厘清概念 掌握运算 透视考点

数与式是中考必考知识点，一般分值占中考总分10%左右，主要考查同学们对基本概念的理解和基本运算的掌握情况，现以2016年中考题为例，聚焦中考中的“数与式”，供同学们复习时参考.

一、考查数与式的相关概念

1.正、负数的识别.

例1 （2016·攀枝花）下列各数中，不是负数的是（ ）.

A.-2 B.3 C.[-58] D.-0.10

【分析】利用负数的定义判断即可得到结果.

解：由负数的定义知，-2，[-58]，-0.10均为负数，而3不是负数.故选B.

【点评】负数可以从以下两个方面识别：①根据数前面的符号：非零数前面只有一个“-”号是负数，非零数前面只有一个“+”号是正数；②根据与零的大小关系：大于零的数是正数，小于零的数是负数.

2.相反数、倒数.

例2 （2016·永州）[-12016]的相反数的倒数是（ ）.

A.1 B.-1 C.2016 D.-2016

【分析】本题应先求相反数，再求倒数.

解：[-12016]的相反数是[12016]，[12016]的倒数是2016.故选C.

【点评】求一个数的相反数，相当于改变这个数的符号，即在这个数前面加上“-”号；求一个数的倒数，即求1除以这个数的商.

3.数的开方.

例3 （2016·常德）4的平方根是（ ）.

A.2 B.-2 C.[±2] D.±2

【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数.

解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2.故选D.

【点评】本题考查了求一个正数的平方根，这类题一般比较简单，记住它们的概念是解题的前提.这类题有如下规律：非负数a的平方根是[±a]，算术平方根是[a]，立方根是[a3].

4.无理数的概念.

例4 （2016·宜黄）下列各数：1.414，[2]，[-13]，0，其中是无理数的为（ ）.

A.1.414 B.[2] C.[-13] D.0

【分析】无理数是无限不循环小数，符合这个要求的就是无理数，当然需要化简或计算的要看化简以后的结果.

解：因为1.414和[-13]都是分数，0是有理数，故只有[2]是无理数.故选择B.

【点评】常见的无理数有以下几种形式：①开方开不尽的数，如[2]，[3]，[-3]，[33]；②特定意义的数，如圆周率π，tan30°；③特定结构的数，如0.1010010001….特别注意像[22]，[π3]等含开方开不尽的数或含π的数不是分数而是无理数.

5.科学记数法.

例5 （2016·达州）在“十二五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元，年均增长约10%，将1351亿元用科学记数法表示应为（ ）.

A.1.351×1011 B.13.51×1012

C.1.351×1013 D.0.1351×1012

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤[a]<10，n为整数.先数出这个数共有多少数位，再根据科学记数法的定义确定答案.

解：把1351亿写成135100000000，它的整数位有12位，此时a=1.351，n=12-1=11.故选A.

【点评】科学记数法的表示方法：a值的确定：1≤a<10；n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；②当原数小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的個数（含小数点前的零）；③有数字单位的科学记数法，先把数字单位转化为数字表示，再用科学记数法表示.

6.实数与数轴.

例6 （2016·北京）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）.

A.a>-2 B.a<-3

C.a>-b D.a<-b

【分析】观察数轴得到a，b的正负性及离原点的距离，从而解决问题.

解：由数轴可知，-3

误；又知1

-2<-b<-1，即-b在-2与-1之间，所以a<

-b.故选D.

【点评】观察数轴上的数应从两方面入手：①数的正负性，数在原点左侧则负，数在原点右侧则正；②数离原点的距离大小.另外利用数轴还可以比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”与“形”结合起来，体现了数形结合思想.

7.整式的有关概念.

例7 （2016·铜仁）单项式[πr22]的系数是（ ）.

A.[12] B.π C.2 D.[π2]

【分析】直接利用“单项式中的数字因数叫做单项式的系数”解题.

解：单项式[πr22]的系数是：[π2].故选D.

【点评】单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关.另外单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.

8.同类项.

例8 （2016·常德）若-x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

【分析】根据同类项的定义，即相同字母的指数相同，可分别求出a、b的值.

解：由同类项的定义，得a=1，b=3，a+b=4.故选C.

【点评】所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的项叫做同类项，据此列出方程（组）即可解决这类问题.

9.分式的有关概念.

例9 （2016·北京）如果分式[2x-1]有意义，那么x的取值范围是 .

【分析】分式有意义，必须使分母不为零，由此可得x的取值范围.

解：由分式的意义，知x-1≠0，解得x≠1.故答案为x≠1.

【点评】分式是否有意义，只取决于分式的分母，与分式的分子无关.

例10 （2016·湘潭）若分式[x-1x+1]的值为0，则x=（ ）.

A.-1 B.1 C.±1 D.0

【分析】根据分式的值为0的条件“分子为0，分母不等于0”，列出方程和不等式求解.

解：由题意可知：x-1=0，得x=1.由x+1≠0，得x≠-1，所以x=1.故选B.

【点评】此类问题容易出错的地方是忽视分式的值为0的前提条件：分式有意义，即分母不等于0.

10.二次根式的有关概念.

例11 （2016·白银）下列根式中是最简二次根式的是（ ）.

A.[23] B.[3] C.[9] D.[12]

【分析】最简二次根式满足下面的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.根据这两个条件进行辨别.

解：A选项：[23]不是最简二次根式，因为根号中含有分母；B选项：[3]是最简二次根式；C选项：[9]不是最简二次根式，因为根号中含有开得尽的因数；D选项：[12]不是最简二次根式，因为根号中含有开得尽的因数.故选B.

【点评】判断最简二次根式时，特别要注意分母中不能含有根号哦！

11.二次根式有意义的条件.

例12 （2016·西宁）若式子[x+1]有意义，则x的取值范围是 .

【分析】二次根式有意义，必须满足被开方数是非负数，然后解不等式即可.

解：∵二次根式[x+1]有意义，∴x+1≥0，∴x≥-1.故答案为x≥-1.

【点评】解决这类问题的关键是由被开方数是非负数得出不等式，解这个不等式即可.对于分式形式的代数式，同学们还要注意所取的字母的值不能使分母为零.

二、考查数与式的运算能力

1.幂的运算.

例13 （2016·茂名）下列各式计算正确的是（ ）.

A.a2·a3=a6 B.（a2）3=a5

C.a2+3a2=4a4 D.a4÷a2=a2

【分析】分别从“同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项的法则、同底数幂的除法法则”逐个验证各选项的正确性.

解：a2·a3=a2+3=a5；（a2）3=a2×3=a6；a2+3a2=（1+3）a2=4a2；a4÷a2=a4-2=a2.故选择D.

【点评】幂的运算是整式运算的基础，需要熟练掌握，注意不要混淆相关知识，尤其是幂的乘方不要与同底数幂的乘法混淆，幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算，而同底数幂的乘法运算是转化为指数的加法运算.

2.无理数的估算.

例14 （2016·毕节）估计[6+1]的值在（ ）.

A.2到3之间 B.3到4之间

C.4到5之间 D.5到6之间

【分析】先找到紧挨6的两个完全平方数，再判断[6]夹在哪两个正整数之间，从而判断[6+1]夹在哪两个正整数之间.

解：∵4<6<9，∴2<[6]<3，∴3<[6]+1<4.故选B.

【点评】本题主要考查对[a]的估算能力，解决此类问题的关键是确定与a相邻的两个平方数，即比a大和比a小，且同时最接近a的平方数，然后分别求出这些平方数的算术平方根，便可知[a]在哪两个整数之间，从而得到[a±b]（b为整数）的范围.

3.因式分解.

例15 因式分解：（1）（2016·襄阳）2a2-2= ；

（2）（2016·深圳）a2b+2ab2+b3= .

【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式；（2）先提取公因式b，剩下（a2+2ab+b2）正好满足完全平方公式.

解：（1）2（a+1）（a-1）；（2）b（a+b）2.

【点评】因式分解问题应首先考虑是否能提公因式，找公因式应从系数、字母和字母的指数三个方面分别考虑.没有公因式或提公因式后，再根据项数考虑公式法，两项则判定是否可用平方差公式，三项则判定是否可用完全平方公式，三项以上则应考虑使用分组分解法.

4.非负数性质的应用.

例16 （2016·自贡）若[a-1]+b2-4b+4=0，则ab的值等于（ ）.

A.-2 B.0 C.1 D.2

【分析】[a-1]+b2-4b+4=0可变形为[a-1]+（b-2）2=0，根据非负数的和为零可得a、b的值，再根據有理数的乘法得到答案.

解：由[a-1]+b2-4b+4=0可得：[a-1]+（b-2）2=0，∴a-1=0，b-2=0，解得a=1，b=2，∴ab=2.故选D.

【点评】初中阶段学习了三种非负数：①[a]≥0；②a2≥0；③[a]≥0.如果出现几个非负数的和为零，则说明这几个非负数的值都等于0，此时可得一个方程组，解方程组即可求得未知数的值.

5.实数的运算.

例17 （2016·海南）计算：6÷（-3）+[4]-8×2-2.

【分析】先计算有理数除法、算术平方根、负整数指数幂及有理数乘法，最后再加减.

解：原式=-2+2-8×[14]=-2+2-2=-2.

【点评】实数的计算题常常将零指数幂、负整数指数幂、倒数、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值、幂的运算性质等集于一题，综合考查运算能力，解题时需记住以下规律：①对于一个非零数a，有a0=1，需要注意a必须是一个非零数，否则没有意义；②对于一个数的负整数指数幂的求法公式：a-n=[1an]，应注意a≠0，n为正整数.

6.整式的运算.

例18 （2016·乌鲁木齐）先化简，再求值：（x+2）（x-2）+（2x-1）2-4x（x-1），其中x=[23].

【分析】先利用乘法公式和单项式与多项式乘法法则进行化简，再合并同类项，最后代入数值进行计算.

解：原式=x2-4+（4x2-4x+1）-（4x2-4x）=x2-4+4x2-4x+1-4x2+4x=x2-3.当x=[23]时，原式=（[23]）2-3=12-3=9.

【点评】整式的化简求值问题是中考的必考内容，主要涉及整式的乘除、乘法公式和整式的加减，同学们只要能熟练掌握有关法则及公式就可以解决此类问题.

7.分式与二次根式的运算.

例19 （2016·恩施）先化简，再求值：[a-32a-4]÷[a+2-5a-2]，其中a=[5-3].

【分析】先确定分式的运算顺序：先算小括号内的，再进行除法运算，最后代入求值.

解：原式=[a-32a-2]÷[a2-4a-2-5a-2]=[a-32a-2]÷[a2-9a-2]=[a-32a-2]·[a-2a+3a-3]=[12a+3].当a=[5-3]时，原式=[125]=[510].

【点评】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.另外分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.

（作者单位：江苏省海门市实验初级中学）