数学教学中合情推理策略的使用
——以“除数是整数的除法”为例
2017-02-16
缘起
《小学教学（数学版）》2017年第7-8期《数学教学中合情推理策略的使用：挑战与机遇》一文，以“讨论吧”话题“我的想法错在哪里”为案例，从数学分析、认知分析和教学分析三个方面对数学教学中合情推理策略的使用进行了深入的研究，反复阅读之后，我受益匪浅。正如文中所说，合情推理是人类常见的一种思维方式，教师应抓住其有利的方面为教学所用。下面我以人教版教材五年级上册“除数是整数的小数除法”一课为例，谈一下我对合情推理策略的使用的理解。
学前调研
2017年4月，我们在四年级下学期（学生提前预习的可能性小）对一个班的学生进行了一次学前调研，调研的题目是笔算332÷4 和 22.4÷4。 结果显示，46名学生中，第一类22名学生（约占47.8%）正确计算出了22.4÷4的结果；第二类18名学生（约占39.1%）计算 22.4÷4的得数是5……2.4；第三类6名学生（约占13%）为无效解答或其他答案。
学生并非白纸一张！问卷显示：第一类学生说“没学过”，但都认为小数除法也应该像整数除法那样算，得到56，然后点上小数点，就是5.6。如有的学生说：“我无视小数点，先按整数除法来做。”第二类学生都说：“余下来的小数不够除，所以要余2.4。”
注意，以上两类学生都运用了合情推理！虽然学生还没有学过小数除法，但他们都从整数除法的学习经验出发，凭借直觉和经验，类比得出“小数除法应该像整数除法那样除”。
诚然，学生运用合情推理来推测小数除法的笔算方法，具有一定的局限性，第一类学生只知道得5.6，但说不出这样算的道理，第二类学生认为余下的2.4不能往下除。但是，当学生运用合情推理的时候，如果老师不进行有效的引导，学生思维的火花就容易被浇灭，错过了本该进行推理能力培养的最佳时机。
另外，既然学生已经有从整数除法过渡到小数除法的能力，能不能改变一下教学思路，不要再“千篇一律”的先从现实情境抽象出问题，然后再列式计算、总结算法？能不能发挥学生的积极主动性，从学生合情推理的认知起点出发实施教学？基于以上思考，我进行了如下的教学设计：
教学设计
一、合情推理，遇到问题
师：同学们，请大家先笔算两道题。
（出示：332÷4= ，22.4÷4= ，学生试算，然后展示）
师：第一题是一道整数除法（出示 332÷4的解答过程），大家的意见高度一致。第二题是小数除法，大家的意见有些不一致，下面请这几位同学谈谈他的想法。
生：我先商 5，余 2.4，余数比除数小，没法往下除了，所以商5余2.4。
生：我先无视小数点的存在，按照整数除法去除，商56，然后我觉得应该再点上小数点，所以商5.6。
师：对于这两种算法，你有什么想说的？
生：余下的2.4，还能不能继续往下除？
生：为什么要在56里点上小数点？这里面有什么道理？
师：同学们，今天我们就带着这两个问题来学习“除数是整数的小数除法”。
二、借助具体，理解道理
1.回到情境。
师：怎么解决这些问题呢？让我们回到生活中去，想一想，什么时候会遇到 22.4÷4的情况呢？
（师出示问题情境：在为希望小学献爱心活动中，第一小组的4名学生买了一个书包，用去22.4元钱，平均每名学生应拿多少钱）
师：（课件出示：一张20元，一张 2元，四张 1角的钱）把22.4元怎么分，才能平均分成4份？每份是多少钱呢？同桌两个人互相说一说。
2.交流分法。
生：我先把20元除以4得5元，再把2.4元换算成24角，平均分成4份，每份是0.6元，合起来就是5.6元。
生：我先把22.4元看成224角，224÷4=56（角），再把 56 角变成5.6元。
……
3.理解道理。
（1）解决“余下的 2.4 能不能往下除”的问题。
师：同学们，生活中的问题我们会解决了，那么，现在再看之前大家列的除法竖式，余下的2.4还能往下除吗？商过56后为什么还有再点上小数点？下面以四人小组为单位交流一下。
（学生交流后汇报）
生：还能往下除，我把2.4元换算成24角，24角÷4就可以除了。
师：还有不同的解释吗？
生：我把2.4米换算成24分米，这样就可以继续往下除了。
生：把2.4换算成24个十分之一，就可以往下除了。
生：不够除时，可以换算成更小的单位，这样就可以往下除了。
……
（2）解决“56 里为什么要点小数点”的问题。
师：现在明白为什么56里面要点小数点了吗？
生：先用 20元除以 4，商 5元；余下的24角，再除以4，得6角，也就是0.6元。所以要点上小数点，最后商5.6元。
师：如果不看情境，如何解释呢？
生：先用 20÷4，商 5；余下的2.4，也就是 24个十分之一，再除以4，得6个十分之一，也就是0.6，所以，应该在5的右下角点上小数点。
师：说得太棒了，谁能像他那样指着竖式再说一遍？
生：22.4÷4，先商 5，余 2，把4落下来，24表示24个十分之一，再除以4，得6个十分之一，6要写在十分位上，所以，在5的右下角点上小数点，再商6。
