小学数学比较关系应用问题的教学探索

2017-02-13◎郭睿

辽宁教育 2017年1期

◎郭睿

小学数学比较关系应用问题的教学探索

◎郭睿

在小学数学应用问题中，“比较关系”是一类典型的应用问题。所谓比较，是基于两个或两个以上对象而产生。而比较关系应用问题，则指以某个对象为比较标准，利用其余比较对象与比较标准之间的关系来解决问题的应用问题，研究这类典型应用问题对小学数学教学有一定的指导作用。

一、小学比较关系应用问题知识体系简析

小学阶段比较关系应用问题有两类，利用对象之间的相差数解决的“相差关系”应用问题和利用对象之间的倍或率解决的“倍比关系”应用问题，分别集中在不同阶段学习：二年级学习相差关系，三年级学习倍数关系，六年级学习分率关系，分率关系应用问题是倍数关系应用问题的扩展，倍数关系和分率关系应用问题合称为倍比关系应用问题。

相差关系应用问题，如：红花6朵，黄花比红花多3朵，黄花有几朵？题中“黄花比红花多3朵”是反映红花与黄花数量的关系句，根据已知红花数量、关系句求解黄花数量。题中三要素可互为已知条件、要求问题，形成题组，如：

题1：红花6朵，黄花比红花多3朵，黄花几朵？

题2：黄花9朵，黄花比红花多3朵，红花几朵？

题3：红花6朵，黄花9朵，红花比黄花多几朵？

倍比关系应用问题，如：红花有6朵，黄花比红花多（或黄花是红花的1.5倍），黄花有几朵？同理，题中三要素互为已知条件、要求问题，亦形成相关题组。

相差关系和倍比关系两类应用问题有共同点：第一，题目结构相同，都有比较量、标准量、比较关系句三要素；第二，两量比较关系因比较标准不同而关系表述的语句相应也不同。在相差关系应用问题中，如当“黄花9朵，红花6朵”时，若以红花数量为比较标准，则表述为“黄花比红花多3朵”；若以黄花数量为比较标准，则应表述为“红花比黄花少3朵”。在倍比关系应用问题中，“黄花9朵，红花6朵”，若以红花数量为比较标准，则黄花比红花多，若以黄花数量为比较标准，则红花比黄花少（见下图）。

而两类应用问题的不同之处为：相差关系的比较是基于一一对应思想，本质是比较数量多与少，比较结果是绝对值，运用加减法数学模型解决问题；倍比关系的比较是反映两数量比的关系，比较结果是相对值，运用乘除法数学模型解决问题。

二、现存学习情况和学习障碍现状

由于学生在生活中经常接触比较数量大与小、多与少、物品长与短等相差关系，因此学生在解决相差关系应用问题正确率较高。但学生在解决倍比关系应用问题时存在较大困惑，以六年级分率应用问题为例尝试探讨学习中的障碍。

题目1：男生12人，女生8人，男生人数比女生多几分之几？

学生错例1：12-8=4。

学生错例2：12÷8。

学生错例2：（12-8）÷12。

题目1中，访谈能正确列式的学生，其记录如下：

访谈记录1

访谈者：你的列式（12-8）÷8是正确的，说说你是怎么想的？

学生：因为题目要求男生人数比女生多几分之几，所以用12-8求出男生比女生相差的人数，然后再用相差人数÷单位“1”（女生人数）就行了。

访谈者：求男生人数比女生多几分之几为什么用除法计算？

学生思考片刻：老师教的。

访谈记录2：

访谈者：求男生人数比女生少几分之几为什么用除法计算？

学生：要用“多的人数÷女生人数”就是男生人数比女生人数多几分之几。

访谈者：为什么用除法计算就能解决问题？

学生沉默片刻：就用“相差人数÷单位‘1’”可以解决问题。

题目2中，访谈回答错误的学生，其记录如下：

访谈者：假设男生有3人，女生有6人。我们怎么算男生人数比女生少几分之几？

访谈者：那么我们算一算女生人数比男生多几分之几

访谈者：为什么还是？

学生：男生3人，女生6人，他们相差了3人，所以是。

三、障碍成因分析

(一）相差关系理解容易，倍比关系理解难

题目1反映出：有的学生直接利用求相差数的方法求分率，有的学生不理解“求男生人数比女生多几分之几”就是“求男女生相差人数占女生人数的几分之几”，而仅是套用模型解决问题。为什么学生容易理解相差关系应用问题，而解决分率关系应用问题取不尽如人意？

相差关系的比较结果是“具体量”，是一个绝对值，即便是学龄前儿童，在他们的生活、交往中会积累大量的有关相差关系的活动经验，因此比较容易理解。倍比关系的比较结果是“比率”，是一个相对值，尽管三年级初步接触分率，但都是以具体物品、平面图形、长度单位等形象直观为基础学习分率，学生对分率这个相对值接触少，一直到五年级下学期才正式接触分率，六年级完整学习分率、比的相关知识，在观念上未能完全认同，从而导致学生难以理解分率关系应用问题。

（二）忽视比较标准的重要性

题目2中像这样解答错误的比例较高，从学生的访谈中可知，当求相差分率时，学生解决问题的思维点落在“相差数”上，没有落在“相差数占比较标准的几分之几”上。究其原因，主要是由于学生对比较关系理解不全面而造成的。

两个数量比较，先有比较的标准，然后有比较量、比较结果。相差关系中两量比较关系句“黄花比红花多3朵”，亦可表述为“红花比黄花少3朵”，根据比较标准不同，采用“…比…多”或“…比…少”的不同表述，但由于“相差关系”比较结果是绝对值，所以不论以哪个对象为标准，其比较结果是相同的，而由于认知特点，学生更多地关注“无论不同表述其数值都是相差2朵”的直观表象上，因而把相差关系的理解压缩为：黄花和红花相差2朵。笔者聆听不同年级学生表述两个数量相差关系时，许多学生都表述为：谁和谁相差多少，而教师都没有及时纠正学生的说法，说明教师本身也未意识到比较标准的重要性。当学生在五、六年级初次学习分率关系时，比较容易把“谁和谁相差多少”的旧经验简单地迁移到求相差分率的新知识上，认为两个数量的相差分率都应该是一样的。相差关系的不同表述、倍率关系的不同比较结果都是基于不同比较的标准造成的，而学生从学习“相差关系”的开始就没有得到全面的理解，教师的教学负有不可推卸的责任。

（三）从“倍”到“分率”的学习时间跨度太长

我们前面提到分率关系应用问题是倍数关系应用问题的扩展，以人教版教材为例，我们列表说明倍数应用问题、分率应用问题的学习年段。

分率关系三年级上学期倍数关系五年级上学期五年级上学期六年级上学期1．求一个数是另一个数的几倍。2.求一个数的几倍是多少。3.已知一个数的几倍是多少，求这个数。已知比一个数的几倍多（少）几的数是多少，求这个数。（教学目标主要是学习运用代数思想解决应用问题的方法）求一个数是另一个数的几分之几1．求一个数的几分之几是多少。2.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。3.求比一个数多（少）几分之几是多少。4.已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数。5.求一个数比另一个数多（少）几分之几。

从学习倍数关系的应用问题到学习分率关系的应用问题，中间间隔约三年，且四五年级教材例题、练习题极少出现关于倍数关系的应用问题，除五年级下学期学习求一个数是另一个数的几分之几外，到六年级全面学习分率关系的五种类型应用问题，无论是知识学习时间跨度太大，还是知识基础累积上都较少，这些原因使得分率关系更显得抽象，不利于从倍数关系应用问题横向迁移学习分率关系应用问题。

四、教学策略

（一）从“倍数关系”到“分率关系”的类比迁移

倍、分率、百分数、比等概念本质同样是“比率”，在小学阶段，一般当比率大于1时，习惯说比较量是标准量的的几倍（用整数或小数表示），当比率小于1时，习惯说比较量是标准量的的几分之几。由此，教学可以由倍数关系应用问题通过类比、迁移学习分率关系应用问题，其教学策略可如下图：

（二）从几何直观到数学模型的转化

分率是一个抽象概念，借助几何直观能帮助学生理解概念，借助几何直观让学生充分理解分率应用问题数量关系，然后及时帮助学生抽象数学模型，实现几何直观到数学模型的转化。

如：鹅7只，鸭10只，鹅的只数是鸭的几分之几？

通过阅读与理解，让学生认识到“求鹅只数是鸭的几分之几”就是“求7是10的几分之几”，将生活问题抽象为数学问题。然后借助线段图的几何直观理解：以鹅为比较标准，10看做一个整体，平均分成10份，7就是这个整体的,解答过程是，教师与学生一边分析一边画线段图，过程如下图。

接着，提供“求一个数是另一个数的几分之几”的不同情境的数学问题，充分让学生在画线段图中理解解决此类数学问题的方法，建立数学模型：“求一个数是另一个数的几分之几”与“求一个数是另一个数的几倍”都是用“比较量÷标准量=倍率”求解，实现“几何直观”向“数学模型”的转化。

几何直观既有助于帮助学生理解数学模型，也有利于学生沟通新旧知识之间的联系。在一定的学习时间积累后，有必要通过变式题进一步巩固数学模型。如将上题变式为：鹅7只，鸭10只，鹅的只数比鸭少的几分之几？通过线段图（如下图）理解与分析，让学生认识到“求鹅比鸭少几分之几”就是“求鸭鹅相差只数是鸭的几分之几”，能运用原有的数学模型“比较量÷标准量=分率”解决新的数学问题。

（三）对比相差关系与倍比关系的异同

随着学习的深入，沟通新旧知识之间的联系与区别能促使学生更精细地识别数学模型，建构知识网络。鉴于相差关系和倍比关系的相似性和易混淆的特点，将两类关系进行异同对比显得非常迫切与必要。两类关系可以设计成题组呈现，题组的情境、数据应简洁，目的是透过题组抓住知识本质。

如下面的题组：

（1）5米比3米多几米？

（2）3米比5米少几米？

（3）5米比3米多几分之几

（4）3米比5米少几分之几？

先左右题组对比，设问：都是求5米比3米多（少）的情况，为什么解决方法不同？从而概括：左题是求相差部分的具体数量，右题是求相差部分是比较标准的几分之几；再进行上下题组对比，可以先对比左边两题，设问：算式相同、结果相同，为什么表述不同？从而概括：比较标准不同，表述方式也不同，再对比右边两题，从而突出比较标准的作用。整理如右表。

最后指出：无论是“相差关系”还是“倍比关系”，都是两个数量在比较，其数学问题结构都是相同的，都具有比较量、标准量、比较关系句三要素。

比较关系数学问题是小学阶段应用问题的教学重点之一，学生在“绝对量”上的经验丰富，而“相对量”学习过程比较抽象，在这样的现状下，我们要抓住问题的本质原因，有针对性地通过新旧知的横向、纵向对比，利用小学生的认知特点，以数形结合为抓手，逐步加深对“相对值”的理解，实现知识上质的飞跃。