擦亮慧眼，辨“解”三角形

■河南省许昌高级中学 李书平

擦亮慧眼，辨“解”三角形

■河南省许昌高级中学 李书平

编者的话:同学们在学习的过程中,难免会出现错解的现象。本期“易错题归类剖析”栏目推出的文章,注重剖析错解原因,注重补充知识缺陷,注重题目引申变换,希望同学们认真领会,学以致用,不再发生类似的错解。

正、余弦定理及其应用问题灵活多变、综合性较强,且解题时有一定的技巧。在解题时,易由于审题不细、考虑不周等导致错解。因此,我们在解题过程中需要擦亮慧眼,才能让错解无处藏身。

易错点一 忽略题设条件而致误

错解:在△ABC中,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=12,a=再由正弦定理得,而c＞a,知C＞A,故C=75°或105°。

错解剖析:由计算知,C为最大角,由知C应该有两解。但题目条件是所给三角形中已知两边及夹角,这样的三角形是唯一确定的,故C不应该有两解,故上述结果有误。

正解一:由上解知C为△ABC中的最大角,则B一定是锐角。

正解二:由余弦定理得,cosC=故C=75°。

易错点二 忽略隐含条件而致误

错解:由正弦定理,得

因为0°＜B＜180°,所以B=30°或150°。

错解剖析:由sinB=得B=30°或150°,却忽视了题设中这一隐含条件。在求出角的正弦值后,要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍。

正解:同上,解出B=30°或B=150°。又由题意知b＜a,则B＜A,故B=150°不符合条件,应舍去,所以B=30°。

易错点三 忽略制约条件而致误

错解:因为C=30°,所以A+B=150°,B=150°-A。

错解剖析:错解未弄清A与150°-A之间的关系。这里A与150°-A是相互制约的,不是相互独立的两个量,sinA与sin(150°-A)不能同时取最大值1,因此所得的结果是错误的。

正解:因为C=30°,所以A+B=150°,B=150°-A。

易错点四 因漏解而致误

错解:由得得当时可得b=2。

错解剖析:错解中对于没有考虑角C有两解,只得出角从而得出角解得b=2,这样就出现了漏解的错误。

正解:同上,由得或

(责任编辑 徐利杰)