环Z4+uZ4上的斜循环码

陈 楠, 朱士信

(合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230009)

环Z4+uZ4上的斜循环码

陈 楠, 朱士信

(合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230009)

文章研究了环R=Z4+uZ4(u2=0)上的斜循环码,通过分析斜多项式环R[x;σ]的结构和性质给出了斜循环码的生成元;并证明了环R上的斜循环码等价于该环上的循环码或一类准循环码;进一步给出了斜循环码的计数及偶长的欧几里得内积和厄米特内积下对偶码的生成元。

斜多项式环;斜循环码;循环码;准循环码;对偶码;生成元

近年来,随着纠错码理论的发展,有限域上线性码和循环码理论日益完善,许多学者逐渐将研究的重点转移到环上的编码理论,特别是有限环。文献[1-7]通过Gray映射、Hensel提升、离散傅里叶变换等工具研究了有限环上循环码和常循环码的结构、自对偶码等,并得到了对应有限域上的一些最优码。最近,利用有限非交换的代数结构来构造码的方法也引起了学者的广泛关注。文献[8-12]首次研究了有限非交换斜多项式环上的线性码,构造了一种广义的循环码,称为斜循环码;并研究了斜多项式环的结构和性质。随后,斜循环码的研究被推广到其他类型的有限环上。文献[13-20]通过构造特殊的环自同构,讨论了几类有限非链环上的斜循环码,并得到了相应的结果。目前,环Z4+uZ4(u2=0)引起了人们的广泛关注。文献[21]研究了环Z4+uZ4上的线性码,并利用线性码构造了许多形式的自对偶码。文献[22]研究了环Z4+uZ4上的循环码。但有关环Z4+uZ4上的斜循环码方面的研究不多。为此本文对环Z4+uZ4上的斜循环码展开研究。

本文首先在环上定义了一个自同构,研究了斜多项式环R[x;σ]的结构和性质,并给出了斜循环码的生成元;其次考虑了环Z4+uZ4上斜循环码的结构性质和计数问题;最后确定了在欧几里得内积和厄米特内积下环Z4+uZ4上偶长度的斜循环码的对偶码的生成元。

1 基本知识

设R=Z4+uZ4(u2=0),则R是特征为4的有限交换环;环R上的任意元素r都可以唯一地表示为r=a+bu,其中a,b∈Z4。环R的性质为:

(1) 环R有〈0〉,〈1〉,〈u〉,〈2u〉,〈2〉,〈2+u〉,〈2,u〉7个理想。

(2) 环R是局部Frobenius环,但不是主理想环,并且有唯一的极大理想〈2,u〉。

(3) 环R单位可表示为R*={a+bu|a≡±1(mod 4)}。

在环R上定义一个自同构σ:R→R,a+bu|→a-bu。对∀r∈R,都有σ2(r)=r,即σ是一个2阶自同构。下文中出现的σ若无特殊说明都是指如上定义的同构映射。

定义1[13]称环R上多项式集合R[x;σ]={c0+c1x+…+cn-1xn-1|ci∈R，0≤i≤n-1}为斜多项式环，其中,加法定义为通常的多项式加法,乘法定义为(axi)*(bxj)=aσi(b)xi+j。

易知环R[x;σ]是非交换环,且带余除法在R[x;σ]上不成立。定义环R[x;σ]的中心为:

定理1xn-1∈Z(R[x;σ])当且仅当n是偶数。

反之，设(xn-1)∈Z(R[x;σ]),(xn-1)*cmxm=cmxm*(xn-1)。对∀cm∈R,有(xn-1)*cmxm=σn(cm)xn+m-cmxm和cmxm*(xn-1)=cmxn+m-cmxm,可推出σn(cm)=cm,故n是偶数。

推论1 设n是偶数,若xn-1=f(x)*g(x)∈Z(R[x;σ]),则有：

引理1 对f(x),g(x)∈R[x;σ],若满足deg(f(x))>deg(g(x))和L(f(x))∈〈L(g(x))〉,则存在λ∈R,e(x)∈R[x,σ],有

其中,e(x)=0或deg(e(x))

证明 与文献[17]中引理2.3的证明类似。

引理2[17]设f(x),g(x)∈R[x;σ],若L(g(x))是R的单位,则存在唯一一组多项式q(x),e(x)∈R[x;σ],使得：

其中,e(x)=0或deg(e(x))

证明 与文献[8]中引理2.3的证明类似。

2 环Z4+uZ4

称P(C)为码C的多项式表示。

定义3 Rn的n维非空子集C叫做R上长度为n的斜循环码,若C满足以下条件:

(1)C为Rn的子模。

(2) 若(c0,c1,…,cn-1)∈C,则(σ(cn-1),σ(c0),…,σ(cn-2))∈C。

类似循环码可证:C为R上长度为n的斜循环码当且仅当P(C)为R[x;σ]/(xn-1)的一个理想。对于这2种表示,文中不作区别。

设Rn=R[x;σ]/(xn-1),Rn中的加法为通常的多项式加法,乘法的定义如下:

若f(x)∈Rn,对∀h(x)∈R[x;σ],有

f(x)mod(xn-1),

则称Rn是左R[x;σ]-模。

定理2 码C是R上长度为n的斜循环码,当且仅当码C是左R[x;θ]-模Rn的左R[x;θ]-子模。

证明 与文献[14]中定理10的证明类似。

证明 与文献[13]中定理3的证明类似。

下面讨论C中最低次数的多项式不是首一多项式的情况。

定理4 设C是R上长度为n的斜循环码,且含有首一多项式。若C中最低次数的多项式不是首一的,则C=〈a1(x),a2(x),au(x),a2u(x),a2+u(x)〉,其中,对i=1，2，u，2u，2+u,ai(x)表示C中首项系数为i的次数最低的多项式。

证明 设a1(x)为C中首项系数为1的次数最低的多项式,则对∀c(x)∈C,由引理2知,存在唯一一组多项式q0(x),e0(x)∈R[x;σ],使c(x)=q0(x)*a1(x)+e0(x),其中,e0(x)=0或deg(e0(x))

(1) 当L(e0(x))∈〈2〉时,由引理1知,存在多项式q1(x),e1(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e1(x)=0或deg(e1(x))

(2) 当L(e0(x))∈〈u〉时,由引理1知,存在多项式q2(x),e2(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e2(x)=0或deg(e2(x))

(3) 当L(e0(x))∈〈2u〉时,由引理1知,存在多项式q3(x),e3(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e3(x)=0或deg(e3(x))

(4) 当L(e0(x))∈〈2+u〉时,由引理1知,存在多项式q4(x),e4(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e4(x)=0或deg(e4(x))

由上述讨论知,存在唯一一组多项式l1(x),l2(x),l3(x),l4(x),e(x)∈R[x;σ],使得:

其中,e(x)=0或deg(e(x))

在定理4中,码C中次数最低的多项式不是首一多项式,即C中存在次数最低的多项式ai(x)。下面将对其展开讨论。

引理3[18]若f(x)是码C中次数最低的多项式,但首项系数不为1,则f(x)=ftg(x),其中ft∈R,且ft∈〈2,u〉,g(x)为R中首一多项式。

定理5 设C是R上长度为n的斜循环码。若码C中不含首一多项式,则

进一步,

(1) 若a2(x)为C中次数最低的多项式,则C=〈a2(x),au(x),a2+u(x)〉;且若au(x)次数与a2(x)相等,则C=〈2g(x),ug(x)〉,其中g(x)为R中某首一多项式。

(2) 若au(x)为C中次数最低的多项式,则C=〈a2(x),au(x),a2+u(x)〉;且若a2(x)次数与au(x)相等,则C=〈2g(x),ug(x)〉,其中g(x)为R中某首一多项式。

(3) 若a2+u(x)为C中次数最低的多项式,则C=〈a2(x),au(x),a2+u(x)〉。

证明 证明与定理4同理。

定理6 设C是R上长度为n的斜循环码。当n为偶数时,C等价于环R上长度为n、指数为2的准循环码;当n为奇数时,C等价于环R上长度为n的循环码。

证明 (1) 当n为偶数时，设n=2m(m∈N+),对任意(c0,0,c0,1,c1,0,c1,1,…,cm-1,0,cm-1,1)∈C,由|σ|=2得σ2(c0,0,c0,1,c1,0,c1,1,…,cm-1,0,cm-1,1)=(cm-1,0,cm-1,1,c0,0,c0,1,c1,0,c1,1,…,cm-2,0,cm-2,1)∈C。因此,当n为偶数时,C等价于环R上长度为n、指数为2的准循环码。

(2) 当n为奇数时,gcd(2,n)=1,存在整数s、t,使得2s+tn=1,由此得2s=1-tn=1+an,其中a>0。设c(x)=c0+…+cn-1xn-1∈C,有x2s*c(x)=σ2s(c0)x1+an+σ2s(c1)x2+an+…+σ2s(cn-1)xn+an=cn-1+c0x+…+cn-2xn-2∈C。因此,当n为奇数时,C等价于环R上长度为n的循环码。

推论2 (1) 若n为偶数,则环R上长度为n的斜循环码的个数等于(R[x]/(xm-1))2的R[x]/(xm-1)-子模的个数,其中n=2m。

例1 设R=Z4+uZ4,n=4,g(x)=x2+2x+3,则由g(x)生成的长度为4的斜循环码等价于R上长度为4、指数为2的准循环码。

例2 若R=Z4+uZ4,n=3,g(x)=x2+x+1,则由g(x)生成的长度为3的斜循环码等价于该环上长度为3的循环码。由于x3-1=(x-1)(x2+x+1),斜循环码的个数为 (21+5)×(22+5)=63。

例3 若R=Z4+uZ4,n=5,g(x)=x4+x3+x2+x+1,则由g(x)生成的长度为5的斜循环码等价于该环上长度为5的循环码。由于x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1),斜循环码的个数为(21+5)×(24+5)=147。

3 环Z4+uZ4上斜循环码的两类对偶码

本节讨论环R上斜循环码的两类对偶码(欧几里得对偶码和厄米特对偶码)问题。设x=(x1,…,xn)∈Rn,y=(y1,…,yn)∈Rn,x和y的欧几里得内积定义为:

x和y的厄米特内积定义为:

若〈x,y〉E=0或[x,y]H=0,则称x与y关于相应的内积正交。

定义4[20]设C是R上长度为n的斜循环码,在欧几里得内积下的对偶码定义为:

在厄米特内积下对偶码的定义为:

若C⊆C⊥,则称C为欧几里得自正交码;若C=C⊥,则称C为欧几里得自对偶码。在厄米特内积下的定义类似。

引理4 设C是环R上长度为n的斜循环码,则C⊥和C*也是环R上的斜循环码。

证明 因为码C是R上长度为n的斜循环码,所以对任意a=(a0,a1,…,an-1)∈C,有

若n为奇数,有σn-1(ai)=ai,则由a1b0+a2b1+…+a0bn-1=0得(bn-1,b0,…,bn-2)∈C⊥;由σ(a0)bn-1+σ(a1)b0+…+σ(an-1)bn-2=0得(σ(bn-1),σ(b0),…,σ(bn-2))∈C⊥,即C⊥为R上的斜循环码。

若n为偶数,有σn-1(ai)=σ(ai),则由σ(a1)b0+σ(a2)b1+…+σ(a0)bn-1=0得a0σ(bn-1)+a1σ(b0)+…+an-1σ(bn-2)=0,进而有(σ(bn-1),σ(b0),…,σ(bn-2))∈C⊥,即C⊥为R上的斜循环码。

同理可证C*也是R上的斜循环码。

引理5 设d(x)∈Z(R[x;σ]),且d(x)=u(x)*v(x),其中u(x),v(x)∈R[x；σ]都是首一多项式,则u(x)*v(x)=v(x)*u(x)。

证明 由d(x)=u(x)*v(x)∈Z(R[x;σ])知,对一切u(x)∈R[x；σ],有(u(x)*v(x))*u(x)=u(x)*(u(x)*v(x)),直接推出u(x)*(v(x)*u(x)-u(x)*v(x))=0。又因为u(x)是R[x；σ]中的首一多项式,不是零因子,所以在R[x;σ]中，u(x)*v(x)=v(x)*u(x)。

引理6 设n为偶数,xn-1=u(x)*v(x)∈Z(R[x；σ]),其中,u(x)和v(x)是R[x；σ]中的首一多项式,且C=〈v(x)〉是R上长度为n的斜循环码,则c∈C当且仅当在Rn中c(x)*u(x)=0。

证明 设c∈C,因为C=〈v(x)〉是R上长度为n的斜循环码,所以存在r(x)∈R[x；σ],使得c(x)=r(x)*v(x)。由推论1和引理4知,在Rn中,c(x)*u(x)=(r(x)*v(x))*u(x)=r(x)*(u(x)*v(x))=0。反之,在R[x；σ]中,c(x)*u(x)=r(x)*(xn-1)=r(x)*u(x)*v(x)=r(x)*v(x)*u(x),u(x)是R[x；σ]中的首一多项式,故c(x)=r(x)*v(x),进而有c∈C。

定理7 当n为偶数时,(xn-1)∈Z(R[x；σ]),xn-1=u(x)*v(x),其中,u(x)和v(x)是R[x；σ]中的首一多项式。设C=〈v(x)〉是R上长度为n的斜循环码,且dim(C)=k。若u(x)=u0+u1x+…+uk-1xk-1+xk和v(x)=v0+v1x+…+vn-k-1xn-k-1+xn-k,则

(1)C⊥=〈ua(x)〉,在Rn中,ua(x)=σk(u0)xk+σk-1(u1)xk-1+…+σ(uk-1)x+1。

(2)C*=〈ub(x)〉,在Rn中,ub(x)=σk+1(u0)xk+σk(u1)xk-1+…+σ2(uk-1)x+1。

其中,uk=1，ut=0，k+1≤t≤n-1。

设α=(us,σ(us-1),…,σs(u0),σs+1(un-1),…,σn-1(us+1)),由(1)可得〈c,α〉E=0。由此推出,对0≤s≤n-1,ps=0当且仅当c∈C与(un-1,σ(un-2),…,σn-1(u0))及其所有的斜循环移位都是欧几里得正交,故〈ua(x)〉⊆C⊥。当k为奇数时,设va(x)=1+vn-k-1x+σ(vn-k-2)x2+…+σ(v1)xn-k-1+v0xn-k,可知va(x)*ua(x)=0。当k为偶数时,设va(x)=1+σ(vn-k-1)x+vn-k-2x2+…+σ(v1)xn-k-1+v0xn-k,有va(x)*ua(x)=0。

综上所述,ua(x)是xn-1的右因子,且|〈ua(x)〉|=|R|n-k=|C⊥|,故C⊥=〈ua(x)〉。

(2) 证明与(1)同理。

推论3 设C=〈v(x)〉是环R上长度为偶数的斜循环码,则有：①C是欧几里得自对偶码当且仅当v(x)=ua(x);②C是厄米特自对偶码当且仅当v(x)=ub(x)。

4 结 论

本文研究了环R=Z4+uZ4(u2=0)上的斜循环码。通过构造环Z4+uZ4上的自同构,探索了环Z4+uZ4上斜循环码的结构和性质。当n为偶数时,讨论了环Z4+uZ4上斜循环码的欧几里得对偶码和厄米特对偶码的生成元。斜循环码具有良好的参数和性质,能为找到好码提供帮助,下一步可以研究环Z4+uZ4上斜循环码的分类。

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(责任编辑 朱晓临)

Skew cyclic codes over ringZ4+uZ4

CHEN Nan, ZHU Shixin

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)

In this paper， a class of linear codes， called skew cyclic codes over the ringR=Z4+uZ4is studied， whereu2=0. By analyzing the structural properties of skew polynomial ringR[x;σ]， the generators of skew cyclic codes are given. It is shown that skew cyclic codes overRare equivalent to either cyclic codes or quasi-cyclic codes overR. Then the enumeration of skew cyclic codes is given， and the generators of even length of dual codes with respect to Euclidean and Hermitian inner products are determined.

skew polynomial ring; skew cyclic code; cyclic code; quasi-cyclic code; dual code; generator

2015-09-25

国家自然科学基金资助项目(61370089)；安徽省自然科学基金资助项目(JZ2015AKZR0229)

陈 楠(1990-)，女，安徽亳州人，合肥工业大学硕士生； 朱士信(1962-)，男，安徽枞阳人，博士，合肥工业大学教授，博士生导师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.01.024

TN911.22

A

1003-5060(2017)01-0135-05