由“最高指示”，窥解三角形中的面积问题

2017-02-18河南省许昌市教研室石永生

中学生数理化(高中版.高二数学) 2017年9期

■河南省许昌市教研室石永生

由“最高指示”，窥解三角形中的面积问题

■河南省许昌市教研室石永生

编者的话:“创新题追根溯源”栏目里的例、习题都非常新颖,有的是原创题,有的是改编题,每一道题都非常注重多解多变。当然,在注重数学阅读的高考大背景下,同学们还要把握核心考点,扩大知识视野,用扎实的基本功应对数学试题的万千变化。

若高考是根无形的指挥棒,指引着千千万万的学子的努力方向的话,那么每年的高考真题无疑就像“最高指示”,向广大考生昭示着近年高考的动态和方向。研究2017年课标全国卷理科的三套试题发现,解答题的第17题,无一例外地都命制了解三角形中的面积问题。此现象是否该引起我们的思考呢?

一、三角形的常用面积公式

设△ABC的三边为a,b,c,对应的三个角分别为A,B,C,其面积为S。

二、高考真题赏析

(2017年课标全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长。

分析:(1)由三角形面积公式建立等式acsinB=再利用正弦定理将边化成角,从而得出sinBsinC的值;(2)由cosBcosC=和sinBsinC=计算出cos(B+C)=-从而求出角A,根据题设和余弦定理可以求出bc和b+c的值,从而求出△ABC的周长为3+

解析:(1)因为△ABC的面积S=且S=bcsinA,所以bcsinA,a2=bcsin2A。由正弦定理得sin2A=sinBsinCsin2A,由sinA≠0得sinBsinC=

由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9。①

(2017年课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC面积为2,求b。

分析:利用三角形内角和定理可知A+C=π-B,再利用诱导公式化简sin(A+C),利用降幂公式化简sin2结合sin2B+cos2B=1求出cosB。利用(1)中结论B=90°,再应用勾股定理和面积公式求出ac,从而求出b。

解析:(1)根据题意得:sinB=8sin2

因为sin2B+cos2B=1,故16(1-cosB)2+cos2B=1,(17cosB-15)(cosB-1)=0,解得cosB=

(2017年课标全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2。

(1)求c;

(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积。

分析:(1)由题意首先求得A=然后利用余弦定理列方程,边长取方程的正实数根可得c=4。(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值,然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积。

解析:(1)由sinA+A=0得即又故得由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cosA,又a=代入并整理得(c+1)2=25,故c=4。

因为AC⊥AD,即△ACD为直角三角形,则AC=CD·cosC,得CD=7。

三、温馨提示

1.利用正弦、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法:(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的各个边角后,直接求三角形的面积;(2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量;(3)求三角形面积的最值或范围,这时一般要先得到面积的表达式,再通过均值不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围。