分类讨论思想在等腰三角形中的运用

黄学财

（江西省赣州中学）

分类讨论思想在等腰三角形中的运用

黄学财

（江西省赣州中学）

数学思想方法对数学教学有着重要的促进和指导作用，它不仅是学生形成良好认知结构的纽带，还是由知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学意识，形成优良思维素质的关键。很多学生不太重视数学思想方法，只是一味做题，不会总结，很难达到“懂一题、晓一类、通一片”，因此要有加强数学思想方法教学的意识，并在数学教学过程中不断挖掘和渗透。

等腰三角形；分类讨论；坐标系；周长

考查等腰三角形的题目时，学生很容易漏解，主要是学生没有认真分析题意，或者是没有考虑周全，解题经验还不够丰富。我们在平时的教学中要多提醒学生，即考查等腰三角形的题目，一般都会指明哪两条边相等，如果不指明就要分类讨论，分类讨论在等腰三角形中的运用非常广泛，如等腰三角形没有指明腰，或者指明了腰，但没有给图，就要分顶角为锐角或钝角，下面我们通过例题来展现分类讨论思想在等腰三角形中的运用。

一、等腰三角形涉及边的问题时，可以按照“腰”和“底边”来分类讨论，但要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在

例1.（1）等腰三角形有两边长为4cm和7cm，则周长为_______厘米。（15cm或18cm）

（2）等腰三角形的周长为24cm，一边长为6cm，则其余两边长为_______厘米。（9cm和9cm）

练习1：等腰三角形有两边长为3cm和7cm，则周长为____厘米。（答案：17cm）

二、等腰三角形中涉及“高”的内角求解问题，可以按照三角形类型分类讨论

此时学生最容易犯的错误是画一个顶角是锐角的等腰三角形，导致漏解，这一点也提醒我们老师在教学中应多画顶角是钝角的三角形，才不会形成思维定式。

例2.ΔABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且ΔADC为等腰三角形，则∠BCD等于_______.（22.5°或67.5°）

练习2：等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是_______.（30°或150°）

三、在等腰三角形内角求解的问题中，可以按“顶角”“底角”来分类讨论

例3.已知一个等腰三角形的两内角度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为______（20°或120°）

练习3：等腰三角形的一个外角等于100°，则这个等腰三角形的顶角为_______.（80°或20°）

四、在等腰三角形中涉及中线的问题，也需要分类讨论

例4.已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个等腰三角形底边的长。（1）

练习4： 已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成9和12两部分，求这个等腰三角形底边和腰的长。（当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm）

五、在方格纸或平面直角坐标系中，给出等腰三角形其中一线段或两个顶点的坐标，未指明是腰还是底边，求等腰三角形第三个顶点的个数或坐标

例5.用3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，并且A、B在最中间小正方形的相对格点上，如果点C也是图中的格点，且使得ΔABC为等腰三角形，则点C的个数为_______.（答案：8）

练习5：在平面直角坐标系中，点A在第一象限，A（2， 1），点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有_______个。（答案：4）

本题还可发散为点P在坐标轴上，则符合条件的点P有几个？

六、等腰三角形与四边形的结合问题，求相关线段的长度

例7.在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q.若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，ΔADQ恰为等腰三角形.

（分析：若ΔADQ是等腰三角形，则有DA=DQ或QD=QA或AQ=AD

①当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，ΔADQ是等腰三角形；

②当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD=QA，此时ΔADQ是等腰三角形；

③设点P在BC边上运动时，有AD=AQ，可算出当CP=4 2

■ -4时，ΔADQ是等腰三角形.）

总之，学习等腰三角形，必须熟练运用等腰三角形的性质，看到等腰三角形题目要能联想到它的性质，如，等边对等角、三线合一，还有等腰三角形容易出现分类讨论，要让学生养成分类讨论等数学思想在等腰三角形中的应用。

［1］常汝吉.数学课程标准［M］.北京师范大学出版社，2011.

［2］林群.教师教学用书［M］.华东师范大学出版社，2013.

·编辑 孙玲娟