窄带通信中基于Jordan标准型矩阵的喷泉码研究

时琳川，徐松毅，杜文举

(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081;2.中国人民解放军69270部队，新疆 喀什 844000)

窄带通信中基于Jordan标准型矩阵的喷泉码研究

时琳川1，徐松毅1，杜文举2

(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081;
2.中国人民解放军69270部队，新疆 喀什 844000)

针对在窄带通信系统中应用分组级喷泉码技术面临分组数量很少导致译码失败率高的问题，提出采用类Jordan标准型编码图案的编译码算法，推导了改进算法的理论译码成功率，给出了分组长度的最佳取值范围。分析比较了在窄带通信系统中应用传统ARQ机制与分组级喷泉码机制时的时延性能以及信道利用率，仿真结果证明应用分组级喷泉码机制可以提升窄带通信系统的性能。

喷泉码；ARQ；Jordan标准型；窄带通信

0 引言

窄带通信系统[1-2]由于传输速率很低，会带来传输时延较大问题，在采用传统ARQ[3-4]机制进行差错控制时，会导致信道利用率降低以及一次报文传输所需时间较长等缺点。

采用传统无反馈的差错控制机制[5]——随机度[6]分布喷泉码技术，可以减少完成一次消息传输所需时间，提升带宽利用率以及吞吐量。但是在窄带通信系统中，由于业务量不多，所需传输的消息分组数量很少，通常在102以下，此时采用随机度分布编译码算法时，喷泉码[7-8]机制存在译码失败率过高的问题。针对传统喷泉码编译码算法——随机度分布编译码算法在窄带通信系统中译码失败率高的问题，本文通过研究线性方程组理论，分析各种特殊矩阵的性质，提出一种基于Jordan标准型矩阵的改进型喷泉码编译码算法——定义为类Jordan标准型编译码算法。

通过改进喷泉码编译码算法，并在理论和仿真层面来验证对比改进前后编译码算法在当前系统下的译码成功率，得到类Jordan标准型编译码算法在分组数量较少情况下的应用可行性。在此基础上，从理论层面上分析喷泉码分组长度的最优值、信道利用率以及此时系统的时延特性。

1 窄带通信系统

窄带通信系统中采用多种通信手段，保证关键信息在恶劣电磁环境下的可靠传输，其中主要包括对流层散射[9-10]、流星余迹[11]、中长波等窄带及大时延传输手段。为了确保关键信息的可靠传输，窄带通信系统采用并行传输协议[12-13]，对同一条需要传输的消息进行多路备份传输。

整个系统的总体示意图如图1所示。

图1 窄带通信系统路由示意图

窄带通信系统的误码率较高，通常可以达到10-4以上。基于此物理层信道误码率，在上层不采取任何差错控制机制的情况下，分组错误传输概率(丢包率)会达到10%。

2 性能分析

2.1 传统喷泉码编译码算法性能分析

窄带通信系统中业务量比较少，不可能像流媒体视频业务中的传输大量数据包。在业务量较大时，如果采用随机度[14-15]确定方案进行编码时，通过发送大量数据包可以使得每一个原始数据包多次参与编码运算，保证一定数量发送的编码包当中含有该原始数据包的信息，在信道质量较差，丢包率较高的情况下，仍然可以保证一定数量的接收包中含有该原始数据包信息，从而保证完整译码。

(a)分组数为10

(b)分组数为100

由图2可知，随着译码开销[16]的增大，译码成功率也随之增大，但是由于原始分组数量较少，导致高译码成功率所需译码开销太大，并同时验证了，伴随着原始分组数量的增大，随机度编码方案的喷泉码性能也随之提升。

采用传统随机度编码方案的喷泉码，如果译码开销在上述应用场景下控制得很低就会导致译码失败率很高。因此提出采用固定度分布方案——类Jordan标准型度确定矩阵，用以在分组数量低于102的情况下，仍能以较低的译码开销来保证较高的译码成功率。

2.2 类Jordan标准型编译码方案

对于窄带通信系统，在物理层之上不采取任何差错控制措施的情况下，丢包率会达到10%。假设消息分组数目是N，则类Jordan标准型喷泉码编码矩阵如下所示：

采用类Jordan标准型编码矩阵(该矩阵的左半边N×N阶矩阵就是一个N阶Jordan标准型矩阵[17]，所以称其为类Jordan标准型)，发送端需要发送N·(1+pf)个编码分组(其中pf为丢包率)，对于任意传输分组发生丢失的情况，不需要反馈重传，接收端仍然可以利用其余接收到的分组进行完整译码恢复出原始信息，因为对于该编码矩阵，当应用于窄带通信中时，丢包率最高会达到10%(即此时取pf=10%)，任意删除掉其中的列，接收端恢复出的重建矩阵，仍然是一个N阶满秩矩阵，从求解线性方程组的角度来看，满秩矩阵是存在唯一可求解的(原始N个消息分组就是解)，即原始信息是可以恢复出来的。

即针对于存在丢包情况窄带通信系统，类Jordan标准型固定度分布编码方案，译码成功率可以达到100%，因为接收端重建的编码矩阵总是存在N阶满秩矩阵。

2.3 喷泉码分组长度分析

设原始分组数量为N，单个分组的传输时间为tf，正确传输概率是p，则单个分组的所需要的平均传输时间是：

(1)

在发送节点处于饱和状态时，吞吐量的最大值是：

(2)

在实际中，每一个分组(长度为lfbit)通常包括lhbit的控制信息和ld比特bit的数据(lf=lh+ld)。如果分组长度较短，控制比特所占用的比例较大，因而信道利用率下降。如果分组长度较长，在分组传输过程中，因信道误码率的存在导致分组传输差错的概率较大，这也会导致信道利用率下降。因此存在一个最优分组长度，使得信道利用率最高。

设信道误比特率是pb，在随机错误的信道条件下，分组的差错率是：

(3)

当pb很小时，上式可近似为：

pf≈lfpb<<1；

(4)

设信道容量是C，此时tf可求得：

(5)

则信道真正用于有用信息传输的效率(信道利用率)为：

(6)

设lh=8，可得U与ld的关系曲线如图3所示。

从图3中可以看出在窄带通信系统中，当应用分组级喷泉码时，最佳分组长度在100～200bits之间。

图3 信道利用率与数据比特位数的关系

2.4 ARQ与喷泉码的时延性能分析

设ARQ系统中的分组到达过程是速率为λ的Poisson过程[18]，分组长度相同，为一个单位，在窄带通信系统中，反馈信道与数据传输信道独立。在ARQ机制中，一个分组的服务时间，不仅仅是一个分组的一次传输时间，而且还应当包括分组的重传时间和ACK的反馈等待时间。因此，这里的服务时间是一个等效服务时间，它服从一般性分布，可以用M/G/1的队列模型[19]来描述。

ACK会发生反馈等待主要是因为ACK在发送端遇到正在发送分组的情况，导致ACK必须在等待该分组传输完毕后才能完成对自身的接收。ACK在发送端是否发生等待，是以一定概率发生的，设该概率为pw，即ACK等待发生事件服从二项分布。而该等待时间长度tw，从0～1(完整的一个分组传输时间长度)服从[0,1]上的均匀分布。并且ACK等待是否发生与等待时间长度这2个事件之间相互独立。

因为tw服从[0,1]上的均匀分布，所以tw的期望易得：

(7)

实际当中，每一个等待ACK其等待的时间长度tw是一个服从[0,1]均匀分布的随机变量，但是为了方便计算，采取简化模型的方式，即在后续计算过程中，认为每一个等待ACK的等待时间均取tw的均值，即：

(8)

前文已知丢包率(分组差错率)为pf，假设单分组发生n次重传，其中k(0≤k≤n)次其ACK发生在发送端的等待，因为n次重传事件与k次等待事件相互独立，所以该事件发生的概率为：

(9)

则单分组等效服务平均时间tga(即按照ARQ机制完成对单个分组的完整传输过程所需要的平均时间)：

(10)

当采用类Jordan标准型喷泉码机制时，由于没有反馈，所以ACK反馈等待时间：

tw≡0；

(11)

(12)

取ACK等待事件发生概率pw=20%，则ARQ机制和类Jordan标准型喷泉码机制的单分组等效服务平均时间制随丢包率的pf的变化曲线如图4所示。

图4 单分组等效服务平均时间

3 结束语

从仿真结果可以看出，ARQ机制的单分组等效服务平均时间随丢包率的变化曲线斜率不断变大，而类Jordan标准型喷泉码机制的单分组等效服务平均时间随丢包率的变化曲线斜率不变，即ARQ机制随着信道质量恶化性能也急剧下降，而喷泉码机制仍然能够保持稳定。并且在丢包率<10%的情况下，即此时应用于窄带通信系统时，喷泉码机制的单分组等效服务平均时间也是要小于ARQ机制的。

本文仅在理论层面对改进的喷泉码机制进行了理论层面的性能分析，下一步将对窄带通信系统进行建模仿真或结合实际系统验证分组级喷泉码机制及其性能。

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Performance Analysis on Fountain Code Based on Jordan Canonical Matrix in Narrowband Communication

SHI Lin-chuan1,XU Song-yi1,DU Wen-ju2

(1.The 54th Research Institute of CETC,Shijiazhuang Hebei 050081,China 2.Unit 69270,PLA ,Kashi Xinjiang 844000,China)

Under the condition of narrowband communication where there are less data blocks than other application scenarios,an advanced coding and decoding algorithm which is related to the normalized Jordan matrix is put forward,because less data blocks can result in decoding failure using the traditional algorithm.By analyzing the coding and decoding process,the successful percentage of decoding in theoretical derivation is proven.The optimal bit numbers in each block are given when group level fountain code is applied in narrowband communication.When ARQ and fountain code are applied in narrowband communication respectively,by analyzing the transmission delay time and the channel utilization,it is proven that the group level fountain code can improve the system performance.

fountain code；ARQ；Jordan matrix；narrowband communication

10.3969/j.issn.1003-3114.2017.01.05

时琳川，徐松毅，杜文举.窄带通信中基于Jordan标准型矩阵的喷泉码研究[J].无线电通信技术,2017,43(1):19-22.

2016-10-12

国家部委基金资助项目

时琳川(1992—)，男，硕士研究生，主要研究方向：无线通信。徐松毅(1963—)，男，研究员，博士，主要研究方向：无线通信。

TN911

A

1003-3114(2017)01-19-4