数学活动：一种“经验性思维”的改造

徐小红

[摘 要] 高中数学活动是高中数学教学的灵魂，具有活动性、数学化、内隐性等系列特质. 教学中，要将数学活动导入学生的“经验系统”，引领学生展开经验性数学活动、探究性数学活动和反思性数学活动. 在数学活动中复演人类的生命实践历程，提升学生的数学思想方法！

[关键词] 数学活动；内涵特质；教学策略

高中数学知识不仅涵括静态的“结果形态”的知识，更包括动态的“过程形態”的知识. 作为“过程形态”的知识，教师必须引领学生经历“数学化活动”. 而真正的数学化活动需要解决两个问题，即“什么活动”和“怎样活动”. 前者是活动内容的问题，后者是活动形式的问题，这两个问题在学生的数学活动中是辩证统一的，它们都依赖于学生个体的经验，是学生个体经验、认知结构与数学课程知识进行矛盾运动的产物. 因此在数学学习中，学生经验要主动跟进甚至超越课程知识. 正是在这个意义上，教育家杜威先生认为，教学即“学生经验的改造与重组”.

高中“数学活动”的内涵特质

学生的“数学经验”是与学生的观察、操作、猜想、验证等数学活动紧密联系在一起的. 与数学“客观知识”相比，“数学活动”具有活动性、数学化、内隐性的特质.

1. “活动化”特质

数学活动是学生数学经验的源泉，学生的数学经验是数学活动的产物. 无论是外显的操作活动还是内隐的思维活动都应让学生主动经历. 例如，教学“棱柱、圆柱的体积”时，笔者借助数学实验，准备好“底面积”和“高”分别相等的长方体、圆柱体、斜五棱柱等. 让学生用沙子进行实验，最后进行公式推导. 如此，抽象的公式经由形象的数学活动而让学生获得了理解.

2. “数学化”特质

“数学活动”不是一般的活动，而是必须具备鲜明的数学特征，也即是必须具备数学特质，有“数学味”. 在高中数学活动教学中，教师要警惕“数学味”的流失，警惕“去数学化”倾向. 如教学“用二分法求方程的根”，一位教师设计了“猜价活动”，在学生忽高忽低的猜测中，教师引领学生设计算法，从数学的角度分析. 学生经过交流形成共识：首先是价格必须存在一定的区间，其次是逐次逼近. 不仅如此，该教师还引进了华罗庚的“0.618优选法”，拓宽了学生的数学视界.

3. “内隐性”特质

作为一种“缄默性知识”，由数学活动所积累的经验对高中生来说是个体的、内隐的. 数学活动是与学生个体的数学发现、数学探索有机联系在一起的，很多情况下是一种“意会知识”. 如“距离”概念，从小学阶段学生就开始接触“距离”这一数学概念，但许多概念在学生头脑中是一种不科学的“迷思概念”. 为此，笔者在教学中首先厘清“距离”概念，从“两点之间的距离”到“直线外的一点到直线的距离”再到“平行线之间的距离”，让学生思考“距离”的数学本质——“最小值”. 如此，学生自然能理解“平行面的距离”“异面直线的距离”等.

高中数学活动的教学策略

数学活动是学生数学智慧得以形成的基石. 高中数学活动应该而且必须超越传统单一的“纸笔数学”，将学生的数学学习导向学生丰富的数学探究、数学反思、数学猜想验证等数学活动方面. 通过活动，学生的数学认识将由“工具理解”提升至“关系理解”！

1. 切入学生“经验系统”，展开经验性数学活动

学生经验的改造是连续的过程. 因此在高中数学教学中，我们要探寻学生的“前数学经验”，让教学切入学生的经验系统，丰富经验系统. 教学“正弦曲线的作图”，许多教师常常自己设计程序用电脑作图，作出的图非常的美观、准确. 但在这里，学生对函数的理解是肤浅的. 为此，笔者让学生用学过的“描点法”作图像（函数y=sinx（x∈[0，2π]），看到一些学生的图歪歪扭扭，笔者让学生讨论，如何将图作准确、美观. 学生经过讨论，认为问题在于像“”“”等这些无理点描不准. 于是笔者再一次让学生交流，如何将这些无理点准确描绘. 如此，学生不仅巩固了作图法，更为重要的是学生的数学新知是建立在学生的已有的知识经验基础之上的，是建立在学生自主活动基础之上的.

2. 复演人类生命实践过程，实施探究性数学活动

高中数学知识是人类“生命·实践”活动的智慧结晶. 作为学生，他们不可能重复人类的活动过程，只能重蹈人类探索活动中的关键步子. 在教学中，教师要根据实际情况对教材进行组织处理，让学生展开替代性数学活动，经历数学知识的“数学化”过程.

例如，学习“复数”，笔者设计如下富有层次的活动，让学生了解知识的发生、发展.

（1）活动导入：讨论方程“（2x-1）·（x-1）（x2-2）（x2+1）=0”的解的情况.

（2）能否扩充数系，让方程“x2+1=0”有解？

（3）让虚数单位参与实数运算，结果怎样？

（4）实数m分别取什么值，复数z=m+1+（m-i）i是实数、虚数、纯虚数？

由于高中数学的抽象性、深刻性，教学时教师可以运用各种手段（如课件、画板、录像等）展开数学活动，让学生的学习拾级而上，在无法得到“直接经验”时也要尽可能让学生获得一种“间接经验”，获得一种“替代性体验”！唯有如此，学生才能深刻理解数学知识的本质.

3. 提升数学思想方法，引领反思性数学活动

高中数学教学说到底是数学思想方法的教学. 在学生学习数学知识的过程中，必须引领学生对数学知识本体及知识形成过程展开高质量的反思. 唯有引领学生展开反思性数学活动，学生的数学认识才能发生“跃迁”，进而形成数学素养. 如教学“等比数列前n项求和公式”，笔者引领学生经过小组交流，在全班展示阶段，他们共出示了3种推导方法. 如下所示：

教学中，笔者引导学生对他们自主探究的“原初方法”进行反思：自己是用怎样的方法解决问题的？获得了哪些思想上的启迪？通过“比较分析”，引领学生从不同视角剖析“等比数列求和公式”，感受不同数学方法熠熠生辉的力量. 如方法1的“错位相减”的构造，方法2的“整体与部分”的建构，方法3的“合分比”的探究等. 通过反思，提升学生的活动经验、思维经验，真正实现学生经验的改造.

4. 凸显学生本质力量，进行展示性数学活动

在高中数学活动教学中，要让学生用自己的眼光去看待数学问题，用自己的语言对数学活动进行归纳总结，以便让活动内化为自身的知识和体验. 展示交流时，不仅要交流活动结果，更要交流活动过程和心得体会. 如教学“雪花曲线”（如图1），师生、生生之间进行着充溢美感的展示活动：

师：同学们，我们能不能从一个等边三角形出发作出正六角形的雪花？

（学生交流）

生1：我们组认为可以，从等边三角形每条边的中间再分别向外作等边三角形，但边长只是原来的三分之一.

生2：我们组发现，每一次生长的三角形的边长都是前一个三角形边长的三分之一.

师：如果我们将探究的触角延伸至图形的边数、周长、面积，我们又会有怎样的发现呢？（学生交流）

生3：我们组用了一个表格整理出我们的发现. （小组出示表格，如表1）

师：同学们，你们刚才的探究就是瑞典数学家科赫得到的“雪花曲线”，从中我们应该能够感受到数学的美……

在数学交流展示活动中，教师要放手让学生自己探究、交流，因为学生自己的探究成果表征着学生自己的本质力量，学生自我的探究成果更容易理解和接受. 在展示性数学活动中，教师要努力创设民主、宽松、自由的氛围，从中倾听、发现、点拨，让学生相互补充、更正、完善. 如此，让不同层次学生的潜能都能得到积极的开掘.

“数学活动”是学生知能形成的沃土，它不仅是高中数学课程与教学的重要目标，也是学生数学素养生成和发展的基础. 在高中数学教学中，教师要精心创设“数学化”活动，让学生主动展开数学发现、数学探究、数学反思等. 让学生不仅获得经验性思维的提升，更能获得丰富的“过程性体验”“情感性体验”与“反思性体验”！