视课堂中，得到如下三种解法：

师：（投影图2）

生5：当n是奇数时，我把中间一项留下，其他首尾配对，一共有对，化简后得到结果.

师：非常准确. 该同学用到了分类讨论的思想. 当n是奇数时，是否只能留下中间项？

生6：可以留下最后一项.

生7：可以前面补一项0.

生8：可以留下第一项.

师：大家思路都非常开阔，我们这么做的目的是——

生9：配凑成相同数的和，而且能计算对数.

师：对，刚才在计算1+2+…+100时也是这么处理的，只是现在要分奇偶讨论. 有没有更简便的方法？（出示图3）

生10：我把1+2+3+…+n倒个序，变成n+（n-1）+（n-2）+…+2+1，分别记成S，再把两个式子加起来，除以2，就得到1+2+3+…+n的和.

师：非常好，为什么要倒个序？

生10：可以一组组配对，变成相同数n+1的和.

师：比刚才的解法优越在哪里？

生10：避免了分类讨论.

师：倒个序，再把两个式子相加就得到所要的结果. 我们应该给这么好的方法起个名字，叫什么呢？

生：倒序相加法.

师：好，我们再请这位同学来解释一下他的解法. （出示图4）

生11：我把1+2+3+…+n求和看成是一个三角形，和刚才的宝石图案一样，第一层1颗，最后一层n颗，共有n层. 倒置一个同样的三角形，拼成一个平行四边形. 平行四边形的宝石数就是n（n+1），除以2就是.

师：非常棒. 刚才两位同学分别从数式和几何的角度来推导了这个和. 数式上称为“倒序相加”，几何上称为“倒置拼补”，其实本质是一样的. 都是分组配对，转化为相同数的和来处理.

师：（投影毕达哥拉斯图片）早在公元前500多年時，希腊哲学家毕达哥拉斯就研究过这个问题. 毕达哥拉斯本人发现任何多个始于1的连续自然数之和构成一个三角形数. 在三角形数旁补一个倒立的三角形数，即可得1+2+3+…+n=.

我们对毕达哥拉斯比较了解的是“毕达哥拉斯定理”，也就是我们的勾股定理. 毕达哥拉斯学派是对形数研究最早的例子. 历史上称为“图说一体”. 美国数学协会出版的《数学杂志》自1975年来一直设有“不用文字的证明”一栏，刊登有关数学公式、不等式等的几何证明. 用一个几何图形进行某种数学方法的论说，数学命题的证明或数学公式的推导，是一件多么简洁美妙的事. 你们看，我们同学已经做出如此大胆的尝试了.

我们追寻历史的足迹，体验着数学家的思想，学习他们锐意进取的精神，并且能够坚持不懈地付出努力，也许某天你就会超越他们，创造历史.

设计意图：（1）本节课的难点是用“倒序相加法”求等差数列前n项和的思路的获得. 因而在课前，对于如何突破这个难点的设计是想用几何的“倒置拼补”来类比得到“倒序相加”. 事实上，在课堂生成时，学生能够想到倒序相加，而且把倒置拼补作为一种解法提出. “倒序相加”和“倒置拼补”的本质是一样的，只是一个体现在数式，一个体现在图形，他们都是手段和技巧，转化为相同数的求和才是解决问题的思想. 因而，在一般等差数列求和公式的推倒中，就将两者置于等同的位置，分别从数的角度和形的角度来解释等差数列求和的方法. 同时从形的角度类比梯形面积公式的“割”“补”两法来推导、记忆等差数列前n和的两个公式，课堂效果非常理想. 课堂上求1+2+3+…+n的和的过程中花了大量时间来探究，这个比一般等差数列求和的探究更容易. 这个探究过程中解决了“为什么分组配对”，“为什么要倒序相加”，在一般等差数列求和中，只要解决“为什么倒序相加能转化为相同数求和”（因为等差数列的性质）这个问题链，其实就解决了推导等差数列求和公式的思想精髓：“不相同数的求和”（一般）化归为“相同数的求和”（特殊）. 而且这种思想还将在以后的求和问题中反复体现.

（2）高斯是从数式的角度首尾配对，从而引出“倒序相加”，而毕达哥拉斯是从形的角度得出“倒置拼补”. 不同时空，源于相同的思想精髓“不同转化为相同”. 不同时空数学思想的对比有利于拓宽学生的视野，培养学生全方位的认知能力和思考弹性. 拥有数学教材中有关概念、定理、思想方法产生和发展的历史知识，无疑会大大拓宽我们的视野，进而丰富和提升我们的课堂教学. 另外，毕达哥拉斯学派的数形理论是高中数学学习重要的思想方法，了解了理论的源头，在学习过程中才能得以更好地应用. 历史告诉我们：数学是全人类共同的遗产，不同文化背景下的数学思想、数学创造都是根深叶茂的世界数学之树不可分割的一枝. 我们要以更宽阔的视野去认识并学会欣赏丰富多彩的数学文化.

片段3：例题学习，认识欣赏古代文明数学成就

PPT投影《张丘建算经》第23、22题：

（1）今有女不善织，日减功迟. 初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫. 问织几何？

（2）今有女善织，日益功疾. 初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？

师：（朗读一遍）“日减功迟”指每日减少的量相同. “讫”指结束. “织几何”问一共织了多少尺. 翻译成数学语言，用数学符号如何表示？

生12：已知等差数列{an}，a1=5，a30=1，求S30.

生13：S30==90.

（师板演）

师：非常好. 我们选择的公式是——

生14：公式1.

师：好. 一匹四丈，一丈十尺. 请解决第二个问题. 先翻译成数学问题.

生15：已知等差数列a1=5，S30=390，求d.

生16：S30=a1n+d=5×30+d=390，所以d=.

（师板演）

师：很正确. 这里我们选择公式2，用方程来解决d，体现了方程思想.

师：（投影张丘建及《张丘建算经》）张丘建是公元5世纪北朝的大数学家. 中国古文物或文献中，有关等差数列的内容十分丰富. 许多数学著作如《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《张丘建算经》等书都有趣味数列问题. 张丘建创始了等差数列求和的解法. 《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等. 刘徽在《九章算术》中创造了我们今天推导的等差数列求和公式和两个通项公式. 至此到五世纪，在中国传统数学中已经具备了系统的等差数列理论. 虽然古代埃及、巴比伦、印度等许多民族也研究过等差数列，但都没有得出比较完整的计算公式，同类结果直到七世纪才在印度天文学家、数学家婆罗门笈多的著作中出现，晚了整整三百年. 我们来看看算经中的解法. （PPT投影解法）

（1）并初、末日尺数，半之，余以乘织讫日数，即得.

（2）置今织尺数，以一月日而一，所得，倍之. 又倍初日尺数，减之，余为实. 以一月日数，初一日减之为法，实如法而一.

第一小题与我们解法一致，第二小题古人是将d=表示后代入计算的. 古文晦涩难懂，数学符号简洁明了，且是世界通用的语言. 数学符号的应用是数学发展的标志. 当然，中国古代的数学成就在数学史上是空前巨大的，我们现在更应该传承与发扬.

设计意图：（1）美国学者史韦兹（F. J. Swetz）认为，用历史来丰富数学教学和数学学习，一个直接的方法是让学生去解一些早期数学家感兴趣的问题. 这些问题让学生回到问题提出的时代，反映当时人们所关心的数学主题. 学生在解决源于数世纪以前的问题时，会经历某种激动和满足. 《张丘建算经》《九章算术》里的数学问题本源于生活，数学家们解决的就是生活当中的现实问题.

（2）选用历史题作为例题，不仅仅是公式的变化应用，也让学生了解了数学史中等差数列的发展，引发学生用所学的知识对前人的解法进行思考与探究，激发兴趣. 中外等差数列在不同历史时期的发展现状与比较，有助于学生全面了解相关知识，对学生的数学史观产生影响. 当我们把多元文化引入数学课堂时，我们会发现，“谁比谁早多少年”已经不是最重要的，最重要的是这会让我们的学生消除民族中心主义的偏见，以更宽阔的视野去认识古代文明的数学成就.

（3）培养学生的数学建模能力（从具体背景中提炼出数学信息，用数学符号来表示，将实际问题转化为数学问题的能力）. 数学符号是世界通用的语言. 数学符号展现了数学的简洁美.

本节课是一堂公式教学课，在推导公式的过程中，抓住了两个重要思想：从特殊到一般的探究思想，及从一般到特殊的化归思想. 从特殊到一般设计了三个问题链：

问题1：1+2+…100=？

问题2：1+2+3+…+n =？

问题3：如何求等差数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an.

一般到特殊的化归思想揭示了本节推导等差数列前项和公式的思想精髓：将“不相同的数求和”化归为“相同数的求和”. 这中间，穿插了三段古今中外、不同时空的数学史材料，使得在较好地完成教学目标的同时，丰富了数学课堂. 数学教学过程中，课堂气氛异常活跃，学生参与度极高. 数学史激发了学生学习数学的兴趣，对学生的人格成长产生了启发作用. 不同时空数学思想的对比有利于拓宽学生的视野，培养学生全方位的认知能力和思考弹性，也让学生了解了数学的多元文化的意义.

数学特级教师冯斌老师在评课中肯定了本节课的设计与教学效果. 但她同时指出，与另一节同课异构的课相比较，这节课少了点“数学味”. 冯老师提出了一点思考：数学文化渗透的适度问题.

数学史融入数学教育是一项大的课题. 如何将数学史融入数学教学，主要有两种方法：一是直接法，即歷史材料的直接利用. 二是注入历史的教学法——发生教学法. 简单地说，就是“借鉴历史设计一个话题的教学方法”. 本堂课所采用的就是直接利用历史材料. 在一节40分钟的课中用什么历史材料，怎么用，用在哪里，用多少时间，使得这节课是既有历史味，又有数学味的数学课，值得我们大力思考和研究.