一种基于压缩感知的斑点噪声去除算法

周若飞，王 钢

(哈尔滨工业大学 通信技术研究所，黑龙江 哈尔滨 150001)

一种基于压缩感知的斑点噪声去除算法

周若飞，王 钢

(哈尔滨工业大学 通信技术研究所，黑龙江 哈尔滨 150001)

针对现有斑点噪声去除算法去噪效果不明显、噪声残留度高等问题，将压缩感知(Compressed Sensing，CS)理论结合到图像处理中，提出一种基于压缩感知的斑点噪声去除算法。提出了斑点噪声模型，利用CS理论建立去噪模型并归纳其优化问题。将问题的解决方案分为3个步骤：稀疏表示、更新字典与图像重构。利用改善的正交匹配追踪算法(OMP)与奇异值分解算法(K-SVD)，获得去噪后的重建图像。最后与现有的常用去噪算法进行性能仿真对比实验，在视觉感受与峰值信噪比(PSNR)2项评价指标上，均表明该算法具有较好的斑点噪声去除效果。

压缩感知；图像去噪；OMP；K-SVD

0 引言

在图像的获取与处理过程中，噪声对图像信号的影响无可避免，因此图像去噪是图像处理领域经久不衰的研究热点之一。对于利用声波/电磁波反射形成的超声与雷达图像，由于回波的干涉以及散波束之间的干扰，当目标反射源反射而出的2束回波互相重叠时，便会在图像中产生明暗不同的颗粒，也就是斑点噪声。

目前，有关斑点噪声去除的研究有很多，其中滤波去噪应用最为广泛，例如Lee滤波[1]与Kuan滤波[2]。然而，大尺寸滤波窗虽然去噪效果良好，却损失了过多的高频信息；而小尺寸滤波窗可以较好地保留细节信息，但在去噪的能力上却不如大尺寸滤波窗。

为了解决这一矛盾，一些各向异性扩散的方法被提出，例如PMAD[3](Perona-Malik Anisotropic Diffusion)、NCDF[4](Nonlinear Complex Diffusion Filter)和SRAD[5](Speckle Reducing Anisotropic Diffusion)。然而，这些方法在进行边缘检测时不能很好地区分图像边缘和斑点噪声。

近几年，一些新的去除斑点噪声的方法被提出，如NMWD[6](Nonlinear Multi-scale Wavelet Diffusion)与SRBF[7](Speckle Reduction Bilateral Filter)等，这些方法在处理斑点噪声时效果很好。本文在前人研究的基础上，将压缩感知理论应用于图像去噪中，提出一种基于压缩感知的斑点噪声去除算法CS-SD(Compressed Sensing-based Speckle Denoising)。在之后的仿真对比实验中，本文所提出的方法将与上述方法进行定性和定量的比较。

1 图像噪声模型

以超声图像为例，超声探头中超声换能器阵元输出的信号呈近似乘性噪声的特性，图像的形成模型公式为[8]：

(1)

式中，ηm为乘性的噪声，ηa为加性的噪声。其中加性噪声ηa的能量比乘性噪声小，可以忽略不计。但是，最终输出的图像需要经过包括模数变换和时间补偿等预处理，之后的图像噪声模型如式(2)所示：

(2)

故本文所述图像去噪方法是基于如式(3)所示的图像斑点噪声模型建立的：

y=x+x1/2n，

(3)

式中，y为待处理的图像，即含有噪声的图像，x为无噪声的纯净图像，n为独立于x的均值为0的高斯噪声。

2 CS-SD的内容与方法

2.1 图像降噪原理

为了能够使图像中的噪声充分去除，同时又保持原有的图像信息与图像质量，普遍认为，对于图像信号的表示，需要具有以下3种特性：稀疏性、可分性与特征保持性[9]。基于压缩感知的图像去噪技术恰恰具备上述几个特性。经过稀疏表示过程得到的稀疏系数矩阵保证了此方法的稀疏性，每个纯净信号只需要字典中很少的几个原子的线性组合就可以几乎完全地表示。另外，字典中每一个原子都是经过训练而得，代表的是原图像中一些最基本的结构信息，因此具有很好的特征保留性。同时，纯净信号由于含有图像中典型的结构信息而能够在训练字典上具有稀疏表示，而噪声部分在字典上却得不到稀疏表示，故稀疏表示方法具有良好的可分性，将图像有用部分和噪声部分有效地分开。

2.2CS-SD降噪模型

本文主要采用的稀疏降噪思想是以埃拉德提出的降噪优化问题为主体[10]，结合斑点噪声模型，实现图像的噪声抑制。经过改进的基于压缩感知的图像斑点噪声去除整体过程如式(4)所示：

(4)

式(4)是散斑噪声去除整体过程的优化问题。为了解决此问题，需要将其分解为2个优化问题分别进行处理。首先是假设X=DA，认为纯净信号可以无误差地被字典里的原子稀疏表示。故优化问题转化为如式(5)所示：

(5)

因为这个问题是关于D和αj2个变量的最优化，故可以分为稀疏表示和字典更新2个过程来解决。在每步优化迭代中，先将字典D固定，优化稀疏系数αj，然后将优化后的稀疏系数αj固定，更新字典D。如此反复迭代后，就会得到待处理图像对应的学习字典D。

解决式(5)的方法是限定对于待处理图像稀疏表示的错误率。当限定错误率在规定错误率阈值ε的前提下，使稀疏系数矩阵A更加稀疏。也就是将优化问题转化为如式(6)所示：

(6)

当得到了自适应的学习字典后，就可以根据此字典进行降噪复原工作，此时式(4)中的稀疏度已在稀疏表示和字典学习过程中得以保证，故基于学习字典的图像降噪问题就转换为如式(7)所示：

(7)

2.3 CS-SD降噪方法

2.3.1 确定字典

在字典更新的过程中，每次迭代需要用到上一次迭代后得到的学习字典，故在第1次迭代开始时确定适合迭代的初始字典是非常有必要的。

关于初始字典的选择，很多学者提出了自己的见解。Yang提到初始字典是简单地从含有噪声的待处理图像中随机采样得到的[11]。每一个字典原子都是图像中的一个图像块按照顺序排列成的列向量。之所以进行随机采样，是认为迭代收敛速度很快，初始字典的选择不会使最终结果受到影响。埃拉德则指出，初始字典的选择在一定程度上影响着迭代速度，为了能够更好更快地完成迭代优化，宜采用过完备的DCT字典作为初始字典进行迭代。故本文所用初始字典为过完备的DCT字典，如图1所示。

图1 过完备DCT字典

2.3.2 生成系数矩阵

在进行稀疏编码的过程中，每次迭代开始需要将上一次迭代得到的学习字典固定，使式(6)所示的优化问题变为只有一个优化变量αj的问题，那么对于稀疏系数矩阵A的第j列变量的求解如：

(8)

为了解决此优化问题，用到最多就是的正交匹配追踪算法(OMP)、基跟踪算法(BP)和FOCUSS算法等。本文结合斑点噪声模型，采用了改进的OMP方法，在这种模型下得到最优化的稀疏系数矩阵。

2.3.3 字典更新

K-SVD法是利用奇异值分解来进行字典更新的，但这种方法只适用于一般的加性高斯噪声，需要经过改进才能处理斑点噪声[12]。式中，E代表误差函数。与逐一更新字典元素方法不同的是，此方法每次更新的是字典中的一列元素，即构成字典的一个原子。具体的求解过程如下：

(9)

2.3.4 图像重构

(10)

此公式求解的方法是将该优化目标函数对变量X求导，并认为导数为零时，此目标函数达到极值。那么此时所对应的变量X即为所求。

3 仿真实验与结果

3.1 降噪评价指标

本文采用峰值信噪比PSNR(PeakSignal-to-Noise-Ratio)作为定量降噪评价指标，它是使用最广泛的衡量图像降噪效果指标。PSNR的定义为：

(11)

3.2 实验参数确定

实验证明，字典的原子数的大小对于最后的处理效果影响不大，故为了处理方便，这里取字典冗余度ρ=4，即字典原子数K与每个原子所含元素数M比例为ρ=4。为了使字典以图像块的形式展示，故一般取M=8×8=64，即字典里每一列原子含有64个像素值，故字典原子数K=256。

由于利用OMP法时，待降噪图像信号被稀疏表示的错误率下降很快，故更新字典和稀疏系数矩阵时也就不需过多步的迭代。一般认为，处理噪声均方差σn≤5时，只需进行5步迭代。而当σn>5时，10步迭代也足以满足错误率和稀疏度的要求，也就是最多10步迭代即可。

3.3 仿真结果与分析

本次仿真用于与本方法作对比的处理方法有Lee滤波、Kuan滤波、NCDF(NonlinearComplexDiffusionFilter)、SRAD(SpeckleReducingAnisotropicDiffusion)、NMWD(NonlinearMulti-scaleWaveletDiffusion)和SRBF(SpeckleReductionBilateralFilter)，噪声均方差σn=7.951 6。这些方法在本次仿真用到的参数设置如表1所示。

表1 仿真参数设置

从图2实验结果中可以从直观的角度看出本方法在处理含有斑点噪声图像的优势。为了更好地验证本方法对噪声图像的处理效果，本文从定量的角度再次对各种方法进行对比，实验结果如表2所示。

图2 仿真实验直观图像对比

处理方法PSNR/dBLee25.3084Kuan23.3303NCDF25.3521SRAD22.5392NMWD19.7916SRBF22.7242CS-SD25.3378

不难看出，本文所提出的方法在直观与客观评价指标下几乎都是最好的，甚至超出有些其他方法很多，效果非常明显。

4 结束语

压缩感知理论应用于图像去噪已经有大量相关研究，但是大部分对象仅局限于高斯白噪声。斑点噪声常见于超声与雷达图像，其去噪方法也以滤波为主。本文旨在将压缩感知理论应用于斑点噪声的抑制，通过对斑点噪声模型的分析，针对性地改进稀疏表示与字典更新方法，创新地将压缩感知的优势结合到去噪算法当中。最后在理论分析的基础上进行了仿真实验，仿真结果显示，相比传统去噪算法，改进后的算法得到去噪效果更佳的图像，并且在PSNR的比较上同样有优势。

[1]LeeJS.DigitalImageEnhancementandNoiseFilteringbyUseofLocalStatistics[J].PatternAnalysisandMachineIntelligence,IEEETransactionson,1980(2)：165-168.

[2]KuanDT,SawchukAA,StrandTC,etal.AdaptiveNoiseSmoothingFilterforImageswithSignal-DependentNoise[J].PatternAnalysisandMachineIntelligence,IEEETransactionson,1985(2)：165-177.

[3]PeronaP,MalikJ.Scale-spaceandEdgeDetectionUsingAnisotropicDiffusion[J].PatternAnalysisandMachineIntelligence,IEEETransactionson,1990,12(7)：629-639.[4]SalinasHM,FernándezDC.ComparisonofPDE-basedNonlinearDiffusionApproachesForImageEnhancementAndDenoisinginOpticalCoherenceTomography[J].IEEETransactionsonMedicalImaging,2007,26(6)：761-771.[5]YuY,ActonST.SpeckleReducingAnisotropicDiffusion[J].ImageProcessing,IEEETransactionson,2002,11(11)：1260-1270.

[6]YueY,CroitoruMM,BidaniA,etal.NonlinearMultiscaleWaveletDiffusionforSpeckleSuppressionAndEdgeEnhancementinUltrasoundImages[J].MedicalImaging,IEEETransactionson,2006,25(3)：297-311.

[7]BaloccoS,GattaC,PujolO,etal.SRBF：SpeckleReducingBilateralFiltering[J].UltrasoundinMedicine&Biology,2010,36(8)：1353-1363.

[8]BurckhardtCB.SpeckleinUltrasoundB-modeScans[J].SonicsandUltrasonics,IEEETransactionson,1978,25(1)：1-6.

[9] 蔡泽民,赖剑煌.一种基于超完备字典学习的图像去噪方法[J].电子学报,2009,37(2)：347-350.

[10]EladM,AharonM.ImageDenoisingViaSparseandRedundantRepresentationsoverLearnedDictionaries[J].ImageProcessing,IEEETransactionson,2006,15(12)：3736-3745.

[11]YangJ,WrightJ,HuangT,etal.ImageSuper-ResolutionasSparseRepresentationofRawImagePatches[C]∥ComputerVisionandPatternRecognition,CVPR2008,IEEEConferenceon,2008：1-8.

[12]AharonM,EladM,BrucksteinA.K-SVD：AnAlgorithmforDesigningOvercompleteDictionariesForSparseRepresentation[J].SignalProcessing,IEEETransactionson,2006,54(11)：4311-4322.

A Speckle Denoising Method Based on Compressed Sensing

ZHOU Ruo-fei,WANG Gang

(Communication Research Center，Harbin Institute of Technology，Harbin Heilongjiang 150001，China)

Due to the bad channel environment and poor image sampling equipment,images are often contaminated by noise in the process of collection,transmission and processing.Speckle noise,which is difficult and complex to eliminate,is one of the common noise appearing in image processing.Considering that traditional denoising methods do not work satisfactorily in speckle noise reduction,a speckle denoising method based on compressed sensing is proposed,which combines the CS theory and DIP(Digital Image Processing).The first step is to set up the speckle noise model,then the denoising model is established according to the CS theory and the corresponding optimization problem is raised.This problem is divided into three parts：the sparse representation stage,the dictionary updating stage and the image restoration stage.A modified OMP(Orthogonal Matching Pursuit) method and an improved K-SVD method are used to solve these problems and get the denoised image.At last,simulations are conducted to compare the CS method and traditional methods.It is shown that the CS-based speckle denoising method performs well in PSNR and can significantly enhance the visual quality of the image.

compressed sensing;image denoising;OMP;K-SVD

10.3969/j.issn.1003-3114.2017.02.06

周若飞，王 钢.一种基于压缩感知的斑点噪声去除算法[J].无线电通信技术,2017,43(2)：25-28,37.

2016-12-09

国家自然科学基金项目(61671184;61401120);国家科技重大专项(2015ZX03001041)

周若飞(1989―)，男，博士，主要研究方向：压缩感知与图像处理、压缩感知与网络编码。王 钢(1962―)，男，教授，博士生导师，主要研究方向：信源信道编码、压缩感知、物理层网络编码。

TN919.81

A

1003-3114(2017)02-25-4