基本不等式解题心得

■江苏省盐城市亭湖高级中学高二(3)班 初天琪 (指导教师:王 京)

基本不等式解题心得

■江苏省盐城市亭湖高级中学高二(3)班 初天琪 (指导教师:王 京)

利用基本不等式求最值是基本不等式的重要应用,在解题过程中我有一些心得,现总结如下。

在使用基本不等式解题时需要注意以下几个方面:

(1)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”。

(2)求最值的条件是“一正、二定、三相等”。

利用基本不等式求最值时,有些问题可以直接用基本不等式来解决,如:

例1求函数y=x+的值域。

解:当x＞0时,y=x+≥2,当且仅当x=1时取“=”;

故函数值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)。

有些问题不能直接运用基本不等式来解决,但也不是完全不能用基本不等式了,只要我们创造条件,满足“一正、二定、三相等”就可以再运用基本不等式来求解了,如:

例2已知x＜,求函数y=4x-2+的最大值。

解:因4x-5＜0,所以首先要“调整”符号,化为“一正”。

所以对4x-2要进行拆、凑项,才可以创造出积为定值。

所以当x=1时,ymax=1。

上面这道例题是不能直接运用基本不等式求解的,但我们创造条件后,凑出积为定值或者和为定值,就能够用基本不等式求最值了。

还有一些问题看似存在积为定值或和为定值,但是不满足“三相等”,所以就不能用基本不等式来求解,如:

例3求函数y=的值域。

解:令则y=2)。

根据函数的特点,我们可以构造对号函数,利用对号函数的单调性来求最值。

利用基本不等式来求最值是基本不等式的一个重要应用,但我们在使用时一定要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”,只有三个条件都满足了我们才能用基本不等式来解题,当“三相等”不满足时我们可以构造对号函数来求解,以上是我在运用基本不等式解题中的一点小心得。

(责任编辑 赵 平)