两“板斧”解决三角形的形状判断问题

■河南省许昌高级中学 徐文建

两“板斧”解决三角形的形状判断问题

■河南省许昌高级中学 徐文建

编者的话:“经典题突破方法”栏目里例、习题选名校模拟题或三年高考真题,推出本栏目的主要目的是让同学们更好地领悟数学解题思想方法,通过多解多变培养同学们多思多想的好习惯。学会解题反思,无疑是同学们学习的一条捷径,愿同学们不断在反思中进步,在反思中收获!

三角形形状的判断问题,是正、余弦定理应用的衍生,也是解三角形中常见问题之一,其问题形式多变,方法灵活。但其常用方法有两种,掌握这两种基本方法,可使得三角形的形状判断问题迎刃而解。

利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法:

1.“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状。

2.“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论。

问题:设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )。

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.不确定

解析:依据题设条件的特点,由正弦定理,得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,有sin(B+C)=sin2A,从而sin(B+C)=sinA=sin2A,解得sinA=1,故应选B。

答案:B

变式1:若将问题中的条件改为“如果asinA+bsinB＜csinC”,则△ABC的形状为( )。

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不确定

解析:由正弦定理可将asinA+bsinB＜csinC化为a2+b2＜c2,由余弦定理得cos故C是钝角。

答案:C

变式2:若将问题中的条件改为“如果acosA=bcosB”,那么△ABC一定是( )。

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

解析:由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B,因为2A,2B∈(0,π),所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=故选D。

答案:D

变式3:若将问题中的条件改为“若2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1”,试判断△ABC的形状。

解析:由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,cos则sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC。

变式4:若将问题中的条件改为“如果△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13”,则△ABC( )。

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

解析:在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,所以a∶b∶c=5∶11∶13,故设a=5k,b=11k,c=13k(k＞0),由余弦定理可得:

所以△ABC为钝角三角形。

答案:C

变式5:若将问题中的条件改为“如果a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC”,请确定△ABC的形状。

解法一:(利用边的关系来判断)由正弦定理得

又因为a2+b2-c2=ab,所以2b2-c2=b2,b2=c2,b=c。所以有a=b=c。

故△ABC为等边三角形。

解法二:(利用角的关系来判断)因为A+B+C=180°,所以sinC=sin(A+B)。

又因为2cosAsinB=sinC,故2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=0。

又因为A与B均为△ABC的内角,所以A=B。

又由a2+b2-c2=ab,根据余弦定理,得cos又0°＜C＜180°,所以C=60°。

所以△ABC为等边三角形。

变式6:若将问题中的条件改为“(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)”,试判断三角形的形状。

解析:因为(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),所以b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)]。

故2sinAcosB·b2=2cosAsinB·a2,即a2cosAsinB=b2sinAcosB。

方法一:由正弦定理知B,故sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB。

又sinA·sinB≠0,故sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B。在△ABC中,0＜2A＜2π,0＜2B＜2π。故2A=2B或2A=π-2B,A=B或A+B=

故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

方法二:由正弦定理、余弦定理得:

所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,a2-b2=0或a2+b2-c2=0。

解得a=b或a2+b2=c2,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形。

特别提醒:1.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式。要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能。

2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件。另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响。

(责任编辑 徐利杰)