反思为“引”，让思维走向深刻

谢荣

[摘 要]数学教学的重要目标是提升学生的数学思维能力，而引导学生适时反思是提升学生数学思维的有效途径。在教学中，教师应引导学生在反思中分辨异同，在反思中疏通阻碍，在反思中变通发展，在反思中纵横联系，在反思中突破定式，让学生的数学思维走向深刻。

[关键词]数学思维能力；反思；思维定式；思维深刻

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）02-035

课程标准的提出，让数学课堂教学从最初的追求课堂热闹走向了追求数学的本真，启迪学生的思维。将具体数学知识内容的教学与数学思维的教学有机结合，在解决具体数学知识内容的过程中提升学生的数学思维能力，这是数学教学的重要目标。弗赖登塔尔曾说：“反思是数学思维活动的核心与动力。”要让学生养成主动反思的习惯，就需要教师在学生思维定式与僵化处适时引导学生反思，开阔学生的思维路径，提升学生思维的广度和深度。

一、反思引“辨”，在思维混沌处辨清晰

学生对问题的认识要经历一个从模糊到清晰的过程，在对问题本质没有深刻理解之前，相近的概念、类似的方法总会让学生的思维陷入混沌中。这时，需要教师及时引导学生反思，通过适当的对比，让学生的思维从混沌走向清晰。

例如，三年级“认识分数”教学片断。

师：将6个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这些桃的几分之几？

生1：每只小猴分得这些桃的 。

生2：每只小猴分得这些桃的 。

师：你是怎么想的呢？

生1：6个桃平均分成了2份，每只小猴分得其中的1份，就是这些桃的 。

生2：6个桃平均分给2只小猴，每只小猴分到3个桃，就得到 。

师： 表示什么意思？

生2：平均分成6份，表示其中的3份。

教师引导学生画图分一分，弄清 和 的区别，虽然这里都是3个桃，但表示的意义不同。三年级的学生对分数已经有了初步的认识，对平均分一个物体，得到几分之一或几分之几印象深刻，但是，容易把“将几个物体看作一个整体进行平均分，表示这个整体的几分之一或几分之几”和“每份有几个”混淆。学生习惯把平均分的总数量当作分母，把每份的具体数量当作分子，这也暴露了学生没有真正理解分数的本质。教师在这里就需要帮助学生进行反思辨析，通过分一分、比一比，比较 和 的本质含义，明确分数的分子和分母表示的是平均分的份数，而不是具体的个数。

二、反思引“变”，在思维单一处变丰富

例如，四年级“除法解决实际问题”教学片断。

师（出示问题）：光明小学有6个年级，每个年级有5个班，共有360盆花，平均每个班有多少盆花？

师：怎么解决这个问题？

生1：360÷6÷5。先算平均每个年级有多少盆，再算平均每个班有多少盆。

生2：360÷（6×5）。先算一共有多少个班，再算平均每个班有多少盆。

生3：360÷5÷6。这个算式的结果和前面一样，但是意思我不知道。

不少学生也表示无法说出生3列式的意思。就这样顺着学生的思维，放弃这种解法吗？教师通过画图引导学生反思：

先画出示意图，每个圆圈代表一个班。横着分（如图1），一行就是一个年级分得的盆数，即生1解法的第一步，先算每个年级有多少盆。学生观察思考后，得出还可以竖着分（如图2），一列就是每个年级的一个班分得的盆数，即生3解法的第一步，先算每個年级的一个班分得多少盆。学生的思维一下子就打开了，类似的问题都想到了用画图的方法来解释。由于学生对问题认识的局限性，以及解决方法不够灵活，如果仅从算式表面的意义去解释，思维就走向单一，这时就需要教师引导学生反思方法，变换思考途径，借助图形的直观性帮助学生拨云见日，丰富学生的思维方法。

三、反思引“联”，在思维孤立处寻关联

无论是数学知识概念、计算方法，还是解题策略，它们都不是孤立存在的。由于课堂教学的时间有限，当教师把一个个知识、方法的“零部件”交给学生时，学生却一筹莫展，那么学生的思维势必已陷入孤立无援的状态。这时就需要教师引导学生反思知识的内在联系，让知识概念、方法系统化，让思维有序延伸和扩充。

如，在教学“商不变的规律”后，教师引导学生反思：1.怎样让商变化呢？2.商不变，余数是不是也不变呢？3.由商不变，你还能想到什么？ 第一个问题是引导学生反思从商变化的角度来透彻理解“商不变的规律”，把握“商不变规律”的本质。第二个问题是让学生反思“商不变的规律”对余数是否适用，为后续研究提供方向。第三个问题是引导学生反思“商不变的规律”与以前的学习内容有什么关联，发散思考求得联系。学生有的想到有没有积不变的规律、和不变的规律、差不变的规律，还有的想知道被除数不变的规律、除数不变的规律是什么。这样思维就不再是“管中窥豹”，而是放眼全局，纵横关联了。

四、反思重构，在思维定式处找突破

例如，六年级“平面图形面积的复习”教学片断。

师（出示平面图形的纸片）：刚才我们复习了这些平面图形的面积计算方法，你能根据它们之间的关系，把这些图形重新排一排吗？

（学生小组讨论后汇报）

生1：我觉得长方形的面积是最重要的。因为正方形是特殊的长方形，平行四边形可以剪拼成长方形，三角形和梯形都可以通过转化得到平行四边形，圆形也可以转化成长方形，所以长方形的面积是最重要的。（如图3）

生2：我也同意长方形的面积是最基础的，其他图形都可以转化成长方形。

师：看来大部分同学都认同这种意见，长方形面积计算方法是基础，由长方形的面积可逐个推导出其他几个图形的面积计算方法。还有其他的想法吗？在计算机中，复杂的图形都是转化成三角形的，难道三角形是基础图形？（引导学生反思）

生3：如果从三角形的面积入手，长方形、正方形和平行四边形都可以分成两个完全相同的三角形，因此这三个图形的面积是和它等底等高的三角形面积的2倍。

生4：梯形面积可以转化成两个三角形的面积或是一个大三角形的面积。（如图4）

生5：圆形只能转化成长方形，不能转化成三角形。

师：我们在研究圆的面积的时候，确实是把圆形转化成长方形，但是圆形并不只能转化成长方形，也可以转化成三角形（如图5）。这样转化，什么不变？转化后三角形的底和高分别是圆形中的什么呢？

生6：转化后面积不变。三角形的底是圆的周长，高是圆的半径，圆的面积等于三角形的面积=2πr×r÷2=πr2。这样还可以从三角形的面积公式推算出其他平面图形的面积公式。

在以上教学片断中，学生有两处容易形成思维定式：一是认为平面图形面积公式只能与长方形面积计算有联系，二是认为圆的面积只能转化为长方形。思维定式产生的原因，在于教师平时的教学也按照教材的呈现方式循规蹈矩，亦步亦趋。在重构图形面积关系时，教师应给予学生充分自主思考和探究的时间，引导学生反思有没有不同的面积关系重排方式，鼓励学生打破常规，摆脱思维定式，对每一种重构方式进行思考和辨析，弄清楚来龙去脉。在圆的面积的转化教学中，教师借助图形的几何直观，让学生反思：“这样转化，什么不变？转化后三角形的底和高分别是圆形中的什么？”让学生辨清楚三角形与圆的面积相等，三角形的底是圆的周长，高是圆的半径。这样不但能丰富学生的活动经验，在不断观察、反思中学生还能突破思维定式，构建新的知识网络。

反思不仅仅是对数学学习的简单回顾，更是对数学思维活动的再提升，它能带动学生积极、主动地投入数学活动中，是一把启迪学生智慧的金钥匙。学生反思的广度、深度以及反思的习惯养成上均未达到自觉程度时，就需要教师积极引导，使学生在反思中分辨异同，在反思中疏通阻碍，在反思中变通发展，在反思中纵横联系，在反思中突破定式。

（责编 李琪琦）