高中物理中的“轻模型”

张郑兵

(安徽省庐江中学 安徽 合肥 231500)

房 英

(庐江第二中学 安徽 合肥 231500)

高中物理中的“轻模型”

张郑兵

(安徽省庐江中学 安徽 合肥 231500)

房 英

(庐江第二中学 安徽 合肥 231500)

通过例题研究了不同类型 “轻物体” 的动力学问题，探讨了不同类型“轻物体”的动力学特点，希望对广大学生和教学同仁有一定借鉴意义.

轻物体 轻模型 牛顿第二定律 合力为零

高中物理中描述一类物体时常在其前面加上限定词“轻”，如“轻结点”、“轻绳”、 “轻弹簧” 、“轻杆”、“轻滑轮”等.“轻”主要可以理解为物体质量对所研究的物理问题影响很小，可以忽略不计.这类物体我们可以把它叫做“轻物体”，利用牛顿运动定律我们可以建立“轻模型”来加以研究.由牛顿第二定律可以得出轻物体所受合力必然为零的特点，与其运动状态无关.这一特点通常是理解相关试题的切入点和突破口，然而学生对这一特点往往感到困惑.

所谓 “轻物体”，指的是质量可以忽略不计的物体，是一种理想化的物理模型.然而学生对这类物体缺乏感性认识，研究这类物体时的思维方式又与常规物体有很大差异，导致学生通常感觉这类问题难度甚大，无从下手.

要认清“轻物体”这一模型，首先要分清“轻物体”和 “重力不计的物体”的区别.“轻物体”质量可忽略，从而亦可以忽略其重力.“重力不计的物体”在电磁学中常有涉及，通常说明带电粒子 “重力不计”，即受力分析时不考虑其重力，但质量不能忽略，可由牛顿第二定律求出合力，再计算加速度.

其次，要清楚“轻物体”的受力特点.根据牛顿第二定律，物体加速度与其合外力、质量的关系F=ma，由于“轻物体”质量为零，无论其加速度多大，所受合外力必然为零，与物体的运动状态无关.这也是它与常规物体的最大区别，也是学生感到最为困惑的地方.

近几年高考对“轻物体”问题常有考查且学生失分较多.高中学习中常涉及到的“轻结点”、“轻绳”、“轻杆”、“轻弹簧”、“轻滑轮”都属于这类问题.下面我们就通过例题探讨不同类型“轻物体”的动力学特点.

1 轻结点(环)

【例1】(2016年高考课标全国Ⅲ卷)如图1所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球.在a和b之间的细线上悬挂一小物块.平衡时，a，b间的距离恰好等于圆弧的半径.不计所有摩擦.小物块的质量为( )

图1 例1题图

解答：受力分析如图2所示，设圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，左右两个小球的悬点分别为d,e.题中绳子结点均光滑，实际上是一根绳，各段绳子上弹力大小一定相等，且T=mg.对左侧轻环研究，由于其质量极小，重力可忽略不计，所受合力为零.左环受到的3个力分别为ad绳拉力，ac绳拉力，以及圆弧的弹力.圆弧弹力背离圆心，所以ad和ac绳拉力的合力一定指向圆心且在这两绳夹角的平分线上.令

∠Oac=∠Oad=θ

由于ab=R，所以三角形Oab为等边三角形，根据几何知识可得

∠Oab=60°θ=30° ∠acb=120°

而在一条绳子上的张力大小相等，故有

T=mg

小物块受到两条绳子的拉力作用大小相等，夹角为120°，故受到的两绳拉力的合力等于mg，因为小物块受到绳子的拉力和重力作用，且处于平衡状态，故拉力的合力mg等于小物块的重力，所以小物块的质量为m,故A,B,D错误，C正确.

图2 例1分析图

2 轻绳

【例2】(2011年高考江苏卷)如图3所示，倾角为α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦.现将质量分别为M和m(M>m)的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上.两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等.在α角取不同值的情况下，下列说法正确的有( )

图3 例2题图

A．两物块所受摩擦力的大小总是相等

B．两物块不可能同时相对绸带静止

C．M不可能相对绸带发生滑动

D．m不可能相对斜面向上滑动

解析：本题中绸带质量不计且斜面光滑，可将绸带等效为一根轻绳，其所受合力必然为零，故无论任何情况下绸带对两物块的摩擦力大小均相等，A选项正确.接着可以仔细分析本题中两物块所有可能的运动状态.

假设M相对绸带发生滑动，其对绸带的滑动摩擦力为μMgcosα，而m对绸带的摩擦力最多为μmgcosα，由于μMgcosα>μmgcosα，绸带所受合力不为零，假设不成立.故M不可能相对绸带滑动，它受到绸带的静摩擦力作用.若M相对斜面静止，其所受摩擦力等于Mgsinα，此时m亦受到Mgsinα的摩擦力从而会加速上滑，绸带发生松弛，不符实际.若M相对斜面向上运动，同样可分析得出m会向上加速运动，假设同样不成立，故M必定向下加速.对二者的状态分析如表1所示.

表1M和m状态分析

若m也受到绸带静摩擦力作用，有一种可能的情况：M向下加速，m向上加速，且二者加速度相等.

若m受到滑动摩擦力作用，需讨论m受到的滑动摩擦力和重力沿斜面向下分力的关系，此情境有3种可能情况：若μmgcosα>mgsinα，m会向上加速；若μmgcosα=mgsinα，m相对斜面静止；若μmgcosα>mgsinα，m向下加速.

由此分析可知C正确，B,D错误.本题答案：A,C.

对M，m所有可能的运动情境，可结合上面系统表直观看出.

3 轻弹簧

【例3】如图4所示，4个完全相同的轻质弹簧都处于水平位置，他们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上，②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用，③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动，④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动．若认为弹簧的质量都为零，以l1,l2,l3,l4依次表示4个弹簧的伸长量．则有( )

图4 例3题图

A．l2>l1B．l4>l1

C．l1>l3D．l2=l4

解析：多数学生能分析出①、②两种情况实际是一种情况，得出l1=l2的结论.但是要比较③、④以及它们与①、②的区别往往就无法下手了.对于③、④两种情况，很多学生主观上认为④中桌面粗糙，对弹簧的拉力更大，从而得出l4

4 轻杆

(1)若弹簧的劲度系数为κ，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x;

(2)求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm;

(3)讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v′和撞击速度v的关系.

图5 例4题图

解析：本题的第一个问题较为简单，弹簧弹力等于杆受到的最大静摩擦力时轻杆就开始移动，由胡克定律可求出弹簧的压缩量.对后面两个问题解题的突破口是理解轻杆运动后弹簧的形变情况.对于轻杆而言，其质量为零合力必然为零，轻杆向右运动过程中所受滑动摩擦力不变，故而轻弹簧弹力不变，弹簧压缩量不变，小车与轻杆保持相对静止一起匀减速到零.然后杆保持静止状态，小车在弹簧弹力作用下向左加速直至弹簧恢复原长后，小车与弹簧分离.

(1)轻杆开始移动时，弹簧的压缩量为x，由胡克定律得弹簧的弹力F=κx，轻杆所受合力为零，即F=f，联立解得

(2)设轻杆移动前小车对弹簧做功为W，对小车从撞击到速度减为零的过程中，由动能定理得

同样，以最大速度vm撞击时，有

联立解得

(3)设小车以速度v1撞击弹簧恰使轻杆移动，有

结合(2)可解得

讨论：

1)当

时，杆未动，小车的动能先转化为弹簧的弹性势能，弹性势能最终又转化为小车的动能，小车仍以原速弹回，即弹回速度

v′=-v

2)当

时，可使轻杆移动，且保证装置安全工作.系统速度减到零后，小车反弹，弹簧的弹性势能转变为小车的动能.可得出弹回速度

拓展思考：假设小车撞击为安全速度，且撞后立即与弹簧栓连，问最终杆和小车所处的状态？

栓连后小车压缩弹簧的过程和题中问题没有区别，小车被弹开过程在水平方向做简谐振动，根据简谐运动的对称性，弹簧的最大伸长量与最大压缩量相等，无法使杆运动，故最终杆静止，小车做简谐振动.

5 轻滑轮

【例5】(2011年高考福建卷)如图6所示，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为m1和m2的物体A和B．若滑轮有一定大小，质量为m且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦．设细绳对A和B的拉力大小分别为T1和T2，已知下列4个关于T1的表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是( )

图6 例5题图

解析：本题中出现的滑轮是有质量的，学生在高考环境中遇到此题的时候可能会觉得无从下手，甚至会怀疑高考复习中可能有遗漏的知识盲点.实际上利用高中知识是无法解决有质量滑轮转动问题的.那么是不是意味着本题我们就无计可施了呢？

做选择题无从下手的时候，特殊值法往往能起到出其不意的效果.本题最大的难点就是不会处理有质量的滑轮，那么如果把滑轮质量假设为零呢？

设m=0，滑轮即为轻滑轮，它受到两端绳拉力大小必然相等.可令T1=T2=T.

若m1

T-m1g=m1a

对B，有

m2g-T=m2a

可得到

把m=0代入A，B，C，D 4个选项，得C选项符合．

理论拓展：不少学生有疑问，对于质量m不可忽略的滑轮，难道细绳对A和B的拉力大小分别为T1和T2，二者不相等了吗？确实不等！

物体加速运动过程中，滑轮也在加速转动，题中说明“不计滑轮与轴之间的摩擦”，因而滑轮与轴间的摩擦力矩为零，轴对滑轮的支承力不产生力矩，可知两侧绳拉力对滑轮的合力矩不为零，因而拉力不等.结合大学物理中“刚体转动”方面的知识，可有如下解答过程.

假设m1

(T2-T1)r=Jβ

(1)

其中转动惯量

角加速度

式中a为物体加速度.

将以上物理量代入式(1)有

(2)

根据牛顿第二定律，对A，有

T1-m1g=m1a

(3)

对B,有

m2g-T2=m2a

(4)

由式(2)、(3)、(4)可求出

值得注意的是，滑轮质量不可忽略的问题在高中物理实验中也有所体现，如在“验证机械能守恒”实验中，滑轮转动动能的增加是比较重要的实验系统误差，因此实验中应尽量选取质量小的滑轮.

综上所述，解决“轻物体”模型的关键在于理解其质量为零的特点，由牛顿第二定律分析得出“轻物体”所受合外力为零的规律，而与物体的运动状态无关.要区分“轻物体”与一般物体的不同，避免形成思维定势，注意具体问题具体分析，并在解题中磨练，做到熟能生巧.

1 姜胜,任才生,潘华君.“轻质问题”初探. 中学物理,2013,31(11):94～95

2 王玉霞.轻质物体——一个永远“平衡”的物体.物理教学探讨,2014,32(12):43～44

3 李建斌.高考中的轻质物体.中学物理教学参考,2014(20):60～61

TheLight ModelinHighSchoolPhysics

ZhangZhengbing

(LujiangMiddleSchoolAnhuiProvince,Hefei,Anhui231500)

FangYing

(LujiangNo.2MiddleSchoolAnhui,Hefei,Anhui231500)

In this paper, we study the dynamics of different types of "light objects",discuss the dynamic characteristics of different types of "light objects", and hope to have a certain reference to the majority of students and teaching colleagues.

light objects; light model; Newton′s second law; zero external force

2016-08-02)