关于教材教参中例题习题的疑问及修改建议——以人教A版高中数学选修2-1常用逻辑用语为例

□徐加华

（新泰市第一中学，山东新泰 271200）

教材分析

关于教材教参中例题习题的疑问及修改建议
——以人教A版高中数学选修2-1常用逻辑用语为例

□徐加华

（新泰市第一中学，山东新泰 271200）

高中数学教材和教参中的例题习题解答过程不顺畅、条件欠严谨、答案不准确，让人产生很多疑问.教材和教参中的例题习题在编写时要注意结合课程标准以及考试大纲的要求来进行设计，题目要符合学生当前的认识水平和教师的教学需求，务必保持教材前后的衔接性和连续性，题目的解答过程要流畅，做到典型性、示范性和逻辑性要强，不存在似是而非的问题.

教材；严谨性；问题；疑惑；建议

高中数学教材和教参中的例题和习题凝聚了众多教育教学研究专家的心血，具有很强的严谨性、基础性、典型性、示范性和导向性，它们是教师教学和学生学习的基础和根本，也是命题者的立足点和出发点.严谨性是对例题习题提出的最起码的一个要求.我们在常用逻辑用语的教学中遇到几个问题，现列举出来，指出其中的疑惑，并给出相应的教学建议，与大家分享交流.

问题一 解答过程不通顺

例1证明：若x2+y2=0,则x=y=0[1]7.

为了便于说明问题，现将教材的原分析及解答摘抄如下.

分析：将“若x2+y2=0,则x=y=0”视为原命题.要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若x,y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的.

证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设 x≠0，则 x2＞0，所 以 x2+y2＞0，因 此x2+y2≠0.所以x=y=0.这表明原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.

疑惑既然证逆否命题成立，即证“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”为真命题，证明的过程当中加“所以x=y=0”不知何意？

建议证明过程应去掉“所以x=y=0”，这样表述就准确通顺了.于是修改后的证明过程为：若 x,y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0,所以x2+y2＞0,因此x2+y2≠0.这表明原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.

问题二 条件欠严谨

例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行[1]10.

教参给的答案：该命题中的p是q的充分条件[2]11.

疑惑在普通高中课程标准实验教科书数学教材必修2中，两条直线的位置关系为：平行、重合和相交.那么本题两条直线有没有重合的可能呢？如果重合，那么教参的答案就错了.

建议本小题题目当中需要加上“不重合的”，即本小题改为：若两条不重合的直线的斜率相等，则这两条直线平行.这样就显得严谨了.

（1）如果A⊆B，那么p是q的什么条件？

（2）如果B⊆A，那么p是q的什么条件？

（3）如果 A=B，那么 p是 q的什么条件？[1]13

教参给出的答案为：（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件[2]11.

疑惑我们先看一个例子，已知p:x2=-1；q:x＞1，则显然满足A⊆B，按照教参的答案有：p是q的充分条件.但是此时 p:x2=-1和q:x＞1的逻辑关系该如何处理呢？学生目前的知识能接受吗？如何向学生解释？这样在教学时就显得很被动，不利于当前的逻辑教学.

建议针对目前学生的水平，建议在题目的条件中加上“集合A、B为非空集合”，即题目改为：已知集合A、B为非空集合，A={x|x满足条件 p}，B={x|x满足条件 q}.

（1）如果A⊆B，那么p是q的什么条件？

（2）如果B⊆A，那么p是q的什么条件？

（3）如果A=B，那么p是q的什么条件？

问题三 答案不准确

以下是教参给出的答案.

逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.真命题.

否命题：若一个三角形有两条边不相等，则这个三角形有两个角也不相等.真命题.

逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.真命题[2]6.

疑惑该命题的否命题和逆否命题怎样书写？教参的答案对吗？

消除疑惑的关键就是弄清“有两条边相等”的否定是什么？是“有两条边不相等”还是“不存在两条边相等”？同样“有两个角相等”的否定是什么？是“有两个角不相等”还是“不存在两个角相等”呢？

建议事实上，三角形中三条边都相等也属于有两条边相等的情况，因此我们认为“有两条边相等”可理解为“存在两条边相等”，其否定为“没有两条边相等”，即“不存在两条边相等”.

由结果追溯原因的方法是逆向的，其意义在于确保顺向思维的正确性，旨在把握事物的因果联系，提高预见性，培养多维度思考问题的能力。思想政治教育接受过程受到多种因子的影响，是各种要素有机结合、共同作用的结果。当代大学生面临着国外环境瞬息万变、国内改革举步维艰的情形，赶上了科学技术飞速发展的时代，迎接着意识形态日新月异的挑战。他们是否具备优良的思维能力与视角、思考维度与方式、行为判断与选择、实践本领与才干、创新理念与才智，是决定其能否成为一名优秀的现代化事业掌舵人的标准。归因理论为当代大学生打开了思维转换之门。

同样“有两个角相等”的否定为“没有两个角相等”，即“不存在两个角相等”.

这样原命题的否命题：若一个三角形不存在两条边相等，则这个三角形不存在两个角相等.真命题.

逆否命题：若一个三角形不存在两个角相等，则这个三角形不存在两条边相等.真命题.

例5教参第17页下方例8（该例题的目的是比较“若p，则q”形式的命题的否定与否命题的区别）.

命题p：正方形的四条边相等，

命题¬p：正方形的四条边不相等.

p的否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.

问题从教参对本题的处理来看，命题p可以改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.于是教参上写的该命题的否定“正方形的四条边不相等”，就可以等同于“若一个四边形是正方形，则它的四条边不相等”.

疑惑（1）上述¬p的书写是否正确？（2）命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”吗？举个例子，命题p：若一个数能被5整除，则这个数的个位数字是5.该命题为假命题.那么该命题的否定是否可写为：若一个数能被5整除，则这个数的个位数字不是5？很明显这样写命题的否定是不可以的，因为这时所写的命题也是个假命题.在一些教辅资料上，也经常出现这样的类似错误，甚至有的资料直接提出：若命题p为“若A，则B”的形式，则¬p为：“若A，则¬B”.这说明，教参的例题也是非常重要的，处理不好，往往对教辅资料以及教师的选题讲解等起误导的作用.

建议高考对此部分的要求：（1）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定（摘录了一部分）.这就是说，对于“若p，则q”形式的命题，不涉及其否定，而命题的否定一般借助于全称命题和特称命题来进行考查.教学时，对于一般命题的否定和否命题的区别，可以先从命题的真假性来区分.而对于“若p，则q”形式的命题的否定与否命题的区别，书写可以不提，不要加大教学和学生学习的难度，或者在学完全称命题和特称命题后举一些适当的例子说明即可.如果有同学对此感兴趣，可以通过上网等方式单独释疑.

基于上面几种情况的分析，笔者认为教材和教参中的例题习题在编写时要注意结合课程标准以及考试大纲的要求来进行设计，题目要符合学生当前的认识水平和教师的教学需求，不可过多地给教师和学生增加额外负担.同时还应注意题目的条件在语言表述上要严谨、准确，务必保持教材前后的衔接性和连续性；题目的解答过程要流畅，做到典型性、示范性和逻辑性强，不存在似是而非的问题，从而避免不必要的、毫无意义的争论.

［1］刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2016.

［2］刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1（A版）教师教学用书［M］.北京：人民教育出版社，2016.